面步通大学 与系线9 网络教育资源建设工程 信≡ SIGNALS AND SYSTEMS 与系统 第10章Z变换 The z-Transform
第10章 Z-变换 The Z-Transform
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 请本章主要内容 师 王阎 1.双边Z变换及其收敛域ROC 霞森2.ROC的特征,各类信号的ROC,零极点图。 授3.Z反变换,利用部分分式展开进行反变换。 4.由零极点图分析系统的特性。 5.常用信号的Z变换,Z变换的性质。 6.用Z变换表行LT系统,系统函数,LT係系统 的Z变换分析法,系统的级联与并联型结构。 7.单边Z变换,增量线性系统的分析
本章主要内容 1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。 3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。 6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 4. 由零极点图分析系统的特性。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 进10.0引言( Introduction) 师 王阎 鸿 霞森 Z变换与拉氏变换相对应,是离散时间傅立 副教 教授 授 叶变换的推广。Z变换的基本思想、许多性 质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然,Z变换与拉氏变换也存在着一些重要 的差异
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立 叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性 质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要 的差异。 10.0 引言 (Introduction)
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信 与系统 毒10.1双边Z变换 教 师 The z-Transform 王阎 鸿 霞森 副教 一双边Z变换的定义 教授 授 X()=∑x(m)"其中z=是个复数 当r时,z即为离散时间傅立叶变换。 这表明:DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。 X(reo)=>x(n)r"e on=F[x(n)r-m
10.1 双边 Z 变换 当 时， 即为离散时间傅立叶变换。 这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。 r =1 j z e = ( ) ( ) [ ( ) ] j n j n n n X re x n r e x n r − − − =− = = F ( ) ( ) n n X z x n z − =− = j z re 其中 = 是一个复数。 一.双边Z变换的定义: The z-Transform
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信 与系统 可见:对x(m)做Z变换就等于对x(n)r"做DTFT。 师 王阎 因此,Z变换是对DTFT的推广 鸿 霞森 副教 二.Z变换的收敛域(ROC) 教授 授 Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 并非任何信号的Z变换都存在。 2.并非平面上的任何复数都能使X(z)收敛。 Z平面上那些能使X(z)收敛的点的集合,就构 成了X(x)的收敛域(ROC)
可见：对 做 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。 x n( ) ( ) n x n r − 二. Z变换的收敛域（ROC）： Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 收敛。 Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构 成了 的收敛域（ROC）。 X z( ) X z( ) X z( )
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 薮例1.x(n)=a"l(n) 师 王阎 鸿 霞森 X()=∑ |>a时收敛 a2 副教 教授 授 当<1时,ROC包括了单位圆。 Z平面↑Im 单位圆 此时,x(m)的DTFT存在。 X(e) Re 1-ae 显然有X(x)|0=X(e/)
例1. ( ) ( ) n x n a u n = 1 1 ( ) 1 n n n X z a z az − − =− = = − z a 时收敛 当 a 1 时， ROC包括了单位圆。 1 ( ) 1 j j X e ae − = − z a 单位圆 1 Im Re Z平面 a 此时， x n( ) 的DTFT存在。 ( ) | ( ) j j z e X z X e = 显然有 =
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信 与系统 主讲教师 例2.x(n)=l(m) 王阎 鸿 霞森 X()=∑= n=0 副教 教授 授 此时,ROC不包括单位圆,所以不能简单地从 通过将得到一e0X(e) Z平面↑Im x(e0)= +∑m6(0-2k) k=-00 Re (例2的ROC)
例2. x n u n ( ) ( ) = 1 0 1 ( ) 1 n n X z z z − − = = = − z 1 此时，ROC不包括单位圆，所以不能简单地从 通过将 X z( ) 得到 z 。 j e ( ) j X e Im Re Z平面 1 （例2的ROC） 1 ( ) ( 2 ) 1 j j k X e k e − =− = + − −
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信 与系统 主 63.x(n)=-a"l(-n-1) 王阎 鸿 霞森 X()=∑am=∑a"= 副教 教授 授 a 2 ROC a 2 Z平面↑m单位圆 Re
例3. ( ) ( 1) n x n a u n = − − − 1 1 ( ) n n n n n n X z a z a z − − − =− = = − = − 1 1 1 1 1 1 a z a z az − − − = − = − − a 1 Re Z平面 Im 单位圆 ROC: z a
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 教例4.x(n)=()u(n)-2"u(-n-1) 王阎 鸿 霞森 X()=∑()=-22”="mz平面 副教 教授 授 R 1-2z ROC:-<=<2 单位圆 一般情况下,X(的ROC是Z平面上一个以 原点为中心的圆环
例4. 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) 2 n n x n u n u n = − − − 1 0 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n X z z z z z − − − = =− − − = − = + − − 1 ROC : 2 2 z 一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以 原点为中心的圆环。 X z( ) 1/2 2 Im Z平面 Re 单位圆
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 结论: 师 王1)Z变换存在着收敛问题,不是任何信号都存 鸿 霞森 在Z变换,也不是任何复数Z都能使X()收敛。 副教 教授 授 2)仅仅由X(z)的表达式不能唯一地确定一个信 号,只有X(x)连同相应的ROC一道,才能与信 号x(n)建立一一对应的关系。 3)Z变换的ROC,一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域
结 论： 1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X z( ) 收敛。 X z( ) X z( ) x n( ) 2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信 号，只有 连同相应的ROC一道，才能与信 号 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域