§4-4系统稳定性分析 判断系统稳定性的图解法判据 、 Nyquist稳定判据的基本原理 利用开环 Nyquist图判断闭环稳定性 )映射原理 设复变函数F(s)= K(s-21)s-二2)…(S-二m) (s-P1)(S-p2)…(S-Pn) 1.s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系 s平面 F(s)平面 F(S)的零点 原点 F(S)的极点 无限远点 s平面上的其他点 原点外的有限点 当动点s1在s平面的封闭曲线C上沿顺时针方向绕行取值时,在F(S)平面上将 映射出一条绕原点的闭合轨迹r 2.讨论s平面与F(s)平面的映射关系 (1)围线C中只含零点时 (2)围线C中只含极点时 (3)围线C中既含零点,也含极点时 设C中含Z个零点,P个极点,则r围线逆时针包围原点的次数N=P-Z -映射原理 (二)特征函数F(s)与Gs)Hs)的关系 设开环传递函数为G(sH(S=BS),则闭环传递函数为 A(S) dp(S)=((s) R(s)1+G( 系统特征方程为F1+G(s)+B(s A(s) ∴F(s)的零点为中(S)的极点,F(s)的极点为G(s)H(s)的极点 G(s)H(S)=F(s)-1
§4-4 系统稳定性分析 判断系统稳定性的图解法判据 一、Nyquist 稳定判据的基本原理 利用开环 Nyquist 图判断闭环稳定性 (一) 映射原理 设复变函数 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s − − − − − − = 1. s 平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系 s 平面 F(s)平面 F(s)的零点 原点 F(s)的极点 无限远点 s 平面上的其他点 原点外的有限点 当动点s1在s 平面的封闭曲线 C 上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将 映射出一条绕原点的闭合轨迹 Г. 2. 讨论 s 平面与 F(s)平面的映射关系 (1) 围线 C 中只含零点时 (2) 围线 C 中只含极点时 (3) 围线 C 中既含零点, 也含极点时 设 C 中含 Z 个零点, P 个极点, 则Г围线逆时针包围原点的次数 N=P-Z ----映射原理 (二) 特征函数 F(s)与 G(s)H(s)的关系 设开环传递函数为 G(s)H(s)= ( ) ( ) A s B s , 则闭环传递函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A s B s G s A s G s H s G s R s C s s + = + = = , 系统特征方程为 F(s)=1+G(s)H(s)=0= ( ) ( ) ( ) A s A s + B s ∴ F(s)的零点为φ(s)的极点，F(s)的极点为 G(s)H(s)的极点 ∵ G(s)H(s)=F(s)-1
∴曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-1j0)点运动 (三) Nyquist轨线 由虚轴和右半s平面上半径为无穷大的半圆构成的闭合曲线保卫整个右半s 平面 Nyquist稳定判据 ()第一种情况 G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时 Nyquist稳定判据为 (1)P=0时,若o从-∞→∞的 Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,则z=0,闭环 系统稳定,否则不稳定 (2)P≠0时若o从-∞→∞的 Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次,则Z=N+P=0 系统稳定,否则不稳定 (3) Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定 (二)第二种情况 当G(s)H(s)在s平面的虚轴或原点处有极点时,需修正 Nyquist轨线 无限小半圆上的动点s可表示为: s=e eje (e→0,-90°<6<90°) 映射到G(s)H(s)平面上,则为 G(sH(s)= (eee)v=/ev 讨论:1型系统G(s)H(s)=∞∠90°~-909 2型系统G(s)H(s)=∞∠180°~-180° 虚轴上有开环极点时,可仿此处理 Nyquist稳定判据二:当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时, 系统G(jH(o川 yquist曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数N 等于开环右极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。 (三)条件稳定系统 系统稳定性随某一K值的变化而变化,在某一K值范围内稳定
∴曲线绕 F(s)平面的原点运动相当于绕 G(s)H(s)平面的(-1,j0)点运动 (三) Nyquist 轨线 由虚轴和右半 s 平面上半径为无穷大的半圆构成的闭合曲线. 保卫整个右半 s 平面 二、Nyquist 稳定判据 (一) 第一种情况 G(s)H(s)在 s 平面的原点及虚轴上没有极点时,Nyquist 稳定判据为: (1) P=0 时,若ω从-∞→∞的 Nyquist 曲线不包围(-1,j0)点,即 N=0,则 Z=0,闭环 系统稳定, 否则不稳定 (2) P≠0 时,若ω从-∞→∞的Nyquist 曲线逆时针包围(-1,j0)点N 次,则Z=N+P=0 系统稳定, 否则不稳定 (3) Nyquist 曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定 (二) 第二种情况 当 G(s)H(s)在 s 平面的虚轴或原点处有极点时，需修正 Nyquist 轨线 无限小半圆上的动点 s 可表示为： s=εе jθ（ε→0，-90°<θ<90°） 映射到 G(s)H(s)平面上,则为 G(s)H(s)= j j e e − = ( ) 1 讨论: 1 型系统 G(s)H(s)=∞90 ~ −90 2 型系统 G(s)H(s)=∞180 ~ −180 虚轴上有开环极点时,可仿此处理 Nyquist 稳定判据二: 当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时, 系统 G(jω)H(jω)Nyquist 曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数 N 等于开环右极点数 P,则闭环系统稳定,否则不稳定。 （三）条件稳定系统 系统稳定性随某一 K 值的变化而变化，在某一 K 值范围内稳定
(四)采用逆极坐标的 Nyquist稳定判据 从-∞→+∞变化时,1/G(jHo)的 Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N 次。N为位于右半s平面的1/Gs)Hs)的极点数,即G(s)H(s)的零点数 注意: Nyquist稳定判据不适用于含延迟环节的系统。 控制系统的相对稳定性分析 (一)相对稳定性的表述 Nyquist曲线接近(-1,j0)点的程度可反映系统相对稳定的裕度。 (二)相角裕量γ和幅值裕量K2的定义 相角裕量 G(jo)H(jo)=1→=。幅值交界频率 Y=180°+中( γ>0,系统稳定 γ1或Kg(db)>0,系统稳定 Kg6db。也可只对γ提要求。 (三)系统的 Nyquist图和Bode图的对应关系 Nyquist图 Bode图 单位圆 0db线 实轴负方向 180°线 四.Bode的稳定性分析 (一)Bode图上稳定裕量的分析 >O。,Y>0,K>0,稳定
（四）采用逆极坐标的 Nyquist 稳定判据 ω从-∞→+∞变化时，1/G(jω)H(jω)的 Nyquist 曲线逆时针包围(-1,j0)点 N 次。N 为位于右半 s 平面的 1/G(s)H(s)的极点数，即 G(s)H(s)的零点数。 注意： Nyquist 稳定判据不适用于含延迟环节的系统。 三．控制系统的相对稳定性分析 （一）相对稳定性的表述 Nyquist 曲线接近（-1，j0）点的程度可反映系统相对稳定的裕度。 （二）相角裕量γ和幅值裕量 Kg的定义 1．相角裕量γ |G(jω)H(jω)|=1 ω=ωc 幅值交界频率 γ= 180°+ φ（ωc） γ>0，系统稳定 γ1 或 Kg（db）>0 , 系统稳定 Kg 6db 。也可只对γ提要求。 （三）系统的 Nyquist 图和 Bode 图的对应关系 Nyquist 图 Bode 图 单位圆 0db 线 实轴负方向 -180°线 四．Bode 的稳定性分析 （一）Bode 图上稳定裕量的分析 ωg >ωc ，γ>0 , Kg>0 , 稳定
(二)Bode定理及应用 (1)线性最小相位系统的幅频特性与相频特性是一一对应的 (2)某一频率上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率,大致为: ±n·20db/dec对应±n·90°相位移 应用:为使γ合适,应使o。处斜率为-20ab/dec,且在1o。到20。范围内保 持不变
（二）Bode 定理及应用 (1) 线性最小相位系统的幅频特性与相频特性是一一对应的. (2) 某一频率上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率, 大致为: ±n·20db/dec 对应±n·90°相位移。 应用: 为使γ合适, 应使ωc 处斜率为-20db/dec , 且在 4 1 ωc 到 2ωc 范围内保 持不变