第二章讨论课 求磁感应强度B 关于磁力的讨论 综合讨论
第二章 讨论课 求磁感应强度B 关于磁力的讨论 综合讨论
求磁感应强度B 例一:一无穷长载流直导线, 在某处弯成一个平径为R的半 形,通以电流,求垂直于O点 的直线上一点POP=x)的磁感 应强度 ■解:分三段取微元算 dB~ uo Idl×r ■半圆 4丌r 两半无限长 dB=db sin 0 问题: 可否先求出闭合圆环轴线上的场dB2= dB cos6 再取其二分之一? 对平圆取微元求dB,如此投影? 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 求磁感应强度 B ◼ 例一：一无穷长载流直导线， 在某处弯成一个半径为 R的半 形，通以电流，求垂直于 O 点 的直线上一点P(OP=x )的磁感 应强度 ◼ 解：分三段取微元算 ◼ 半圆 ◼ 两半无限长 ◼ 问题： ◼ 可否先求出闭合圆环轴线上的场 再取其二分之一？ ◼ 对半圆取微元求dB，如此投影？ 3 0 4 r Id l r dB = cos sin , dB dB dB dB zx == ?
结论: ■用整个圆环后取12, 只求了x轴分量,丢 P 掉了分量 如此投影没有考虑dB矢量性dB= db sin e, 正确的做法 db =dB cos e db = dBsin 0 √注意各个量的 dB. dB cos sin 表示 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 结论： ◼ 用整个圆环后取1/2， 只求了 x轴分量，丢 掉了 z分量 cos sin , dB dB dB dB z x = = X ◼ 如此投影没有考虑dB矢量性 cos sin sin , dB dB dB dB z x = = ◼ 正确的做法 注意各个量的 表示
■例二:证明当一对电流元对一平面成镜象对 称时,它们在对称面上产生的合磁感应强度 必沿平面的法线方向。 A,P=Ga, b,c)=r A,P=(a,b,c)=r2 Idl 2 1 工d dl,=-dxi + dyi A1 dl,=dxi dyj dBn∝a,xF+cl× Bp∝(xi+y)×F 1+ × dx dy 0+dx dy ol dxi x( -r2)+dvj ×(n b b 2a 26j+2ck 2cdvi 2cdyi 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 例二：证明当一对电流元对一平面成镜象对 称时，它们在对称面上产生的合磁感应强度 必沿平面的法线方向。 dl dxi dyj 1 = + 1 1 A P ( a,b, c) r = − = → dl dxi dyj 2 = − + 2 2 A P (a,b, c) r = = → 1 1 2 2 dB dl r dl r P + cdyi a b c dx dy i j k a b c dx dy i j k 2 0 0 = + − − = 2 1 ( ) ( ) dxi dyj r B dxi dyj r P + − + + ( ) ( ) 1 2 1 2 dxi r r dyj r r = − + + ai − 2 bj ck 2 + 2 cdyi = 2
例三:如图电流/流过边长为等, 边三角形导线,求电流在此三角形 为底的正四面体的质点处P的磁感4< C 应强度B的大小和方向 B ■解题的要点是抓住B的矢量性,空间角度 先求一根导线在P点的B,分析三根导线产生的B 的关系,然后投影、叠加 4B Ho[cos 0, -COS(T-01=0-cosB1 COsO=cos B 4r 2Tr B AB ol=B=B=B 2√3m 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 例三：如图电流 I流过边长为a的等 边三角形导线，求电流在此三角形 为底的正四面体的顶点处P的磁感 应强度B的大小和方向 ◼ 解题的要点是抓住B的矢量性，空间角度 ◼ 先求一根导线在P点的B，分析三根导线产生的B 的关系，然后投影、叠加 1 0 1 1 0 cos 2 [cos cos( )] 4 r I r I BAB = − − = r a 2 3 = 2 1 3 cos cos 1 = = 1 0 2 3 B B B a I BA B = = B C = CA =
三者方向mx4∑B=0 B⊥ OD 1 Pd 3 D Bn=∑B1=3B1=3B1cosa B P 2√3m32√3m 67 方向向上同B1 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 三者方向 ◼ 方向向上同 B⊥ B|| = 0 3 3 1 cos 3 1 BP = B⊥ = B⊥ = B 3 1 cos = = PD OD a I a I a I BP 6 3 3 2 3 1 2 3 3 0 0 0 = = =
■例四:如图取直角坐标系xz 在Sxsd的一层无穷区域内有均勾 的传导电流,电流密度的方向为轴 的正方向,大小恒定为j试求区域 内外各处的磁感应强度B的分布。 2d 可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平 板。磁感应强度只有轴分量 ■先将平板分割成无限大载流平面 讨论一块无限大载流平面产生磁场B的对称性 ■讨论该区域电流产生磁场的对称性 ˉ利用安培环路定理算出 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 例四：如图取直角坐标系 xyz 在-d x d的一层无穷区域内有均匀 的传导电流，电流密度的方向为z轴 的正方向，大小恒定为 j。试求区域 内外各处的磁感应强度B 的分布。 ◼可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平 板。磁感应强度只有y轴分量 ◼ 先将平板分割成无限大载流平面 ◼讨论一块无限大载流平面产生磁场B’的对称性 ◼讨论该区域电流产生磁场的对称性 ◼利用安培环路定理算出
■切一薄片沿Z轴分割成成对 长直导线,叠加结果的dB 必平行或反平行于y轴 dB ■或者从轴矢量角度分析 ■对一块板作安培环路 B·l-=10j L 2B=10jl→B=j ■结论:B与距离无关 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 切一薄片沿Z轴分割成成对 长直导线，叠加结果的dB 必平行或反平行于y轴； ◼ 或者从轴矢量角度分析 ◼ 对一块板作安培环路 = L B dl jl 0 lB jl 2 = 0 B j 2 0 = ◼ 结论： B’与距离无关
叠加结果:中垂面上B=0B=均j 2 ■作高斯面如图 xd B·dl=0idl B 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 叠加结果：中垂面上B=0 ◼ 作高斯面如图 x d B dl jxl L = 0 B jx = 0 x d B dl jdl L = 0 B = 0 jd B j 2 0 =
例五:如图(a)所示,半径为R、质量为m的匀 质细圆环均匀带电,总电量为Q(Q>0),放在 光滑的水平面上,环内外有垂直环面向上的均 勺磁场B.若将圆环以角速度a绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转.试求环内因为这种转动而形 成的附加张力。 对环 2丌/m 磁场中环 的 B 旋转形成 个微 R 电流, 元分 析力 dF 磁力 安培力 (6) 张力 合力维持匀速旋转 2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 例五：如图(a)所示，半径为R、质量为m的匀 质细圆环均匀带电，总电量为Q(Q＞o)，放在 光滑的水平面上．环内外有垂直环面向上的均 匀磁场B．若将圆环以角速度绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形 成的附加张力。 磁场中环 旋转形成 电流， 对环 的一 个微 元分 析力 安培力 张力 合力维持匀速旋转 2 / Q I = 磁力