第1章费马原理与变折射率光学 1.1惠更斯原理 1.2折射率 1.3光程 1.4费马原理 1.5费马原理与成像1.6自然变折射率 1.7人工变折射率强光变折射率 18光线方程 1.9评述费马原理 1.1--1.5费马原理 1.折射率及其意义 2.光程概念及其意义 光程●光程与相位差●光程与时差 3.费马原理及其数学形式 表述●平稳值含义 ●变分方程 4.由费马原理导出几何光学三定律 导出●反射光束的等光程性 折射光束的等光程性 5.物象等光程性 ●论证●等光程性与成象 6.费马原理应用于球面折反系统 导出球面镜傍轴成象公式 导出球面折射傍轴成象公式 讨论“极大值”情形 7.某些特例(某些特殊的共轭点) 反射等光程面 球面折射的齐明点 阿贝正弦定理 ●双曲面透镜聚焦平行光束
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1.折射率—透明介质的光学物性参数 最初源于折射定律: n 个小 N 图1.1 SllA 有 const , Snell定律. sinl 写成不变量形式, n,·sUnU,=n,·sUnL ●典型数据: Fraunhofer color Wavelength Crown Flint (nm) glass glass F Blue 486.1 1.52861.7328 589.6 1.5230 1.7205 Red 656.3 1.52051.7076 色散率 nF-n C.g. n for f. 14
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●惠更斯原理 次波源、微观次波面,宏观包络面,中心—切点连 线。应用于“界面的反射、折射”时,将赋与折射率以新的物 理意义 SLnL2 D const SUnLI 于是 真空介质2 介质相对折射率n(相对真空,n0=1) 真空光速/介质光速 。进而,导出n=A λ一某条特征谱线的光在真空中的波长 λ一同一条谱线的光在此介质中的波长。 如何导出?(有讲究) 据波速=频率x波长 有 C f 显然得n=A 升A
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●物理考虑 在线性介质的光场中, 扰动的时间频率f仅由光源决定,与介质无关 f~光源的本征频率。 最终得 例如,某A0≈600m(橙色) 在水中,n≈4,变为 A=0≈450mm(兰色?) ●可见光波长区间与频率量级 A0:760nm-550m-380n f o: 0.4 PHz--055 PHz--08 PHz PHz=10 Hz peta)(MGTP) ●联系视觉色效应 ●所谓“色散关系”、“色散理论”, 给出,n(A0)函数,或者v(A),v(f) 16
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2.光程( optical path) 图1.2 图13 均匀介质 介质分区均匀 光程, 光程, L(QP)=nl, L(QP)=∑nl1 变折射率介质, (,, z), n(r) 图1.4 光程,L(QP)=n(r)d ●其初步意义 a.相位差与光程的关系 图1.1由光程导出相位差
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曾记得, 沿波的传播方向,相位逐点落后, q(P-φ(Q) 2丌 2TL2+ 2 aly) 2 T ny2 2 n4) 2 A·∑n=-LQP), 即 P(P)-(Q)=-2T-LQP (普遍) b时差与光程的关系, ∑ ∑1nl L(QP) 即 LOOP 或LQP=c·t(QP 给出光程的又一定义光线经历QP两点的光程等于传 播时间乘以真空光速,虽然光实际上传播于介质中。 18
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3.费马原理 b)实际路径 Q(r) )虚拟路径 图1.6 ●实际光线的传播路径,与邻近各种可能的虚拟路径相比 较,具有什么特别的“品性”? ●表述 光线沿光程为平稳值的路径而传播。 解说: 极小值(常见) n(r)s=平稳值极大值(个别) 常数值(物一象) 示意图: lo i lo l lo l 图1.7标记路径
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●数学表达式 注意到 L(QP)= n(rds=L() 被称为泛函or程函, eikonal.通俗道,“函数的函数”。 平稳值”满足 变分为零,8nds=0, 或简写 L1)=0, 其中,δ为变分运算符号 上述方程为变分方程,旨在求出泛函的极值—变 分原理, 可见, 费马原理开创了以变分原理反映自然规律的研宄路 线或表述方式
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4 均匀介质,光的直线传播定律 由费马原理导出介质界面,光的反射定律 介质界面,光的折射定律。 ●如是,则说明 费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。 M为动点 入射反射光程为L(MP) M为待定的反射点 以满足L(QMP)为极值 图1.8导出反射定律 引入镜象对称点Q,则 B=α,且L(QM=L(QM), 于是LQMP)=LQMP),它成为极小值的条件是QMP为 直线,当α'=β时。即 反射角等于入射角, 反射线与入射线同在一个入射面内。 这正是光在界面的反射定律
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M为待定点, 设AM 有MB=(d-x) 图1.9导出折射定律 入射一折射光程 L(QMP)=n,QM+n, MP -n,va+x2 +n, vb2+(d-xP L() 于是,普遍的变分方程δL=0,在此被简化为一元微分方 程 0 即 2d-x)=0 V62+(d-xP (d-a) Vb2+(d-xF 得 nranYl=gstn 此乃Snl定律也
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