第三章点、直线和平面的投影 本讲的学习目标：掌握各种位置直线的投影特性和 作图方法。 学习重点：直角三角形法求一般位置直线与投影面 的倾角及线段实长的方法：用定比的法确定直线上点 投影：两直线相互垂直，其中一条直线平行于投影面时 的投影特性和作图方法
第三章 点、直线和平面的投影 本讲的学习目标：掌握各种位置直线的投影特性和 作图方法。 学习重点：直角三角形法求一般位置直线与投影面 的倾角及线段实长的方法；用定比的方法确定直线上点 投影；两直线相互垂直，其中一条直线平行于投影面时 的投影特性和作图方法
3.2.3一般位置直线的实长和倾角 ·如上节课所述，投影面平行线、投影面垂直线在 某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长 及其与投影面的真实倾角，但一般位置直线在各 投影面上的投影即不能反映线段的实长，也不能 反映直线与投影面的倾角。在实际应用中，经常 需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的 实长。通常将这种方法称为直角三角形法
3.2.3 一般位置直线的实长和倾角 • 如上节课所述，投影面平行线、投影面垂直线在 某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长 及其与投影面的真实倾角，但一般位置直线在各 投影面上的投影即不能反映线段的实长，也不能 反映直线与投影面的倾角。在实际应用中，经常 需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的 实长。通常将这种方法称为直角三角形法
3.2.3.1求直线段对H面的倾角a及实长 图3-15(a)立体图 ·分析图3-15(a)可知，直线AB与其水平投影ab决定的平面ABba垂 直于H面，在该平面内过B点作ab的平行线交Aa于Ao,则构成一直角 △AA0B。在直角△AA0B中，直角边A0B为水平投影ab之长，另一直 角边AA0则为A、B两点到H面的距离差(z坐标差)；斜边AB与直角 边BAO夹角即为直线AB对H面的倾角a:斜边AB即为其实长。因此， 只要求出直角△AA0B.的实形，即可求得AB对H面的倾角a及其实长
3.2.3.1 求直线段对H面的倾角α及实长 • 分析图3-15（a）可知，直线AB与其水平投影ab决定的平面ABba垂 直于H面，在该平面内过B点作ab的平行线交Aa于Ao，则构成一直角 ΔAA0B。在直角ΔAA0B中，直角边A0B为水平投影ab之长，另一直 角边AA0则为A、B两点到H面的距离差（z坐标差）；斜边AB与直角 边BA0夹角即为直线AB对H面的倾角α；斜边AB即为其实长。因此， 只要求出直角ΔAA0B.的实形，即可求得AB对H面的倾角α及其实长。 图3-15（a）立体图
·在投影图中，AB的水平投影b已知，A、B两点到H面的 距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角 △AA0B.的实形。 Q
• 在投影图中，AB的水平投影ab已知，A、B两点到H面的 距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角 ΔAA0B.的实形
作图方法一 TL (1)求A、B两点到H面的距离 (2)以ab为直角边，a'a'1为另一直 之差：过b'作OX轴的平行线与aa' 角边，作直角三角形：过a作ab的 交于a1,则aa1等于A、B两点到 垂线在该垂线上截取aA0=a'a'1,连 H面的距离之差： 接bAO,则∠AOba即为AB对H面的 倾角a,AOb=AB(T.L)。 ·显然，图中的直角△A0ba和图3-13(a)所示的直角△AA0B是全等直 角三角形。 作图方法二（见课本3-13(c))
作图方法一 • 显然，图中的直角ΔA0ba和图3-13（a）所示的直角ΔAA0B是全等直 角三角形。 作图方法二 （见课本3-13（c）） （1）求A、B 两点到H面的距离 （2）以ab为直角边，a′a′1为另一直 之差：过b′作OX轴的平行线与aa′ 角边，作直角三角形：过a作ab的 交于a′1，则a′a′1等于A、B两点到 垂线在该垂线上截取aA0 = a′a′1，连 H面的距离之差； 接bA0，则∠A0ba即为AB对H面的 倾角α，A0b=AB（T.L）
3.2.3.2求直线段对V面的倾角B及实长 b a 0 Y (a) (b) Y-Y X,-X0
3.2.3.2求直线段对V面的倾角β及实长 YA −YB XA − XB
【例3-7】如图3-16(a)所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正 面投影a,并知AB对H面的倾角a=30°，点B在点A之上，求AB的正 ▣投影a'b'。 图3-16(a)已知条件 分析：由于已知点A的正面投影a',所以只要求出A、B两点到H面的 距离之差ZB-ZA,即可确定b'。由上述直角三角形法的原理可知， 以ab为一直角边，作一锐角为30°的直角三角形，则30°角所对的 直角边，即为A、B两点到H面的距离之差ZB-ZA
• 【例3-7】如图3-16（a）所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正 面投影a′，并知AB对H面的倾角α = 30°，点B在点A之上，求AB的正 面投影a′b′。 • • 分析：由于已知点A的正面投影a′，所以只要求出A、B两点到H面的 距离之差ZB – ZA，即可确定b′。由上述直角三角形法的原理可知， 以ab为一直角边，作一锐角为30°的直角三角形，则30°角所对的 直角边，即为A、B两点到H面的距离之差ZB – ZA。 图3-16（a） 已知条件
作图方法一 0 30 30 130 (2)过b作OX轴的垂线 (3)连接a'、b (1)以ab为一直角边，作 过a'作OX轴的平行线， 即得AB直线的正 锐角为30°的直角△B0ba, 则B0b等于A、B两点到H 两者交于b1,然后从b1 面投影ab'。 沿OX轴的垂线向上截取 面的距离之差ZB-ZA。 b'1b'=ZB-ZA(因为B点在 A点之上)，即得b'。 图3-16(b)求直线正面投影的作图方法
作图方法一 图3-16（b） 求直线正面投影的作图方法一 （1）以ab为一直角边，作 一锐角为30°的直角ΔB0 ba， 则B0 b等于A、B两点到H 面的距离之差ZB – ZA。 （2）过b作OX轴的垂线， 过a′作OX轴的平行线， 两者交于b′1，然后从b′1 沿OX轴的垂线向上截取 b′1b′ = ZB – ZA（因为B点在 A点之上），即得b′。 （3）连接a′、b′， 即得AB直线的正 面投影a′b′
作图方法二 30° ab (1)过b作OX轴的垂直线bb'1,过(2)过A0作30°的斜线与bb'1的延 a'作OX轴的平行线，两线交于b'1, 长线相交，此交点即为b',连接ab' 在ab'1的延长线上截取b'1A0=ab: 图3-16(c)求直线正面投影的作图方法二
作图方法二 （1）过b作OX轴的垂直线b b′1，过 （2）过A0作30º的斜线与b b′1的延 a′作OX轴的平行线，两线交于b′1， 长线相交，此交点即为b′，连接a′b′。 在a′b′1的延长线上截取b′1A0= ab； 图3-16（c） 求直线正面投影的作图方法二
3.2.4直线上的点 ·点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上， 并且符合点的投影规律，如图3-17中的C点。 ·直线AB上的点C,其投影c'、c、c”,分别位于ab'、ab和 a"b”上，且c'c和c'c"分别垂直于相应的投影轴。 ·若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线 段的同面投影成相同的比例。在图3-17中，C点把直线AB 分为AC、CB两段，则有： AC:CB=a'c':c'b'ac cb=a"c"c"b
3.2.4 直线上的点 • 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上， 并且符合点的投影规律，如图3-17中的C点。 • 直线AB上的点C，其投影c′、c、c″，分别位于a′b′、ab和 a″b″上，且c′c和c′c″分别垂直于相应的投影轴。 • 若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线 段的同面投影成相同的比例。在图3-17中，C点把直线AB 分为AC、CB两段，则有： • AC∶CB = a′c′∶c′b′ ac∶cb = a″c″∶c″b″