中值定理与导数的应用 案例1[低频跨导]具有P节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之 比称为低频跨导.一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为I=5U2,求电压U=-2V 时的低频跨导 解：低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在V=一2伏时的变化率为 I 404s I=lim 5-2+AVP-5-2=10 A→0 △V (V). 案例2[人口增长率]《全球2000年报告》指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2% dpdp dP、 的相对比率增长.若用P表示自1975年以来的人口数，求正，d®，d ,它们的实 际意义分别是什么？ dP dP P(t+△t)-P(t) =lim- 解：t表示世界人口总量关于时间的变化率，即dt △t 在，1+△门时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为2%，速度 dp 为2%P),即Pt+△)-P()≈2%P)AM,故有d=2%PO, dp dp dp 由于世界人口每年都以2%的相对比率增长，所以d办。 m5=2%P0, dC 因C的单位为元，T的单位为t,所以dT的单位为元/L,∫(2000)=100表明当有 2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元， 案例3[制冷效果]某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，【h后冰箱的温度为 2t T= -20 0.051+1(单位：℃).问冰箱温度T关于时间1的变化率是多少？ 解：冰箱温度T关于时间t的变化率为 dT 2t =0.051+1 20) dt
中值定理与导数的应用 案例 1[低频跨导]具有 PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之 比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为 2 I U = 5 ，求电压 U =−2 V 时的低频跨导． 解:低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在 V =−2 伏时的变化率为 2 2 0 0 5( 2 ) 5( 2) lim lim 10 V V I V I → → V V − + − − = = = （V）． 案例 2[人口增长率]《全球 2000 年报告》指出世界人口在 1975 年为 41 亿，并以每年 2％ 的相对比率增长．若用 P 表示自 1975 年以来的人口数，求 dt dP , t =0 dt dP ， t =15 dt dP ，它们的实 际意义分别是什么？ 解: dt dP 表示世界人口总量关于时间的变化率，即 ( ) ( ) lim t dP P t t P t dt t + − = ， 在 [ , ] t t t + 时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为 2％，速度 为 2 ( ) ％P t ，即 P t t P t P t t ( ) ( ) 2 ( ) + − ％ ，故有 dt dP =2％ Pt() ， 由于世界人口每年都以 2％的相对比率增长，所以 dt dP = t=0 dt dP = t=15 dt dP =2％ Pt() ， 因 C 的单位为元， T 的单位为 t，所以 T C d d 的单位为元/t， f '(2000) = 100 表明当有 2000t 铜矿从矿中被开采出来时，再开采 1t 铜矿需花费 100 元． 案例 3[制冷效果]某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果， t h 后冰箱的温度为 20 0.05 1 2 − + = t t T (单位： 0C )．问冰箱温度 T 关于时间 t 的变化率是多少？ 解:冰箱温度 T 关于时间 t 的变化率为 dT dt = 2 ( 20) 0.05 1 t t − +
s(2 y-(20y 0.051+1 20.051+)-21x0.05-0 (0.051+1)2 2 (0.051+12(C1小时). 案例4[充电速度]对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为“：=E(-?C),求电 duc 容器的充电速度dh, 解：利用复合函数的求导法则，有 =E0-ey=B0-ey=E0-e安.(C》 du. =B0-e交←1=E0-e(』=点e RC 案例5[电流与电压的关系]在电容器两端加正弦电流电压“。=Ums血(O1+),求电流 解： i=Cdue dt =ClU sin(at+] =C[Ucos((ot+p)(o1+φ)门=C[U@cos(ot+φ)] =CU sin(ot+φ+ 业-y. 其中oCUm=/m是电流的峰值 dx du dx 从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：
2 ( ) (20) 0.05 1 t t = − + 2 2(0.05 1) 2 0.05 0 (0.05 1) t t t + − = − + 2 2 (0.05 1) t = + ( 0C / 小时). 案例 4[充电速度]对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为 (1 ) RC t c u E e − = − ,求电 容器的充电速度 dt duc . 解 : 利用复合函数的求导法则，有 dt duc [ (1 )] t RC E e − = − (1 ) t RC E e − = − 1 [0 ( )] t RC E e RC − = − − [0 ( ) ] t RC t E e RC − = − − 1 [0 ( )] t RC E e RC − = − − RC t e RC E − = 案例 5[电流与电压的关系]在电容器两端加正弦电流电压 u =U sin(t +) c m ，求电流 i . 解: dt du i C c = [ sin( )] = + C U t m [ cos( )( ) ] = + + C U t t m [ cos( )] = + C U t m ) 2 sin( = CUm t + + = I sin(t +) m 其中 m m CU = I 是电流的峰值（最大值），称振幅，初相 2 = + ． 从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：
(1)电流i与电压4c是同频率的正弦波： 之 (2)电流i比电压4相位提前2： (3)电压峰值与电流峰值之比为 。=U。=1 1 电工学中称C0为容抗（容性电抗）. dp >0 案例6[增长率]若某国的国民生产总值的增长率M，由函数单调性的判定方法知 P()是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大：反之，若某国的国民生产总值 dP∠0 的增长率dl ，则该国的国民生产总值越来越小. 案例7[石油蕴藏]假设P为在第1年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），假设没 dP 有新的石油产生，并且P以桶为单位计量，d的单位是什么？它有何意义？它的符号为正 还是负？为什么？ 解：由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总 dP <0 量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量P()是一单调减少函数，所以d山.因为P的 dP 单位是桶，【的单位是年，所以d的单位是桶/年. 案例8[血液的压强]血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心 脏.医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P(单位：mmg)的数学模型 P=252+123 t+1,t=0表示血液从心脏流出的时间(t的单位：秒).问在心脏收缩的一个 周期里，血压是单调增加的还是单调减少的？ =(25r+123y 解： t2+1
（1）电流 i 与电压 c u 是同频率的正弦波； （2）电流 i 比电压 c u 相位提前 2 ； （3）电压峰值与电流峰值之比为 CU C U I U m m m m 1 = = ， 电工学中称 C 1 为容抗（容性电抗）． 案例 6[增长率]若某国的国民生产总值的增长率 0 dP dt ，由函数单调性的判定方法知 Pt() 是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国的国民生产总值 的增长率 0 dP dt ，则该国的国民生产总值越来越小． 案例 7[石油蕴藏]假设 P 为在第 t 年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），假设没 有新的石油产生，并且 P 以桶为单位计量， t P d d 的单位是什么？它有何意义？它的符号为正 还是负？为什么？ 解:由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总 量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量 P t （ ) 是一单调减少函数，所以 d 0 d P t ．因为 P 的 单位是桶， t 的单位是年，所以 t P d d 的单位是桶/年． 案例 8[血液的压强]血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心 脏．医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压 P （单位：mmHg）的数学模型 1 25 123 2 2 + + = t t P ，t = 0 表示血液从心脏流出的时间（t 的单位：秒）．问在心脏收缩的一个 周期里，血压是单调增加的还是单调减少的？ 解: 2 2 25 123 1 t P t + = + （ ）
-(2572+123y(t2+1)-(25r2+123)(2+10 (t2+1)2 =50(12+1)-21252+123) (t2+1D2 s-_1961 (+P0，所以p:(P+D<0 ，因此在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少 的 案例9[容器的设计]要设计一个容积为500ml的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多 少时容器所耗材料最少？ 解：设其底面半径为r,高为h,其表面积为S=2πh+2πr2, 容积为'=500=πr2h, h=500 S=1000+2mr2 即”r2,代入S=2h+2πr2,得表面积r 100 求导 2+4r 00 =( 解S=0,得唯一驻点 2π 因为此问题的最小值一定存在，故此驻点即为最 500、 2000、 r=( =( 小值点，将 2 代入500=πr2h,得 π ,即h2, 故当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少. 案例10[发动机的效率]一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的 效率P(%)与汽车的速度V(单位：公里/小时)之间的关系为P=0.768v-0.00004w.问 发动机的最大效率是多少？ 解：求发动机的最大效率P最大，即求函数P=0.768-0.00004v的最大值.先求导 =(0.768v-0.00004y=0.768-0.00012y2业=0 ,令dv,得v=80(单位：km/h).由
2 2 2 2 2 2 25 123 1 25 123 1 1 t t t t t + + + + + （ ） （ ）-（ ）( ） = （ ） 2 2 2 2 50 1 2 25 123 1 t t t t t + + + （ ）- （ ） = （ ） 2 2 196 0 1 t t + =- （ ） . 因为 t 0 ，所以 P 2 2 196 0 1 t t + =- （ ） ，因此在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少 的． 案例 9[容器的设计]要设计一个容积为 500ml 的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多 少时容器所耗材料最少？ 解:设其底面半径为 r ，高为 h ，其表面积为 2 S rh r = + 2 2 ， 容积为 2 V r h = = 500 ， 即 2 500 h r = ，代入 2 S rh r = + 2 2 ，得表面积 1000 2 S r 2 r = + ， 求导 S 2 1000 4 r r = − + ， 解 S = 0 ，得唯一驻点 1 3 500 ( ) 2 r = ，因为此问题的最小值一定存在，故此驻点即为最 小值点，将 1 3 500 ( ) 2 r = 代入 2 500 = r h ,得 1 3 2000 h ( ) = ，即 1 2 r h = ， 故当底面半径与高之比为 1：2 时，所用材料最少． 案例 10[发动机的效率]一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的 效率 p （%）与汽车的速度 v (单位：公里/小时) 之间的关系为 3 p = 0.768v − 0.00004v ．问 发动机的最大效率是多少？ 解:求发动机的最大效率 p最大 ，即求函数 3 p = 0.768v − 0.00004v 的最大值．先求导 d 3 2 0.768 0.00004 0.768 0.00012 d p v v v v = − = − （ ） ，令 d 0 d p v = ，得 v = 80 (单位：km/h)．由
实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为p80)≈41(%侧) 案例11[最大容积]设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相 同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的 容积为最大？并求开口盒子容积的最大值。 解：设切去的小正方形的边长为x分米，则盒子的容积为 V=8-2xX5-2xx(0 3( 2,应舍去)，则符合题意的驻点只有 5、 x=1.由于开口盒子容积的最大值一定存在，而且在 西之内取得，而P=0在空闪 (0,) 只有一个根x=1,故此点为所求的最大值点。 所以切去的小正方形的边长为1分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是18立 方分米
实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为 （ ） 41 p 80 (%) 案例 11[最大容积]设有一个长 8 分米和宽 5 分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相 同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的 容积为最大？并求开口盒子容积的最大值． 解:设切去的小正方形的边长为 x 分米，则盒子的容积为 ) 2 5 V = (8 − 2x)(5 − 2x)x (0 x ， 求导 V = −2(5 − 2x)x − 2(8 − 2x)x + (8 − 2x)(5 − 2x) = 4(x −1)(3x −10)． 令 V = 0 ，得驻点 3 10 1, x1 = x2 = ( 2 5 x2 ，应舍去)，则符合题意的驻点只有 x = 1 ．由于开口盒子容积的最大值一定存在，而且在 ) 2 5 (0, 内取得，而 V = 0 在 ) 2 5 (0, 内 只有一个根 x = 1 ，故此点为所求的最大值点． 所以切去的小正方形的边长为 1 分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是 18 立 方分米．