第1章费马原理与变折射率光学 1.1惠更斯原理 1.2折射率 1.3光程 1.4费马原理 1.5费马原理与成像1.6自然变折射率 1.7人工变折射率强光变折射率 18光线方程 1.9评述费马原理 1.1--1.5费马原理 1.折射率及其意义 2.光程概念及其意义 光程●光程与相位差●光程与时差 3.费马原理及其数学形式 表述●平稳值含义 ●变分方程 4.由费马原理导出几何光学三定律 导出●反射光束的等光程性 折射光束的等光程性 5.物象等光程性 ●论证●等光程性与成象 6.费马原理应用于球面折反系统 导出球面镜傍轴成象公式 导出球面折射傍轴成象公式 讨论“极大值”情形 7.某些特例(某些特殊的共轭点) 反射等光程面 球面折射的齐明点 阿贝正弦定理 ●双曲面透镜聚焦平行光束
! ! " #$%&’()*+,- !"! !"#$% !"# &’( !"$ )* !"% +,$% !"& +,$%-./ !"’ 012&’( !"( 342&’( 5)2&’( !") )67* !"* 89+,$% !"!!!"# !"#$ !" !"#$%&’ #" ()*+$%&’ ! (, ! ()-./0 ! ()-10 $" 2345$%6789 ! :; ! ?’ ! @AB, %" C2345DEFG(7HIJ ! KL ! M"(NOP(,Q ! !"(NOP(,Q &" RSP(,Q ! TU ! P(,Q-VS ’" 2345WXYZ[!M\] ! KLZ[^_‘VSa9 ! KLZ[!"_‘VSa9 ! bT!cd>"e8 (" fghi)fghjOklm* ! M"P(,[ ! Z[!"Onop ! qrstu5 ! vw[x^yz<{(N + !$ +
1.折射率—透明介质的光学物性参数 最初源于折射定律: n 个小 N 图1.1 SllA 有 const , Snell定律. sinl 写成不变量形式, n,·sUnU,=n,·sUnL ●典型数据: Fraunhofer color Wavelength Crown Flint (nm) glass glass F Blue 486.1 1.52861.7328 589.6 1.5230 1.7205 Red 656.3 1.52051.7076 色散率 nF-n C.g. n for f. 14
!" !"#!! $%&’()*+,-. ! !"#$%&’(! ) !"#" $ !"%" & ’ ()#!*+ ’ #& #$ ! "#$%% ’(& *+,-./0" #& #!,#, & ’ #$ #!,#, $" ! 1234! /0# " ’ #- . %( %/ . ’ ! " # ’ () ! 0)1 (+2+ " # ’ *) ! 0)1 0+2+ ! " # $ !% % & ’ ! % % #& #$ , & , $ 5 ’&’ , ’+ ,
●惠更斯原理 次波源、微观次波面,宏观包络面,中心—切点连 线。应用于“界面的反射、折射”时,将赋与折射率以新的物 理意义 SLnL2 D const SUnLI 于是 真空介质2 介质相对折射率n(相对真空,n0=1) 真空光速/介质光速 。进而,导出n=A λ一某条特征谱线的光在真空中的波长 λ一同一条谱线的光在此介质中的波长。 如何导出?(有讲究) 据波速=频率x波长 有 C f 显然得n=A 升A
! !"#$% !"#!$%!"&"’%()&"*+ $#$ ,-. /% 012&3&456’76(8"9:;764? @AB) !"#"$ !"%"& ’ ($ (& ’ )*%!+, 2C %& %$ ’ ($ (& ! " %- # ’ ( ) # DEFG76< # " FGHI! #- ’ $ # # ’ ) ( HIJK%DEJK ! LM"NO # ’ !! ! ! !! $ PQRST/4JUHI*4"V" ! $ WXQT/4JUYDE*4"V% Z[NO& "\]^’ _ "K ( ‘<!"V \ ) ’ . -!- / ( ’ .!, ab"c % ’ . -!! .! / HI DE %- % * $) *
●物理考虑 在线性介质的光场中, 扰动的时间频率f仅由光源决定,与介质无关 f~光源的本征频率。 最终得 例如,某A0≈600m(橙色) 在水中,n≈4,变为 A=0≈450mm(兰色?) ●可见光波长区间与频率量级 A0:760nm-550m-380n f o: 0.4 PHz--055 PHz--08 PHz PHz=10 Hz peta)(MGTP) ●联系视觉色效应 ●所谓“色散关系”、“色散理论”, 给出,n(A0)函数,或者v(A),v(f) 16
! !"#$ %&’()*+,-! ./*0123 ! 45+678!9():; ! ! +6*?@ " ! !" ! ! AB!C !# " "## "$ $ DE % %F-& " " ’ ( !GH ! ! !# " " ’)# "$ $ IE* % ! JK+LMN1923OP !#+ ,"# "$ # ))# !" $ (-# !" !# + #.’ %&’ $ #.)) %&’ $ #.- %&’ %&’ / 0#0)&’& $ 1234 % $ 5.6.7.8. % ! QRSTEUV ! WX%EY;R&’%EY"Z&! [\( ") !" * ]^!_‘ +, !" - ( +) ! - . 9 0" 9
2.光程( optical path) 图1.2 图13 均匀介质 介质分区均匀 光程, 光程, L(QP)=nl, L(QP)=∑nl1 变折射率介质, (,, z), n(r) 图1.4 光程,L(QP)=n(r)d ●其初步意义 a.相位差与光程的关系 图1.1由光程导出相位差
!" !" #$%&’()* %)&+, ! !"#$ #$%&!" ’(! ’(! !"#$% & ’( ) !"#$% &"’* (* ! )*+,#$) ’"+),)-%) ’"!% . ’(! !"#$% & $ ## ’"!% /0 ! -./01 "! 2345’(678 #9:$ "(% ! ! # ’ ( $ ; %!& ; %!’ ; %! % ?234 # ; %! ( $ "(% /0 ’% # (1 ’! ’" ’# (! (" (# $ * %) *
曾记得, 沿波的传播方向,相位逐点落后, q(P-φ(Q) 2丌 2TL2+ 2 aly) 2 T ny2 2 n4) 2 A·∑n=-LQP), 即 P(P)-(Q)=-2T-LQP (普遍) b时差与光程的关系, ∑ ∑1nl L(QP) 即 LOOP 或LQP=c·t(QP 给出光程的又一定义光线经历QP两点的光程等于传 播时间乘以真空光速,虽然光实际上传播于介质中。 18
!"#! $%&’()*!+,-./0! !!"# $ !%&# ’ $% !" #( ) ( * !" #+ ) + * ! * !" #, ) , " ’ $# !" #- .() ( * !" #- .+) + * ! * !" #- .,)," ’ $ !" #- $!./ )/ ’ $ !" #- 0%&"# 1 1 !%"# $ !%&# ’ $ !" #- 0%&"# "23# $% 45678&9:! 2" $ 2& ’ !"2/ ’! ) / 3/ ’! ( 4 ./ ) / ’ ( 4 0%&"# 1 1 2" $ 2& ’ 0%&"# 4 1 ; 0%&"# ’ 4$2%&"# 1 &?@AB !"#$ !" %&’!()*+ ,-./012!3!CD7EFGH(IJKL" ( &’ (
3.费马原理 b)实际路径 Q(r) )虚拟路径 图1.6 ●实际光线的传播路径,与邻近各种可能的虚拟路径相比 较,具有什么特别的“品性”? ●表述 光线沿光程为平稳值的路径而传播。 解说: 极小值(常见) n(r)s=平稳值极大值(个别) 常数值(物一象) 示意图: lo i lo l lo l 图1.7标记路径
!" !"#$ ! !"#$%&’()!*+,-./0%12()34 5!6789:;%"? %&’%()*+,-./012! @A$ ! "" #$#%&’ ( BCD EFD%GH& EID%J;& GKD%L’ M # %% $ %% & & NOP$ !"() 12() )* "$#% " $)% $)*% " P "# $ P "#% QR() +$)% )* ) )* ) )* ) )* ) ’ "& ’
●数学表达式 注意到 L(QP)= n(rds=L() 被称为泛函or程函, eikonal.通俗道,“函数的函数”。 平稳值”满足 变分为零,8nds=0, 或简写 L1)=0, 其中,δ为变分运算符号 上述方程为变分方程,旨在求出泛函的极值—变 分原理, 可见, 费马原理开创了以变分原理反映自然规律的研宄路 线或表述方式
! !"#$% &’( !!"#" $ % "" &’!()* $ +,-. )*+,- !" .-# #$%!&’() /01#$-!2-!%& $345%67 89+:# ! / "" &)* $ *# ;?# ! +89@ABC# DEF.+89F.#GHIJ,-2K5 (’( 8 9LM# NO# !"#$%&’()*#+,-./012345 6789:;! ,-. ,-. , +*
4 均匀介质,光的直线传播定律 由费马原理导出介质界面,光的反射定律 介质界面,光的折射定律。 ●如是,则说明 费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。 M为动点 入射反射光程为L(MP) M为待定的反射点 以满足L(QMP)为极值 图1.8导出反射定律 引入镜象对称点Q,则 B=α,且L(QM=L(QM), 于是LQMP)=LQMP),它成为极小值的条件是QMP为 直线,当α'=β时。即 反射角等于入射角, 反射线与入射线同在一个入射面内。 这正是光在界面的反射定律
!" !"#$%&’ ()*+!,-./0123" *+45!,-6723" *+45!,-8729 ! # # " # # $ # % :;! !"#$%&’()*+,-./0123! % !?@A B7!67,C? !!"#$" # ?D2-67A! EFG %!"&$"?HI$ JBKLMNA "!!< ! " " " O #$%!& " ’$%!!& " P; ’$%!(& ) ’$%!!(&" QR?HSI-TU; %!!( ? ./!V "! " ! W# X * ) *!# 67YZPB7Y! 67/[B7/\]^_B75‘ !# " # $ # ab;,]45-6729# c $#% &’672! %! * *! "! " ! ! % ( +, +- ! &$ !
M为待定点, 设AM 有MB=(d-x) 图1.9导出折射定律 入射一折射光程 L(QMP)=n,QM+n, MP -n,va+x2 +n, vb2+(d-xP L() 于是,普遍的变分方程δL=0,在此被简化为一元微分方 程 0 即 2d-x)=0 V62+(d-xP (d-a) Vb2+(d-xF 得 nranYl=gstn 此乃Snl定律也
!!"#$! % "! # $! & !% # &’ ( $)! ’(" )(*+ *!+!," # -. +! / -0 !, # -. 10 / $ ! 0 / -0 20 / &’ 3 $) ! 0 # *&$) ,-!./0123+ !* # !"45678!9:;23 + ’*&$) ’$ # ! 4 #%& ?@)(#A ’ , 2 % 60 6. ! " $ 70 7. + 1 ’ $$ (