6二阶电路分析 6-1RLC串联电路的零输入响应 6-2RLC串联电路在恒定激励下 的零状态响应和全响应 6-3GCL并联电路分析 6-4-般二阶电路分析
6 二阶电路分析 6－1 RLC串联电路的零输入响应 6－2 RLC串联电路在恒定激励下 的零状态响应和全响应 6－3 GCL并联电路分析 6－4 一般二阶电路分析
二阶电路:由二阶微分方程描述的电 路 分析二阶电路的方法:仍然是建立微分 方程(二阶),并利用初始条件求解得到 电路的响应。它是一阶电路的推广 本章主要讨论含两个(独立)动态元件的 线性二阶电路,重点是讨论电路的零 输入响应
二阶电路：由二阶微分方程描述的电 路。 分析二阶电路的方法：仍然是建立微分 方程(二阶)，并利用初始条件求解得到 电路的响应。它是一阶电路的推广。 本章主要讨论含两个(独立)动态元件的 线性二阶电路，重点是讨论电路的零 输入响应
6-1RLC串联电路的零输入响应 为了得到图示 RLC串联电路的微 t u R 分方程,先列出 C KVL方程 uR(t)+u(t)+uc(t)=us(t) 代元件CR(=()=1(0=c du di d 2u uR(=Ri(t)=Ro u (t)=L.=LC dt 得 LC dn2+RC业 +uc=us(t) dt
为 了 得 到 图 示 RLC 串联电路的微 分方程 ， 先 列 出 KVL方程 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S u t + u t + u t = u t 代元件VCR 2 c 2 L c R c L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t u LC t i u t L t u u t Ri t RC t u i t i t i t C = = = = = = = 得： ( ) d d d d C S C 2 C 2 u u t t u RC t u LC + + = 6－1 RLC串联电路的零输入响应
这是一个常系数非齐次线性二阶微分 方程。为了得到电路的零输入响应, 令s()=0,得二阶齐次微分方程 d-u LLC dr2+Rc duc+uc=0 dt 其特征方程为LC32+RCS+1=0 白此解得特征根 rx R 2L 2L LC
这是一个常系数非齐次线性二阶微分 方程。为了得到电路的零输入响应， 令uS (t)=0，得二阶齐次微分方程 0 d d d d C C 2 C 2 + + u = t u RC t u LC 其特征方程为 1 0 2 LCs + RCs + = 由此解得特征根 L LC R L R s 1 2 2 2 1 2 − ， = −
特征根称为电路的固有频率。当电路元 件参数R,L,C的量值不同时,特征根可 能出现以下三种情况: 1R>2时,12为不相等的负实根 2R<2时,s1,2为共轭复数根。 3R=2,1s2为相等的负实根
特征根称为电路的固有频率。当电路元 件参数R,L,C的量值不同时，特征根可 能出现以下三种情况： C L 1 R 2 时，s1 ,s2为不相等的负实根。 2 时，s1 ,s2 为共轭复数根。 C L R 2 3 时，s1 ,s2 为相等的负实根。 C L R = 2
1当两个特征根为不相等的实数根 时,称电路是过阻尼的 2当两个特征根为相等的实数根时 称电路是临界阻尼的 3当两个特征根为共轭复数根时, 称电路是欠阻尼的。 以下分别讨论这三种情况
1.当两个特征根为不相等的实数根 时，称电路是过阻尼的； 2.当两个特征根为相等的实数根时 ，称电路是临界阻尼的； 3.当两个特征根为共轭复数根时， 称电路是欠阻尼的。 以下分别讨论这三种情况
过阻尼情况R>2,L 电路的固有频率s1,s2不相同的实数,齐 次微分方程的解为: (t)=A1 S,t 式中的常数A1,A2由初始条件确定。 令上式中的=0+得(0)=A+A2 对uc()求导,再令t=0+得 duc(t) (0+) t=0 As,+ as dt
一、过阻尼情况 电路的固有频率s1 , s2不相同的实数，齐 次微分方程的解为： s t s t u t A 1 A 2 ( ) e e C = 1 + 2 式中的常数A1，A2由初始条件确定。 令上式中的t=0+得 C 1 2 u (0 ) = A + A + 对uC (t)求导，再令t=0+得 C i A s A s t u t t (0 ) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C + = + = + = C L R 2
联立求解,可得 (O+) (O) S14c(O+)-(O 将41,A2代入u(得到电容电压的零输 入响应,再利用KCL方程和电容的VCR 可以得到电感电流的零输入响应
联立求解，可得: (0 ) (0 ) 1 L 2 C 2 1 1 − + + C i s u s s A － ＝ 将A1，A2代入uC(t)得到电容电压的零输 入响应，再利用KCL方程和电容的VCR 可以得到电感电流的零输入响应。 − + + C i s u s s A (0 ) (0 ) 1 L 1 C 1 2 2 － ＝
当uc(0+)=U0(0+)=0时 () O i(t=cauc(t) 0 St dt L(s2-s1) 2()-1、Uo(S1e-S2e”) di dt t>0
( ) - 1 2 2 1 1 0 2 1 2 0 s t s t C e s s s U e s s s U u t － － ＝ 当uC (0+)=U0 ,iL (0+)= 0时 ( - ) d ( ) d ( ) ( ) 1 2 2 1 C 0 s t s t e e L s s U t u t i t C － = ＝ ( -s ) d d ( ) 1 2 1 2 2 1 0 s t s t L s e e s s U t i u t L － ＝ = t > 0
例1已知R=3gL=05H,C=0.25F, uc(0)=2vi1(0+)=1A,求uc(和() 的零输入响应 解:由R,L,C的值,计算出固有频率 R 1,2 RXN 3±√32-8=-3±1 2L 2L LO 则:uC(t)=K1e2+K2e(t≥0
例1 已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC (0+)=2V,iL (0+)=1A，求uC (t)和iL (t) 的零输入响应。 − − − = − − = − = = − 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 2 2 1 2 L LC R L R s ， ( ) e e ( 0) 4 2 2 C = 1 + − − u t K K t t t 则： 解：由R,L,C的值，计算出固有频率