§3-8控制系统的稳定误差 稳态误差和误差传递函数 1.误差的定义:被控量的希望值和实际值之差.即 e(t)=co()-c() t→时的(称为稳态误差用e表示即 =lim &(t) 2.误差与偏差的关系 1>单位反馈系统 co(=r( e= lim elt= lim t→ t→∞ 非单位反馈系统 (t)≠e(t) E(S=R(S)B(S)=H(SCo()-H(sC(s) H(sE(s) ∵用偏差代替误差进行研究,即 es=lim e(t)=lim(/()-b() 或en,=lmne()=imsE(s) 3.误差传递函数 般系统 E()= 1+G(s)H(s) R(s) R( E() (S)=R)1+(A()→误差传递函数 R(s 3-90 1+G(SH(s e与输入R(s)及开环传递函数G()H()关 4.系统按稳态误差划分的型 设系统开环传递函数为 G(SH(s) K(z;+1)z2s+1)…(zns+1) s"(1s+1)(Z2+1)(s+1) ()H(s)/() S l s→01+G
§3-8 控制系统的稳定误差 一.稳态误差和误差传递函数. 1.误差的定义: 被控量的希望值和实际值之差.即 (t) = c (t)−c(t) 0 t → 时的 (t)称为稳态误差,用ess表示.即 e (t) t ss → = lim 2.误差与偏差的关系. 单位反馈系统 ( ) ( ) ( ) ( ) e e(t) r(t) c(t) t e t c t r t t t s s = = − = = → → lim lim 0 . 非单位反馈系统 ( ) ( ) E(s) R(s) B(s) H(s)C (s) H(s)C(s) t e t = − = − 0 = H(s)(s) 用偏差代替误差进行研究，即 ( ) ( ) ( ) e e(t) sE(s) e e t r t b t t s ss t t ss 0 lim lim lim lim → → → → = = = = − 或 3.误差传递函数. 一般系统 ( ) ( ) ( ) R(s) G s H s E s + = 1 1 (s)R(s) = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 lim lim 1 1 0 0 与输入 及开环传递函数 有关 误差传递函数 e R s G s H s G s H s sR s e sE s R s G s H s E s s s s s s s s e + = = → + = = → → 4.系统按稳态误差划分的型 设系统开环传递函数为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) G s H s s e sE s s T s T T s K s s s G s H s s s s s n m + = = + + + + + + = → → 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2
=lim (T1s+1)…(Tns+1) (T;s+1)…(Tns+1)+K(zs+1)…(zns+1) lims+ R s→0s"+K 按稳定误差划分的型 当v=0,1,2,…R时分别称为型1型2型…系统 5.扰动误差传递函数 对调节系统R(s)=0 E, (S)=R(S-B()=-B(s 即En(S N(s)=Φn(s)N() 1+GG.h Φ(s) G2(SH(s →扰动误差传函 N(s)1+G(SG2(s)H( 6.R(S)和N(s)共同作用时 E()=Φ、()R(s)+Φn(s)N(s) 二.给定输入信号下的稳态误差 1.阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数K r(t)=A1(),R(s) A m sE(s)=lim -01+G(SH(s)s I+linG(SH(s 令Kn=lmG()H(s)→静态位置误差系数 SS 1+Np v=0K=K ess 1+K v≥1,K 结论:0型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统 要使e灬ψ,可↑K对阶跃输入,要使en=0,必须v≥ 2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系数K ()=At,R(s) A ess=5901+G(SH(s) =lim 3>05+SG(s)H(s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) s K s R s s T s T s K s s s T s T s s n m n s + = + + + + + + + = + → + → 1 0 1 1 1 1 0 lim 1 1 1 1 1 1 lim 按稳定误差划分的型： 当 = 0,1,2, R时,分别称为0型,1型,2型系统.. 5.扰动误差传递函数. 对调节系统 R(s) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 扰动误差传函 即 + = = − = + = − = − = − G s G s H s G s H s N s E s s N s s N s G G H G H E s E s R s B s B s en n en n 1 2 2 1 2 2 1 1 . 6. R(s)和N(s)共同作用时 E(s) (s)R(s) (s)N(s) = e +en 二.给定输入信号下的稳态误差 1.阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数 K p ( ) ( ) ( ) s A r t = A1 t , R s = ( ) ( ) ( ) s A G s H s s e sE s s s s s + = = → → 1 lim lim 0 0 G(s)H(s) A s 0 1 lim → + = 令 = ( ) ( )→ 静态位置误差系数 → K G s H s s p 0 lim p ss K A e + = 1 1, , 0 1 0, , = = + = = = p ss p ss K e K A K K e 结论: 0 型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统. 要使 ,可 .对阶跃输入,要使 = 0,必须 1. s s s s e K e 2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系数 K ( ) ( ) 2 , s A r t = At R s = ( ) ( ) s sG(s)H(s) A s A G s H s s e s s s s + = + = → →0 2 0 lim 1 lim
A m S-0SG(SH(S) 令K,=ms(s)H(s)→静态速度误差系数 e K v=0,K,=0,es=∞ v=l,K.=K,ess K v≥2,K,=∞,es=0 结论:0型系统不能跟踪斜坡输入;1型可跟踪,但有与K有关的误差;2型及 以上在斜坡输入下的e=0。 3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数K r()=t2,R(s)= A 3901+G(SH(S)s3 50SG(SH( 令K=lmns2G()H(s)→静态加速度误差系数 0, K 1,K。=0, A v=2,K。=K,e K v≥3,Kn=∞, 0 结论:0型和1型不能跟踪r()=r2,2型可跟踪但有误差,3型 及以上才有准确跟踪. 4.复合输入下的稳态误差 r()=A+At+lAt时 ess+dp 至少ψ≥2,en才能满足要求但会降低系统稳定性 表3-3P95总结 例 G R(s)cE(s C(s) G(s)= 10(s+1 s2(s+4)
sG(s)H(s) A s 0 lim → = ( ) ( ) K A K K e K e K A e K sG s H s s s s s s s s = = = = = = = = → → 1, , 0, 0, lim . 0 令 静态速度误差系数 2,K = ,ess = 0 结论:0 型系统不能跟踪斜坡输入；1 型可跟踪，但有与 K 有关的误差；2 型及 以上在斜坡输入下的 ess = 0 。 3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数 Ka ( ) ( ) 3 2 , 2 s A t R s A r t = = ( ) ( ) s G(s)H(s) A s A G s H s s e s s s s 2 0 3 0 lim 1 lim → → = + = 令 = ( ) ( )→静态加速度误差系数 → K s G s H s s a 2 0 lim a ss K A e = 3, , 0 2, , 1, 0, 0, 0, = = = = = = = = = = = a ss a ss a ss a ss K e K A K K e K e K e 结论: 0 型和 1 型不能跟踪 ( ) 2 2 t A r t = ,2 型可跟踪但有误差,3 型 及以上才有准确跟踪. 4.复合输入下的稳态误差 ( ) p a ss K A K A K A e r t A At A t 0 1 2 2 2 2 1 0 1 1 + + + = = + + 时 至少 2, 才能满足要求,但大会降低系统稳定性. s s e 表 3-3 P95 总结 例 3-14. ( ) ( 4) 10 1 . + = s s G s R(s) E(s) C(s) ( ) ( ) ( 4) 10 1 2 . 2 + + = s s s G s G(s)
r()=4+61+312.求en 解:>1 G,(0)H(0)·A G1(0KG,(0)H l)若G(s)=K(比例环节,则 K ↑K可↓en,但会使系统稳定性降低 2)若G(s)=~(积分环节),则 =lim =0 可见,要在m()=A1()作用下使en=0,应在误差信号与扰动作 用点之间至少应设置一个积分环节. 2.斜坡扰动信号下的稳态误差 A n()=A,M(s)=,则
( ) 4 6 3 . 2 r t = + t + t ss .求e 解: ( ) ( ) (0.25 1) 2.5 4 10 + = + = s s s s G s =1,K = 2.5 则 + + = + = = = = p a ss p a K K K e K K K 6 6 1 4 , 2.5, 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) (0.25 1) 2.5 1 4 10 1 2 2 + + = + + = s s s s s s G s 2.4 6 6 1 4 , , 2.5 2, 2.5, + + = + = = = = = = p a ss p a K K K e K K K K 则 三.扰动输入引起的稳态误差. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = − → → N s G s G s H s sG s H s e sE s s s n s sn 1 2 0 0 1 lim lim 1.阶跃扰动信号下的稳态误差 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (0) (0) (0) 0 0 1 lim 1 , , 1 2 2 1 2 0 G G H G H A s A G s G s H s sG s H s e s A n t A t N s s s s n + = − + = − = = → 则 讨论:当开环增益足够大时,G1 (0)G2 (0)H(0) 1 ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) 0 0 1 2 1 2 G A G G H G H A es n = − = − 1).若G1 (s) = K1 (比例环节),则 K1 A esn = − , . K1可 es n 但会使系统稳定性降低 2).若 1 ( ) 1 (积分环节),则 s K G s = lim 0 1 0 = = − → s K A e s sn 可见,要在 n(t) = A1(t) 作用下使 esn = 0 ,应在误差信号与扰动作 用点之间至少应设置一个积分环节. 2.斜坡扰动信号下的稳态误差. ( ) , ( ) 2 ,则 s A n t = At N s =
e= lim G, ( SH(s) +G,(SG, (sH(s) lms·G1 可见,为使eυ=0,在误差信号与扰动作用点之间至少应设置两个积分环节 但积分环节增多,会降低系统的稳定性. 总结:一般干扰信号多为阶跃信号,所以常设 TS+ G (s=K K1+ TS TS 〉系统总稳态误差e=e+e 四.用动态误差系数法计算系统的稳态误差 静态误差系数法应用范围有限制.动态误差系数法可研究任意时间函数的输 入信号引起的误差随时间变化的规律. 将Φ。(s) E(s R(s)1+G()H(6) 在s=0的邻域内展开成台劳级数 (s)=Φ0)+Φ(0)s+Φ(s)s E(S)=d,(O)R(s)+Φ2(0)sR(s)+Φ(0)32R(s)+ 0)sR(s)+ 此即误差级数,它的收敛域是s=0的邻域,即相当于t→∞ 当初始条件为零时,求L en,()=Φ0)()+Φ(0)()+Φ0)r()+ 令 0,1,2 e,()=cr()+cr()+c2r()+…+cr()+ C C;称为动态误差系数,C0—位置动态误差系数, 一速度动态误差系数,C2—加速度动态误差系数 简便方法:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − → 2 1 2 2 0 1 lim s A G s G s H s G s H s e s sn lim (0) 1 0 s G A s = − → 可见,为使 esn = 0 ,在误差信号与扰动作用点之间至少应设置两个积分环节. 但积分环节增多,会降低系统的稳定性. 总结: 一般干扰信号多为阶跃信号,所以常设 ( ) = + + = s K s s G s K i i i 1 1 1 1 1 1 系统总稳态误差 ss sr sn e = e + e 四.用动态误差系数法计算系统的稳态误差. 静态误差系数法应用范围有限制.动态误差系数法可研究任意时间函数的输 入信号引起的误差随时间变化的规律. 将 ( ) ( ) R(s) G(s)H(s) E s s e + = = 1 1 在 s = 0 的邻域内展开成台劳级数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = + + + • •• • •• E S R s sR s s R s s s s s e e e e e e e 2 2 0 2! 1 0 0 2! 1 0 0 ( ) + ( )s R(s)+ l l l e 0 ! 1 此即误差级数，它的收敛域是 s=0 的邻域，即相当于 t → 当初始条件为零时，求 −1 L ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )+ • • •• •• e t r t e r t e r t s s e 0 2! 1 0 0 ( ) ( ) + r (t)+ l l l e ! 1 令 ( ) (0) ! 1 i i e i C = (i = 0,1,2, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ++ ( )+ • •• e t c r t c r t c r t c r t l s s 0 1 2 l ( ) c r (t) l i i = = 0 i c 称为动态误差系数， 0 c —位置动态误差系数, 1 c —速度动态误差系数, 2 c —加速度动态误差系数. 简便方法：
开环传函 G(sHs) bs"+bsm+…+bn_M(s) n-1 s +as ta sta N 误差传函 Φ(s) N 1+G(sH(S) N(s)+M(s) Co+CS+c2S+C3s+ 10 例3-15G1H1 GH,=10求稳差系数 s(s+1) 5s+ ()=4+At+}A1t2+eM,求e 解:v=v2=1,开环放大倍数K1=K2=10 ∴K。=Kn=∞,K=K=K=10,K=K=0 Φ(s) s+s =0.ls+009s2-0.019s3 41+GH110+s+S Co=0,c1=0.1,c2=0.09,c3=-0.019, S+SS =0.ls+049s2-0.099s3 1+G2H210+s+5 Co=0,c1=0.1,c2=0.49,c3=-0.099 e4|,=0计算e,时取r()=4+A+号41 则r(t)=A+A2tr()=A2 对系统1:en=0.1(41+A1)+0.09A2 对系统2:e,=01(A1+A1)+0.4942 五.减小稳态误差的措施 在保证稳定的前提下提高稳态精度的措施: 〈1)在增大G1的开环放大倍数1的同时,附加校正装置 增加前向通道积分环节个数的同时,也要对系统进行校正 3>采用复合控制 1)按给定补偿的复合控制. G (s E(s) G,( G2()
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N(s) M (s) N s G s H s s N s M s s a s a s a b s b s b G s H s e n n n n m m m + = + = = + + + + + + + = − − − 1 1 1 1 1 1 0 1 误差传函 开环传函 = c0 + c1 s + c2 s 2 + c3 s 3 + 例 3-15 ( ) ( ) , . 5 1 10 , 1 10 1 1 2 2 求稳差系数 + = + = s s G H s s G H ( ) ss A t r t A At A t e ,求e 2 3 2 2 1 0 1 − = + + + 解： 1 = 2 =1,开环放大倍数K1 = K2 =10 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 0 1 2 3 2 3 2 2 2 2 0 1 2 3 2 3 2 2 1 1 0, 0, 0.1, 0.49, 0.099, 0.1 0.49 0.099 10 5 5 1 1 0, 0.1, 0.09, 0.019, 0.1 0.09 0.019 1 10 1 , 10, 0 3 2 1 1 2 1 2 1 2 e e r t A At A t c c c c s s s s s s s G H s c c c c s s s s s s s G H s K K K K K K K t s s A t e e p p a a = = + + = = = = − = + − + + + + = + = = = = = − = + − + + + + = + = = = = = = = = → − 计算 时取 则 ( ) ( ) 1 2 2 r t = A + A t,r t = A • •• 对系统 1： ( ) 1 2 09 2 ess = 0.1 A + A t + 0. A 对系统 2： ( ) 1 2 49 2 ess = 0.1 A + A t + 0. A 五.减小稳态误差的措施 在保证稳定的前提下提高稳态精度的措施： 在增大 G1 的开环放大倍数 K1 的同时，附加校正装置. 增加前向通道积分环节个数的同时,也要对系统进行校正. 采用复合控制. 1)按给定补偿的复合控制. R(s) E(s) + C(s) + G (s) r G (s) 1 G (s) 2
o(s)C(s)(G,+G, G2 r(S 1+G1G E(2=R()c()=1-ccRs) 1+GG2 若G=,则E(s)=0—给定作用实现完全不变性的条件。 2)按扰动补偿的复合控制 N(s) RIS > QE(s)8+ c(s) E()=-C(s) (1+G G,G, N 1+G,G2 若G 则E(s)=0—扰动作用实现完全不变性的条件 讨论:G(G)、G(常为s的多项式,故G=六和Gn=-较难实现。实际中常采 用部分补偿。例 R(s) K s(Tm s+1) 随动系统,加给定作用的前馈控制。 KK (T+1(7m+1) 补性:d0)2x+女 +1)+K,K 令K=K1K2 sITs+1(Ts+ s(;s+1)ns+1)+K
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) G G G G E s R s C s G G G G G R s C s s r r 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 + − = − = + + = = 若 2 1 G Gr = ，则 E(s) = 0—给定作用实现完全不变性的条件。 2）按扰动补偿的复合控制 N(s) R(s) E(s) + + C(s) - + ( ) ( ) ( ) N(s) G G G G G E s C s n 1 2 1 2 1 1 + + = − = − 若 1 1 G Gn = − ，则 E(s) = 0—扰动作用实现完全不变性的条件 讨论： G (s) 1 、G (s) 2 常为 s 的多项式，故 2 1 G Gr = 和 1 1 G Gn = − 较难实现。实际中常采 用部分补偿。例 R(s) + c(t) - + ——随动系统，加给定作用的前馈控制。 补偿前： ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 s T s T s K K K K s s T s T K K G s m m + + + = + + = 令 K = K1K2 ( ) ( )( ) s(T s )(T s ) K s T s T s s m m e + + + + + = 1 1 1 1 1 1 Gn G1 G2 1 1 1 T s + K ( 1) 2 s T s + K m sd
A 对r()=At,有e3 K 补偿后:加入G,()=xS 1+G (sG(s) K(t,s+ ()s(71s+1)(Tns+1)+K 中:()=1-06)=5(n+7+)+-kx) (T;s+1)Tns+1)+1 取r K 则 S (TT S+T+T, S(T,s+)(TmS+1)+K E(s)=Φ(s)R(s) 对r()=At,R(s) A 有 +l+T s+1)+K 此时Φ(s)= s+K S (TTm. S+T+T)+s+K 相当于G)=(s) s+K (S)5(TTm S+T+T, 所以:系统由I型提高为Ⅱ型,en↓,但稳定性和暂态性能未变
对 r(t) = A• t ，有 K A ess = 补偿后：加入 G (s) s r d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 + + + + + + − = − = + + + + = + + = s T s T s s T T T T s K s s s T s T s K K s G s G s G s s m m m d e m r d 取 K d 1 = ，则 ( ) ( ) ( )( ) E(s) (s)R(s) s T s T s K s TT s T T s e m m m e = + + + + + = 1 1 1 1 1 2 对 ( ) , ( ) 2 ,有 s A r t = At R s = ( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 lim lim 2 1 1 1 3 0 0 = + + + + + = = → → s A s T s T s K s TT s T T e sE s m m m s s s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m s TT s T T s K s s G s s TT s T T s K s K s + + + = − = + + + + + = 1 1 2 1 1 2 1 , 相当于 此时 所以：系统由Ⅰ型提高为Ⅱ型， ess ，但稳定性和暂态性能未变