第二章逻辑代数与门电路 第二章逻辑代数与门电路 对应教材“ Digital Design” ●甚本逻辑运算 e Ch 4: 4.1 Switching Algebra 同和异或运算 逻辑代数 S逻辑系列 ●TTL逻辑系列 三态门 21基本辽輯遁算 辽辑遁算 ◆逻辑数 ◆与逻辑 ●按约定规则表示“事物状态”的0、1符号 ● Logical multiplication(逻辑积) ●开关A、灯F ●由多个自变量决定 ◆逻辑变量 所有条件成立,结果出现 与逻辑 任一个条件不成立,结果不出现 ●描述事物状态的逻辑数(约定 ●逻辑函数F=AB ●原变量与反变量 ● Truth table 逻辑变量A和 ● VHDL F= A AND B ●A和F之间有因果关系:自变量A与因变量F 逞遁算 辽辑遁算 ◆或逻辑 ◆非运算 ● Logical addition(逻辑和) ●逻辑函数F=A ●由多个自变量决定 任一个条件成立,结果出现 ● VHDL F=NoTA 所有条件不成立,结果不出现 ●非非律=A 非运算 逻辑函数F=A+B ● Truth table
1 1 第二章 逻辑代数与门电路 对应教材“Digital Design” z Ch.4：4.1 Switching Algebra z Ch.3：Digital Circuits 2 第二章 逻辑代数与门电路 z 同和异或运算 z 基本逻辑运算 z TTL逻辑系列 z CMOS逻辑系列 z 逻辑代数 z 三态门 3 2.1 基本逻辑运算 逻辑数 z按约定规则表示“事物状态”的0、1符号 z开关A、灯F A F 逻辑变量 z描述事物状态的逻辑数(约定) z原变量 与 反变量 z逻辑变量A 和 F zA和F之间有因果关系: 自变量A 与 因变量F 5 逻辑运算 与逻辑 zLogical multiplication(逻辑积) z由多个自变量决定 ` 所有条件成立，结果出现 ` 任一个条件不成立，结果不出现 z逻辑函数 F＝A·B zTruth table zVHDL F＝A AND B 与逻辑 A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B F 6 逻辑运算 或逻辑 zLogical addition(逻辑和) z由多个自变量决定 ` 任一个条件成立，结果出现 ` 所有条件不成立，结果不出现 z逻辑函数 F＝A＋B zTruth table zVHDL F＝A OR B A B F 或逻辑 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 7 逻辑运算 非运算 A F 非运算 A F 0 1 1 0 z非非律 A＝A Involution z逻辑函数 F＝A zVHDL F＝NOT A
Basic Logical Operations 逞辑图 逻辑运算别称逻辑表达式VHDL表述 and A NOT F=NOT A AND F=A. B F=A AND B OR F=A+B F=A OR B Inverter (1)常见符号 (2)国标符号 常见符号 逻辑代教 ◆ Boolean Algebra by George Boole ◆ Switching Algebra e How describe and analyze the behavior of BUFFER p circuits built from relays(电器) NAND ●“ A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits"(继电备与开关电路的符号分析 e Claude elwood shannon. in 1938 ◆ Basic Operations INVERTER ●AND、OR、NoT DeMOrgan’ s theoren(摩根定律) De Morgan定律 ◆ AND operation 与、或函数两者间存在对偶性 ●F=AB ◆原变量的与函数和反变量的或函数逻辑意义 ●所有条件成立,结果出现 相同 ●A=1且B=1+F=1 ◆按“或”语言 ◆多变量 Morgan定律 ●A、日条件之 一不立 结果不出现 ●A=0或 F≠1,F=0 A=1或百=1F=1 HB AB=A+
2 8 Basic Logical Operations 逻辑运算 别称 逻辑表达式 VHDL表述 NOT F=A F=NOT A AND Logical multiplication F=AB F=A AND B OR Logical addition F=A+B F=A OR B 9 逻辑图 A B F A B F ≥1 OR Gate A B F A B F & AND Gate A F 1 A F Inverter (1)常见符号 (2)国标符号 10 常见符号 11 逻辑代数 Boolean Algebra z Invented by George Boole Switching Algebra z How describe and analyze the behavior of circuits built from relays(继电器) z “A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits”(继电器与开关电路的符号分析) z Claude Elwood Shannon, in 1938 Basic Operations z AND、OR、NOT 12 DeMorgen’s theorem( DeMorgen’s theorem(摩根定律) AND operation z F＝ A·B z 所有条件成立，结果出现 z A＝1 且 B＝1 Æ F＝1 按“或”语言 z A、B条件之一不成立，结果不出现 z A＝0 或 B＝0 Æ F≠1，F＝0 z A＝1 或 B＝1 Æ F＝1 z F＝A＋B A·B ＝A＋B 13 De.Morgan定律 与、或函数两者间存在对偶性 原变量的与函数 和 反变量的或函数 逻辑意义 相同 多变量Morgan定律
DeMorgan等嫩符号 逞辑门 ∞8 )∞> Answer depends on signal names and active levels “戴与”和“或”")) Ro=RIR2 幾与”和“戴或” ◆信号源通过简单的“并联 ◆信号源通过简单的“并联” 电平低的信号源,输出阻抗低 (2) 2) B·K4 电平高的信号源,输出阻抗高 Ro=RIR2 F=ABC ●case1 ●case2 电平低的信号源,输出阻抗低 电平低的信号源,输出阻抗高 电平高的信号源,输出阻抗高①H 平高的信号源,输出阻抗低 F=A+B+C 戴与”和“戴或 幾与”和“或” ◆信号源通过简单的“并联 “并联” ●case1 ●上述结论适合任何备件 电平低的信号源,输出阻抗低 示例:并联的共射极电路 电平高的信号源,输出阻抗高 F=.BC F=A-B. C 电平低的信号源,输出阻抗高8 F=A+B+c 电平高的信号源,输出阻抗低 FEd+B+c
3 14 Which symbol to use? Answer depends on signal names and active levels. DeMorgan等效符号 15 逻辑门 与门 A B D1 D2 F R VCC 或门 A B D1 D2 F R A F R T 非门 VCC 16 “线与”和“线或” 信号源通过简单的 “并联” zCase1 ` 电平低的信号源，输出阻抗低 ` 电平高的信号源，输出阻抗高 zCase2 ` 电平低的信号源，输出阻抗高 ` 电平高的信号源，输出阻抗低 ( ) 1 2 2 2 1 1 0 R R R V R V V ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + R0 = R1 R2 A VCC Rb F B C A Gnd Rb F B C F AB =⋅⋅C F ABC =++ 17 “线与”和“线或” 信号源通过简单的 “并联” zCase1 ` 电平低的信号源，输出阻抗低 ` 电平高的信号源，输出阻抗高 ( ) 1 2 2 2 1 1 0 R R R V R V V ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + R0 = R1 R2 A VCC Ra F B VCC Rb F = A⋅ B⋅C V1 R1 18 “线与”和“线或” 信号源通过简单的 “并联” zCase1 ` 电平低的信号源，输出阻抗低 ` 电平高的信号源，输出阻抗高 zCase2 ` 电平低的信号源，输出阻抗高 ` 电平高的信号源，输出阻抗低 A VCC RT F B C A Gnd RT F B C F AB =⋅⋅C F ABC =++ 19 “线与”和“线或” “并联” z上述结论适合任何器件 A F VCC Rc B C 示例：并联的共射极电路 F = A ⋅B ⋅ C F = A +B + C
Boolean Algebra Karnaugh Map(卡谱图 ◆基本运算 逻辑函数,真值表,卡诺阻(真寞值图) ●与、或、非 ◆真值表转换成方格图 将自变量纵横排列,自变量每种状态对应一个小方 ◆逻辑代数 格。并将变量的取值组合按循环码规则排列构成方 格矩阵 ●又称布尔代数 ●分析逻辑电路的工具 ●逻辑电路设计的基础 ●便于用代数方法研究逻辑问题 F=A.B +B Karnaugh Map 22同和异或遁算C3 ◆卡诺图(真值图) ◆算术运算中常用 ●行码、列码均按循环码排序 同或 ●A与B同,结果为1 00011110 ●A与B不同,结果0 =A-B+A B 异或非 异或 ●A与B不同,结果1;B 同和异戴辽罈图 罔和异戴遁算 ◆F=AB 1①)一 ⊙ B Morgan定律 ◆异或、同或互为反函数,又相互对偶 同或门 1)常见符号 (2)国标符号
4 20 Boolean Algebra 基本运算 z与、或、非 逻辑代数 z又称布尔代数 z分析逻辑电路的工具 z逻辑电路设计的基础 z便于用代数方法研究逻辑问题 21 Karnaugh Map(卡诺图) 逻辑函数，真值表，卡诺图(真值图) 真值表转换成方格图 将自变量纵横排列，自变量每种状态对应一个小方 格，并将变量的取值组合按循环码规则排列构成方 格矩阵 0 1 0 1 A B A A B B 1 A B F A B = + = ⋅ 22 Karnaugh Map 卡诺图(真值图) z行码、列码均按循环码排序 DC BA 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 2.2 同和异或运算C3 2.2 算术运算中常用 同或 z A与B同，结果为1； z A与B不同，结果0； z 异或非 异或 z A与B不同，结果1； 0 1 0 1 A B 0 1 0 1 A B 1 1 1 A B A B 1 F A B = ⋅ + ⋅ = ⊕ A B A B F = ⋅ + ⋅ = A⊙B 24 同和异或逻辑图 (1)常见符号 (2)国标符号 异或门 A B F A B F =1 同或门 A B F A B F =1 25 F= A⊕B 同和异或运算 = A⊙B Morgan定律 异或、同或互为反函数，又相互对偶
罔和异戴遞算 Half Adder/ Subtractor(*加/减 例:算术运算 算术运算可以通过逻辑运算来实现 F=b⊕ac0=ba 0011 1001 半加器 相减 F=b⊕aB0=5 进位数、借位数由与门产生,差别在于自变量b CO F 控制信号,(异或)门电路作为控制器使用0-1律 F3 CO=b·aF=b田 Ae6 遁算优先级4 23辽輯代教 ◆VHDL 逻辑代数 ◆ Axiom(公理) or Postulate(假设) ● a xor b, a xor b a⊕b (A1)X=0ifx≠1(A1)X=1ifx≠0 ● a nor b (A2) Ifx=0, then X=1(A2) Ifx=l, then X=0 3)0.0=0 括 3)1+1=1 括号 (A4)0+0=0 其它 异或/同或 或 23辽辑代款 逻辑代款: Theorem(定理) o Theorems with two or three variables 选遗开关 ●01律( Null elements) ●交换律( Commutative law) JO.A=0 J0+A=A JOGA=A JOOA=A A B=.A 11+A=I lIeA=A IOA=A ●结合律( Associative law) ●互补律 Complements) A B-C=A(B-C)=(A B)-C ●分配律( Distributive law) 异或/同或 1A+=11Ae=1 A (B+C)=A- B+A-c ●量受律( dempotenc (BBC)=ABOA A+A=A A0A=0 “ 非非律( volution) 示例:F=B.A 5
5 26 同和异或运算 0 0 1 1 1 0 0 1 示例：算术运算 算术运算可以通过逻辑运算来实现 1 1 0 0 bi ai COi Fi BOi Fi 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 a1 b1 F1 a2 b2 F2 a3 b3 F3 a0 b0 F0 COi /BOi CO b a F b a i ii i i i =⋅ =⊕ 全加器 半加器 28 相加 F=b⊕a CO=b·a Half Adder/Subtractor( Half Adder/Subtractor(半加/减器) A⊕b Ab Ab = ⋅+ ⋅ 相减 F=b⊕a BO=b·a a & Co/Bo b =1 A/S a & Co/Bo b A/S 进位数、借位数由与门产生，差别在于自变量b 控制信号，(异或)门电路作为控制器使用 a b F CO/BO A/S 0 1− 律 29 运算优先级L4 VHDL 逻辑代数 za xor b，a Xor b za nxor b 括号 非 与 异或/同或 或 a ⊕ b a ⊕ b 括号 非 其它 30 2.3 逻辑代数 Axiom(公理) or Postulate(假设) 31 2.3 逻辑代数 Theorems with two or three variables z 交换律(Commutative law) A·B = B·A z 结合律(Associative law) A·B·C = A·(B·C) = (A·B)·C z 分配律(Distributive law) A·(B+C) = A·B+A·C A·(B⊕C) = A·B⊕A·C 括号 非 与 异或/同或 或 A & F B C ≥1 ≥1 A C & B & F 32 逻辑代数：Theorem( Theorem(定理) z 01律(Null elements) z 互补律(Complements) z 重叠律(Idempotency) z 非非律(Involution) F A B & A = A ⎩ ⎨ ⎧ ⊕ = = ⎩ ⎨ ⎧ + = ⋅ = A A 0 A A 1 A A A A A A ⊙ 0A 0 0 A A 0AA 0 A A 1A A 1 A 1 1 A A 1 A A ⎧ ⎧ ⋅= += ⎧ ⎧ ⊕ = = ⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ ⋅= += ⎩ ⎩ ⊕= = ⊙ ⊙ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⊕ = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⋅ = A A 1 A A 0 A A 1 A A 0 ⊙ 示例: F = B · A F B & 1 A 哪种好？ 选通开关
辽輯代救: Theorem(定理) 辽樨代救: Theoren(定) Morgan定理( DeMorgan' s theorem) 调换律:同或和异或的特殊规则 B+C A+B+C=A·B AB=AOB=A⊙B=A⊙B ●吸收定理( Covering theorem) A+AB=A JA+AB=A+B A⊙B=ADB=AB=AB B)=A,B 致性定理( Consensus theorem) 变量常量)的调换律 AB+AC+BC AB+AC 左=AB+AC+(A+ABC A⊕B=C→A⊕C=B,B⊕C=A AB+ABC + AC+ABC =AB(1+C)+AC(1+C) E AB+AC 逻代教规则 逻辑代教规则 ●置换规则 ◆互补反演)规则:广义 Morgan定律 AB 一对对偶运算不是两种独立的逻辑运算 A+(C+D)=A(C+D)=A.C D 由一种运算和非运算结合,可得到其对偶算式 ●对俱规则 Duality Theorem)保持变量形式不 与门、非门→或门 若X≠1,则X=0 A⊙B=AB+AB 或门、非门→与门 若X≠0,则X A⊕B=(A+B)(A+B) 同门、非门→异或门 ●互补(反演)规则 Generalized DeMorgan' s Theorem) 异或门、非门→同门 →A+B=AB 逻辑代教规则 示例:利用逻辑代数化简 e.g.1 A-B+AB+ABC D+A-B.CD A·B+A·B+C·D eg2AB+B·C+百C+.B+C C+BC+A-B+d A.B+A·C =A-B+B-C
6 33 逻辑代数：Theorem( Theorem(定理) z Morgan定理(DeMorgen’s theorem) z 吸收定理(Covering theorem) 一致性定理(Consensus theorem) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + A B C A B C A B C A B C A AB A A AB A B A (A B) A A (A B) A B ⎧ +⋅= +⋅= + ⎧⎪ ⎨ ⎨ ⎩ ⋅+= ⎪⎩ ⋅ + =⋅ AB + AC +BC = AB + AC (A A)BC ABC AB AB AC AB AC AB(1 C) AC(1 C) AB C AC =++ =+ ++ = ++ + = + 左 + 34 逻辑代数：Theorem( Theorem(定理) z 调换律： 同或和异或的特殊规则 非的调换律 变量(常量)的调换律 A ⊕B = C ⇒ A ⊕ C = B，B ⊕ C = A A ⊕ B = A ⊙ ⊙⊙ B = A B = A B A ⊙ ⊙⊙ B = C ⇒ A C = B，B C = A A B A B A B A B ⊙⊕⊕⊕ === 35 逻辑代数规则 z 置换规则 z 对偶规则(Duality Theorem) ` 若X ≠ 1，则X = 0 ` 若X ≠ 0，则X = 1 z 互补(反演)规则 A + (C + D) = A ⋅(C + D) = A ⋅ C ⋅ D A＋B = A ⋅B A ⊙B = A ⋅B + A ⋅B A ⊕ B = (A +B)⋅(A + B) F = A ⋅B ⇒ F = A +B ⇒ A +B = A ⋅B 保持变量形式不变！ (Generalized DeMorgan’s Theorem) 36 逻辑代数规则 互补(反演)规则: 广义Morgan定律 z 一对对偶运算不是两种独立的逻辑运算 z 由一种运算和非运算结合，可得到其对偶算式 与门、非门 Æ 或门 或门、非门 Æ 与门 同门、非门 Æ 异或门 异或门、非门 Æ 同门 37 逻辑代数规则 eg A B A B A B C D A B C D . .1 ⋅+⋅+⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅ eg A B B C B C A B . .2 ⋅+⋅+⋅+⋅ 示例：利用逻辑代数化简 =⋅+⋅+⋅ A B AB CD =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ A B BC BC AB AC =⋅+⋅ +⋅+⋅ A B BC AB AC =⋅+⋅ +⋅ A B BC AC +A⋅C