第二章控制系统的数学模型 概述:1.数学模型--描述系统变量之间关系的数学表达式 2.建模的基本方法:(1)机理建模法解析法) 2)实验辩识法 3.控制系统数学模型的主要形式: (1)外部描述法:输入-输出描述 (2)内部描述法:状态变量描述 在控制系统的分析中,线性定常系统的分析有特别重要的意义 本章内容:两种形式数学模型的建立控制系统的图解表示法 §2-1线性系统的微分方程 线性系统微分方程的建立 步骤:1.确定系统的输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控 制量,也称为系统的响应) 2.列写系统各部分的微分方程 3.消去中间变量,求出系统的微分方程 例2-1R、L、C串联电路的微分方程 R u(t) uo(t) 解:(1)定输入输出量 u(t)-输入量,u(t)-输出量 (2)列写微分方程 由基尔霍夫定律Uk+UL+o=入 又 UR=R·i(t) di(o R i(t+l di(t)+uc=ui (3)消去中间变量 考虑 i(t)=C- dt dt +RC血( Lou(o (t=ui(t) 令:T1=L/R,T2=RC,则 TI T2 d-u2() T dt dt
第二章 控制系统的数学模型 概述：1. 数学模型 ------描述系统变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法) (2) 实验辩识法 3. 控制系统数学模型的主要形式: (1)外部描述法: 输入--输出描述 (2)内部描述法: 状态变量描述 在控制系统的分析中,线性定常系统的分析有特别重要的意义。 本章内容: 两种形式数学模型的建立,控制系统的图解表示法 §2-1 线性系统的微分方程 一、线性系统微分方程的建立 步骤：1. 确定系统的输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控 制量, 也称为系统的响应) 2. 列写系统各部分的微分方程 3. 消去中间变量, 求出系统的微分方程 例2-1 R、L、C 串联电路的微分方程 L R ui(t) uo(t) i(t) C 解: (1) 定输入输出量: ui(t) ----输入量, uo(t) ----输出量 (2) 列写微分方程 由基尔霍夫定律 UR+UL+UC = ui 又 UR = R · i(t) UL = L dt di(t) R · i(t)+L dt di(t) +UC = ui (3)消去中间变量 考虑 UC = uo i(t) = C dt duc = C dt du0 LC dt d u t o ( ) 2 + RC dt du t o ( ) + uo(t) = ui (t) 令: T1 = L/R, T2 = RC, 则 T1 T2 2 2 ( ) dt d u t o + T2 dt du t o ( ) + uo(t) = ui (t)
例2-2弹簧一质量一阻尼器组成的机械位移系统的微分方程 F 解:(1)定输入输出量 外作用力F-输入量,位移ⅹ--输出量 2)列写微分方程 根据牛顿定律:F+F弹+F阻=m 又 F F dt F-kx-f- dt (3)消去中间变量 考虑 则得 F-kx-f dx 十 +kx=F 例2一3他励直流电动机电枢控制的微分方程 负载 Ra 解:(1)定输入输出量: 输入量:给定输入--电枢电压u 扰动输入--负载转矩mc 输出量:电动机转速ω (2)列写微分方程 设ea为电动机的反电动势,有e2+inR+La血=ua (3)消去中间变量
例 2-2 弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移系统的微分方程 k F m x f 解: (1) 定输入输出量: 外作用力 F ----输入量, 位移 x ----输出量 (2) 列写微分方程 根据牛顿定律: F + F 弹 +F 阻 = m·a 又 F 弹 = -kx F 阻 = -f dt dx F – kx - f dt dx = m·a (3)消去中间变量 考虑 a = 2 2 dt d x ,则得 F – kx - f dt dx = m 2 2 dt d x 即 m 2 2 dt d x + f dt dx + kx = F 例 2－3 他励直流电动机电枢控制的微分方程 + ia La mC ua m 负载 ω Ra + _ 解: (1) 定输入输出量: 输入量: 给定输入----电枢电压 ua 扰动输入----负载转矩 mC 输出量: 电动机转速ω (2) 列写微分方程 设 ea 为电动机的反电动势, 有 ea + ia Ra + La dt dia = ua (3)消去中间变量
考虑ea=Ce Cm'la m-mc TaT do Ku ua-Km(ta 其中:T R R --时间常数 --传专递系数讨论: 般系统输入输出关系微分方程的一般形式 dc(+a, d-c( +.. an/ dc(o) +an'c(t) dt dt bo ar(+b, dm-lr( +.+bm- dr(D) +bm r(t) 2.微分方程的增量化表示 例2-3中,各导数项为0时,有 Ku ua-Km,mc 静态数学模型 若ua=0,mc=0,则=0--零状态 在非零平衡状态附近时 ua=u20+∠u mc=mco+∠mc 0+A 代入TaTm4+Tn Ku ua-Km(Ta nc tmc 并考虑=Kuua0- Km, mco,得 TaTm4A+mn④+A0=K∠u-Kn(I+∠mc) 3.相似系统和相似量 相似系统:具有相同数学模型的系统 如:例2-1与例2-2 TI T2 d2u。(t) T2 (t=ui(t) f kx=F 相似量:相似系统中占据相应位置的物理量 如:例2-1以q(t)作输出量时为 L d q+r dq(0 +q(t=u;(t) RaY fL 复杂控制系统微分方程的建
考虑 ea = Ce · ω m = Cm ·ia J dt d = m - mC TaTm 2 2 dt d + Tm dt d + ω= Ku·ua- Km(Ta dt dmc +mC) 其中: Ta = a a R L , Tm = e m a C C R J ----时间常数 Ku = Ce 1 ， Km = J Tm ----传递系数讨论： 1．一般系统输入输出关系微分方程的一般形式 a0 n n dt d c(t) + a1 1 1 ( ) − − n n dt d c t +……+ an-1 dt dc(t) + an·c（t）= b0 m m dt d r(t) + b1 1 1 ( ) − − m m dt d r t +……+ bm-1 dt dr(t) +bm·r(t) 2．微分方程的增量化表示 例 2-3 中，各导数项为 0 时，有 ω= Ku·ua- Km·mC ----静态数学模型 若 ua = 0，mC = 0，则 ω= 0 ----零状态 在非零平衡状态附近时 ua = ua0 + ⊿ua mC = mC0 + ⊿mC ω=ω0 +⊿ω 代入 Ta Tm 2 2 dt d + Tm dt d + ω= Ku·ua- Km(Ta dt dmc +mC) 并考虑 ω0= Ku·ua0- Km·mC0 ，得 Ta Tm 2 2 dt d + Tm dt d + ⊿ω= Ku·⊿ua- Km(Ta dt dmc +⊿mC) 3．相似系统和相似量 相似系统：具有相同数学模型的系统 如：例 2-1 与例 2-2 T1 T2 2 2 ( ) dt d u t o + T2 dt du t o ( ) + uo(t) = ui (t) m 2 2 dt d x + f dt dx + kx = F 相似量：相似系统中占据相应位置的物理量 如：例 2-1 以 q(t)作输出量时为 L 2 2 ( ) dt d q t + R dt dq(t) + C 1 q(t) = ui (t) ∴ q x ，R f ,L m 4．复杂控制系统微分方程的建立
例2-4电机转速控制系统 解:(1)定输入输出量: 输入量:给定输入u2 扰动输入mc 输出量:电动机转速ω (2)列写各部分的微分方程 Kilug-uf)=K ②u2=K2(x1+u1) dt ③ua=K3 4 Ta Tmdo +Tm do +o=Ku ua-Km( a adme +mc) K (3)消去中间变量u、u、u2、ua,得 Tam- d'o t Im + Kot I+Ko ark (r-,+ug) 1+K。dt +(吻 K 其中,K=KKK2K3 Ko=K Kf=KuK k?K3Kf 讨论:(1)ug为常数,mc变化时 Tn+K。rdo T 1+K。dt 1+K (2)mc为常数,ug变化时 tl d Im trot da K 结论:线性系统可利用叠加原理讨论 注意:(1)信号传递的单向性 (2)负载效应 R R R2 R2 R1+R2 R,+RUR R R,UR 负载效应 R+R2 R+R,RI 消除方法:加隔离放大器 二、线性系统微分方程解的组成
例 2－4 电机转速控制系统 解: (1) 定输入输出量: 输入量: 给定输入 ug 扰动输入 mC 输出量: 电动机转速ω (2)列写各部分的微分方程 ① u1 = K1(ug-uf) = K1ue ② u2 = K2( dt du1 + u1) ③ ua = K3u2 ④ Ta Tm 2 2 dt d + Tm dt d + ω= Ku·ua- Km(Ta dt dmc +mC) ⑤ uf = Kf·ω (3)消去中间变量 uf 、u1、u2、ua ，得 0 1 K TaTm + 2 2 dt d + 0 0 1 K Tm K + + dt d + ω= 1 K0 K + ( dt dug + ug) – 0 1 K K m + (Ta dt dmc +mC) 其中, K = KuK1K2K3 K 0= K·Kf = KuK1K2K3Kf 讨论: (1) ug为常数, mC 变化时 0 1 K TaTm + 2 2 dt d + 0 0 1 K Tm K + + dt d + ω= - 0 1 K K m + (Ta dt dmc +mC) (2) mC 为常数, ug变化时 0 1 K TaTm + 2 2 dt d + 0 0 1 K Tm K + + dt d + ω= 1 K0 K + ( dt dug + ug) 结论: 线性系统可利用叠加原理讨论 注意: (1) 信号传递的单向性 (2) 负载效应 R1 R1 u1 u1 u2 R2 R2 RL u2 2 1 u u = 1 2 2 R R R + 2 1 u u = L L R R R R R + 1 2 2 1 2 2 R R R + L L R R R R R + 1 2 2 负载效应 消除方法: 加隔离放大器 二、线性系统微分方程解的组成
例24中令a2=m,a1=m+kx,a0=1 Kt 1+K 1+K 则 b1-&+ bol (1)由拉氏变换法 a2[s29(s)-so(0)-o(0)]+a1[s2(s)-(0)]+a02(s) bi[sUg(s)-ug(0)]+boU(s) 整理,得 (s)+92(s) b,S+bo -Ug(s)+ a2so(0)+a2o(0)+a2o(0)-bx2(O a2s +a,+ao as+as+a (t)=o1(t)+o2(t) 零状态解零输入解(自由响应) (2)由经典解法 特解 通解 3)还可分为 (t)=ω。(t)+o,(t) 稳态解暂态解
例 2-4 中,令 a2 = 0 1 K TaTm + , a1 = 0 0 1 K Tm K + + , a0 = 1 b1 = 1 K0 K + , b0 = 0 1 K K + 则 a2 2 2 dt d + a1 dt d + a0ω= b1 dt dug + b0ug (1)由拉氏变换法 a2[s2 (s) – sω(0)- (0) ]+a1[s (s) – ω(0)]+a0 (s) = b1[sUg(s) – ug(0)]+b0Ug(s) 整理， 得 (s) = 1(s) + 2(s) = 1 0 2 2 1 0 a s a s a b s b + + + Ug(s)+ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 a s a s a a s a a b ug + + + + − ∴ ω(t) = ω1(t) + ω2(t) 零状态解 零输入解（自由响应） (2)由经典解法 ω(t) = ωp(t) + ωh(t) 特解 通解 (3) 还可分为 ω(t) = ω∞(t) + ωt(t) 稳态解 暂态解