21有理数 1.正数和负数的意义 (1)正数:像637,3,10%,这样太天Q的数叫做正数 ①为了突出数的符号,可以在正数的前面加“大”是,如637,10%可以写成+6, ②正数前面的“+”号可以省略.如+7可以省略“+”号写成7 负数:像一3,-56,-50,-2,=15%,…在更数如上“”的数叫做负 辨误区正数和负数的理解 ①对于正数和负数的意义,不能简单地理解为带“+”号的数是正数,带“”号的数 是负数 ②负数是在正数前面加上一个“·”号,如-5,·(+7等都是负数,负数中的“” 号不能省略,如-5省略“-”号就是5,变成正数了 (3)0:0既不是正数也不是负数 0是正数和负数的分界点,如温度计上的0℃,也是一个特定的温度,0℃以下为负数 0℃以上为正数 【例1】下列各数中,哪些数是正数?哪些数是负数? +12.0.15,2 205,0,-7,3.14 分析:用正数、负数的定义进行区分 解:正数有:+12,0.15,3.14 负数有:-,-2.05,-7 2.有理数 (1)定义:整数与分数统称为有理数 (2)有理数的判断方法 ①正整数、0、负整数都是有理数 ②正分数和负分数都是有理数 (3)拓展发散: 引入负数后,数的范围扩大为有理数,奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围 数不仅有正偶数和0,还有负偶数:奇数也包括正奇数和负奇数 【例2】下列说法正确的有() ①-5是有理数 ②2是有理数 ③0.3不是有理数 ④-2是偶数 A.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①②④ 解析:负整数是有理数,正分数是有理数,有限小数可化为分数,因此是有理数;偶数 包括正偶数、0和负偶数 谷案:D
2.1 有理数 1．正数和负数的意义 (1)正数：像 6,3.7， 2 3 ，10%，…这样大于 0 的数叫做正数． ①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如 6,3.7， 2 3 ，10%可以写成＋6， ＋3.7，＋2 3 ，＋10%. ②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7 可以省略“＋”号写成 7. (2)负数：像－3，－5.6，－50，－ 1 2 ，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负 数． 辨误区 正数和负数的理解 ①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数 是负数． ②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－(＋7)等都是负数，负数中的“－” 号不能省略，如－5 省略“－”号就是 5，变成正数了． (3)0：0 既不是正数也不是负数． 0 是正数和负数的分界点，如温度计上的 0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数， 0 ℃以上为正数． 【例 1】 下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？ ＋12,0.15，－ 5 2 ，－2.05,0，－7,3.14 分析：用正数、负数的定义进行区分． 解：正数有：＋12,0.15,3.14； 负数有：－5 2 ，－2.05，－7. 2．有理数 (1)定义：整数与分数统称为有理数． (2)有理数的判断方法： ①正整数、0、负整数都是有理数． ②正分数和负分数都是有理数． (3)拓展发散： 引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶 数不仅有正偶数和 0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数． 【例 2】 下列说法正确的有( )． ①－5 是有理数 ② 7 3 是有理数 ③0.3 不是有理数 ④－2 是偶数 A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④ 解析：负整数是有理数，正分数是有理数，有限小数可化为分数，因此是有理数；偶数 包括正偶数、0 和负偶数． 答案：D
3.有理数的分类方法 (1)按定义分(两分) 正整数 整数{零 有理数 负整数 /分数正分数 负分数 (2)按性质分(三分) 正有理数/正整数 正分数 有理数零 负整数 负有理级负分数 “不重复”的意思是说,每一个数只能属于其中的一类,不能出现某一个数属于多类的 情况.如,将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的.因为0这个数被重复分类了,把 0既分在了非负数中,又分在了非正数中 不遗漏”的意思是说,分类时,不能遗漏某些数.如,将有理数分为正有理数与负有 理数两类,显然遗漏了0 【例3】把下面各有理数填在相应的大括号里: 3,+1, 1.5,0,0.2,3,-4 正数集合:{ 负数集合:{ 整数集合:{ 分数集合:{ 正分数集合:{ 负分数集合:{ 分析:根据正数、负数;整数、分数;正分数、负分数的定义可完成本题 解:正数集合:{12,+1 负数集合:{-3,-15,卡3} 整数集合:{12,-3,+1,0,…} 分数集合:,-15,02,32, 正分数集合:1,02, 负分数集合:{-1.5, 点评:解答有理数的分类问题,要明确分类的标准,在将有理数填入相应的集合中时, 注意不要发生遗漏和错填现象 4.具有相反意义的量及应用 (1)具有相反意义的量 ①向东向嗎、进卖、雯上雯下收入积支战运进和运……都具有相反的意义.如 “向东5米”和“向西3米”就是一对具有相反意义的量 ②特征:a意义想反;b成对现
3．有理数的分类方法 (1)按定义分(两分)： (2)按性质分(三分)： “不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的 情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为 0 这个数被重复分类了，把 0 既分在了非负数中，又分在了非正数中． “不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有 理数两类，显然遗漏了 0. 【例 3】 把下面各有理数填在相应的大括号里： 12，－3，＋1， 1 3 ，－1. 5,0,0.2,31 4 ，－4 3 5 . 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}． 分析：根据正数、负数；整数、分数；正分数、负分数的定义可完成本题． 解：正数集合： 12，＋1， 1 3 ，0.2，3 1 4 ，… . 负数集合： －3，－1.5，－4 3 5 ，… . 整数集合：{12，－3，＋1,0，…}． 分数集合： 1 3 ，－1.5，0.2，3 1 4 ，－4 3 5 ，… . 正分数集合： 1 3 ，0.2，3 1 4 ，… . 负分数集合： －1.5，－4 3 5 ，… . 点评：解答有理数的分类问题，要明确分类的标准，在将有理数填入相应的集合中时， 注意不要发生遗漏和错填现象． 4．具有相反意义的量及应用 (1)具有相反意义的量： ①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如 “向东 5 米”和“向西 3 米”就是一对具有相反意义的量． ②特征：a.意义相反；b.成对出现．
(2)表示方法 用正数和负数表示具有相反意义的量 当规定其中一个量用正数表示时,那么另一个就用负数表示0是正负数的界限,是表示 基准”的数 【例4-1】阅读下面的材料,从中找出一对具有相反意义的量,并用正数和负数表示 它们 非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠,昼夜温差非常大,一个科学考察队测得某一天 中午12时的气温是零上53℃,下午2时的气温是零上58℃,晚上10时的气温是零下34℃ 分析:“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的量,规定其中的一个量为正,则 另一个量为负 解:具有相反意义的量是“零上温度”和“零下温度”.把零上记为正,则零上53℃ 和零上58℃分别记作+53℃和+58℃,零下34℃记作-34℃ 【例4-2】一种零件的尺寸在图纸上标注是10±0.05(单位:毫米),表示这种零件的标 准尺寸是多少毫米?加工时,符合要求的零件最大不能超过多少毫米?最小不能少于多少毫 米? 分析:由标注“10±005”可知,10是指标准尺寸的大小,+0.05说明在10毫米的基础 上,最多只能多出0.05毫米,-005说明在10毫米的基础上,最多只能比标准尺寸少0.05 毫米 解:这种零件的标准尺寸是10毫米;符合要求的零件最大不能超过1005毫米,最小 不能少于9.95毫米
(2)表示方法： 用正数和负数表示具有相反意义的量． 当规定其中一个量用正数表示时，那么另一个就用负数表示.0 是正负数的界限，是表示 “基准”的数． ___________ ____________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ 【例 4－1】 阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示 它们． 非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个科学考察队测得某一天 中午 12 时的气温是零上 53 ℃，下午 2 时的气温是零上 58 ℃，晚上 10 时的气温是零下 34 ℃. 分析：“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的量，规定其中的一个量为正，则 另一个量为负． 解：具有相反意义的量是“零上温度”和“零下温度”．把零上记为正，则零上 53 ℃ 和零上 58 ℃分别记作＋53 ℃和＋58 ℃，零下 34 ℃记作－34 ℃. 【例 4－2】 一种零件的尺寸在图纸上标注是 10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标 准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫 米？ 分析：由标注“10±0.05”可知，10 是指标准尺寸的大小，＋0.05 说明在 10 毫米的基础 上，最多只能多出 0.05 毫米，－0.05 说明在 10 毫米的基础上，最多只能比标准尺寸少 0.05 毫米． 解：这种零件的标准尺寸是 10 毫米；符合要求的零件最大不能超过 10.05 毫米，最小 不能少于 9.95 毫米．