第二章控制系统的数学描述 ◆引言(数学模型的概念和意义) ◆输入输出描述法 数学模型的分类,传递函数,典型环节, 系统的相似性,线性化 ◆结构图(方块图)及其等效变换 ◆反馈控制系统的传递函数 闭环传递函数,特征多项式与特征方程
第二章 控制系统的数学描述 ◆引言（数学模型的概念和意义） ◆输入输出描述法 数学模型的分类，传递函数，典型环节， 系统的相似性，线性化 ◆结构图（方块图）及其等效变换 ◆反馈控制系统的传递函数 闭环传递函数，特征多项式与特征方程
2.1引言 y(t) 数学模型的定义: 系统 描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式 类型:动态模型、静态模型 动态模型:微分方程、差分方程、状态方程等 建模方法:机理分析法、实验法(系统辨识) 白箱法+黑箱法→灰箱法
2 2.1 引言 数学模型的定义: 描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式 建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识） 类型：动态模型、静态模型 动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等 系统 u(t) y(t) 白箱法 + 黑箱法 灰箱法
为何要建立数学模型? 2个简单的静态模型例子 椅子在不平的 例1:椅子问题 地面上是否 定可以放稳?
3 为何要建立数学模型？ 例1：椅子问题 椅子在不平的 地面上是否一 定可以放稳？ 2个简单的静态模型例子：
B B 设地面光滑,椅子腿为A、B、 C、D,腿长相等;椅子转动的角 度为6并定义 f(e):腿A、C与地面距离之和 A g(6):腿B、D与地面距离之和 起码三腿着地, 必有f()=0或g()=0 令h(6)=f()-g(6) 椅子转动的数学模型, 设f0)=0,9(0)≠0 输入θ,输出h, 则当=0时,h(0)0; 必有点0<<,使h(01)=0
4 设地面光滑，椅子腿为A、B、 C、D，腿长相等;椅子转动的角 度为θ,并定义 f(θ)：腿A、C与地面距离之和 g(θ)：腿B、D与地面距离之和 θ A D C B A D C B ∵起码三腿着地， ∴必有 f(θ)=0 或 g(θ)=0 令 h(θ)= f(θ)-g(θ) 椅子转动的数学模型， 输入θ，输出h， 问题：是否有h(θ)=0 ？ 设 f(0)=0，g(0)≠0， 则当θ=0 时， h(0)＜0; ) 0, h( ) 0 ; 2 ) 0, g( 2 f ( = 当 时， AC与BD交换位置， 2 = 必有点 ， 使 h(θ ) 0 。 2 0 1 1 =
结论: 即使地面不平,只要地面的曲面是连续变 化的,则一定能通过转动椅子将其放稳
5 结论： 即使地面不平，只要地面的曲面是连续变 化的，则一定能通过转动椅子将其放稳
例2:帆船推力问题 航向和风向已知 如何调整风帆角度 以获得最大推力?
6 例2 ：帆船推力问题 航向和风向已知， 如何调整风帆角度 以获得最大推力？
作用在帆上的力为 F=Fsn(a-),a已知,B可调 作用在船上的推力为 帆 风力F F2=F B= Fsin(a-B)sin B 对F2求导可得 dF F/sin(a-B)cos B-cos(a-B)sin B/ 帆船的数学模型 输入β,输出F2, FM2)-0+2)y=0问题:B=?时2最大 即ga=!(26) 结论:帆与船的夹角=风向与 B 船的夹角的一半时推力最大 思考:风向与航程一定时,如何以最短时间走完全程?
7 作用在帆上的力为 帆船的数学模型， 输入β，输出F2， 问题：β=？时F2最大 结论：帆与船的夹角=风向与 船的夹角的一半时推力最大 F F sin( ), 已知， 可调 1 = − 作用在船上的推力为 F F sin F sin( )sin 2 = 1 = − F [sin cos( 2 ) cos sin( 2 )] 0 F [sin( )cos cos( )sin ] d dF2 = − = = − − − 即 tg = tg( 2 ) 2 = 对F2求导可得 α β 风力F F1 F2 帆 思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？
为何要建立控制系统的数学模型? 扰动 给定信号 误差 控制量 被控量 控制装置 受控对象 反馈信e检测环节 根据受控对象的模型和性能要求,设计控制器或控 制装置 ◇分析控制系统的性能,进行仿真、实验、调整、校 正、综合等
8 为何要建立控制系统的数学模型？ 控制装置 受控对象 检测环节 给定信号 扰动 － 反馈信号 误差 控制量 被控量 根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控 制装置； 分析控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校 正、综合等
动态模型例:R-L-C串联网络的数学模型 问题:求输入u(t)与输出u(t)之间的关系。 R u(t) i(t) (t) u(t)=Ri(t)+di(t) +u(t lt duc(t) .LC-C.+RO +uc(t)=u(t)
9 动态模型例: R-L-C串联网络的数学模型 问题：求输入u(t)与输出uc (t)之间的关系。 u (t ) u(t ) dt du (t ) RC dt d u (t ) LC dt du (t ) i(t ) C u (t ) dt di(t ) u(t ) Ri(t ) L C C 2 C 2 C C + + = = = + +
线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式: d y(t) dy(t) a +…+a1 +aoy(t) dt dt d u(t) +…+b +bou(t) dt u(t) y(t) m≤n 系统 实际系统不可能出现m>n的情况,或者讲 系统在物理上不可实现 定常系统:a1,b2为常数 时变系统:a,b2随时间变化
10 m n b u(t ) dt du(t ) b dt d u(t ) b a y(t ) dt dy(t ) a dt d y(t ) a dt d y(t ) m 1 0 m m n 1 1 0 n 1 n n 1 n = + + + + + + + − − − 线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式: 系统 u(t) y(t) , , 时变系统： 随时间变化。 定常系统： 为常数 i i i i a b a b 实际系统不可能出现 m > n 的情况，或者讲 系统在物理上不可实现