兰州交通大学：《土木工程测量学》课程教案讲义（下册）第3讲控制网平差.doc_大学文库

土木工程测量学教程（下）教案 3-1 第3讲教学目标：掌握三角网条件评差方法和程序。重点难点：条件方程列立，闭合差检核第 3 章控制网平差 3—1 概述在测量工作中，常要确定某些几何量的大小。由几何量组成的模型称为几何模型。为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用 t 来表示。必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数 t 及其类型，t 只与几何模型有关，与实际观测无关。约定： L ~ ――真值， L ――平差值，Ｌ――观测值在一个几何模型中，除了 t 个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应函数关系式。例，必要量选为 1 ~ L 、 2 ~ L 、 1 ~ S ，若增加一个量 3 ~ L ，则存在  180 ~ ~ ~ L1 + L2 + L3 = ，若再增加一个量 2 ~ S ，则有 1 2 2 1 ~ sin ~ ~ ~ sin L L S = S 由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为 t 个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中 n 个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即 n＜t，显然它无法确定该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了 t 个独立量，n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使 n＞t，若令 r=n–t （3-1）式中 n 为观测值的个数，t 称为必要观测数，r 称为多余观测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。一个几何模型如果有 r 个多余观测，就产生 r 个条件方程。由于观测下不可避免地存在偶然误差，当 n>t 时，几何模型中应该满足 r=n-t 个条件方

土木工程測量学教程(下)教亲程,实际存在闭合差而并不满足,如何调整观测值,即对观测值合理地加上改正数,使其达到消除闭合差的目的,这是测量平差的主要任务个测量平差问题,首先要由观测值和待求量间组成数学模型,然后采用一定的平差原则对待求量进行估计,这种估计要求是最优的,最后计算和分析成果的精度 3-2测量平差的数学模型在测量工程中,涉及的是通过观测量来确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题,因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同,它还要考虑随杋模型,因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种,在研究任何平差方法时必须予以考虑。函数模型是由描述观测量和待求量间的数学函数关系的模型,是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。对于一个实际平差问题,可建立不同形式的函数模型,与此相应,就产生了不同的平差方法、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法,称为条件平差法般而言,如果有n个观测值L,t个必要观测,则应列出r=n-1个条件方程 +1.=g (3-8) A为常数向量,将L=L+y代入,并令 W=AL+a (3-9) 则(3-8)式为 A+W=0 (3-8)或(3-10)式为条件平差的函数模型条件平差的自由度极为多余观测数r,即条件方程的个数、间接平差法在一个几何模型中,最多只能选出t个独立量,如果在进行平差就选定t个独立量为参数,那么通过这1个独立参数就能唯一地确定几何模型了。换言之,模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数,亦即每个观测量都可表达成所选t个独立参数的函数。选择几何模型中1个独立量为平差参数,将每一个观测量表达成所选参数的函数,即列出n个这种函数关系式,以此为平差的函数模型,称为间接平差法,又称参数平差法

土木工程测量学教程（下）教案 3-2 程，实际存在闭合差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。 3—2 测量平差的数学模型在测量工程中，涉及的是通过观测量来确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须予以考虑。函数模型是由描述观测量和待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，与此相应，就产生了不同的平差方法。一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。一般而言，如果有 n 个观测值 n,1 L ，t 个必要观测，则应列出 r=n–t 个条件方程， r n A , ,1 , ,1 ~ r r n n L+ A  = O （3-8） A  为常数向量，将 L = L + v 代入，并令 W = AL + A  （3-9）则（3-8）式为 AV +W = 0 （3-10）（3-8）或（3-10）式为条件平差的函数模型。条件平差的自由度极为多余观测数 r，即条件方程的个数。二、间接平差法在一个几何模型中，最多只能选出 t 个独立量，如果在进行平差就选定 t 个独立量为参数，那么通过这 t 个独立参数就能唯一地确定几何模型了。换言之，模型中的所有量都一定是这 t 个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选 t 个独立参数的函数。选择几何模型中 t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出 n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称参数平差法

土木工程测量学教程（下）教案 3-3 尽管间接平差法是选了 t 个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是 r=n-t。 3—3 条件平差原理某一平差问题，如必要观测数为 t，则只能选出 t 个独立的未知数，每增加一个未知数，就会产生一个应满足的条件方程。在条件平差法中选 n 个观测量的平差值 L ˆ 作为未知数，由于多选了 r=n–t 个未知数，因而就产生了 r 个条件方程。条件平差法就是在满足 r 个条件方程的需求下，求函数 V TPV=min 的 V 值，在数学中是求函数的条件极值问题。一. 基础方程和它的解设有 r 个平差值线性条件方程：        + + + + = + + + + = + + + + = ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 r L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n     （3-23）式中 ai、bi、…、ri（i=1,2,…,n）为条件方程系数，a0、b0、…、r0 为条件方程常数项。将（3-22）式代入上式，得条件方程为        + + + − = + + + − = + + + − = 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n r n n b n n a r v r v r v w b v b v b v w a v a v a v w     （3-24）式中 wa 、 wb 、…、 wr 称为条件方程的闭合差，或称不符值，其值为        = − + + + + = − + + + + = − + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 w r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a r n n b n n a n n     （3-25）设             = n n n r n r r r b b b a a a A        1 2 1 2 1 2 , ，             = r b a r w w w W,1  ，             = n n v v v V  2 1 ,1 ，             = 0 0 0 ,1 r b a A r  ，             = n n L L L L  2 1 ,1

土木工程测量学教程（下）教案 3-6 2. 圆周角条件在中点多边形中，尽管所有三角形的图形条件都满足，还必须使角度满足下列条件 c1 +c2 ++cn −360 = 0 (3-38) 这种条件就称为圆周角条件。以改正数表示的圆周角条件方程式的一般形式为    = + + + + − + + + + + =  360 0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 w c c c c c vc vc vc vc vc w （3-39）式中 w 是圆周角条件方程式的闭合差。当三角网按方向平差，即以方向观测值作为平差元素时，就不会产生圆周角条件。这是因为每个角度是由两个方向组成，当组成圆周角条件方程式时，在方程中每个方向都出现两次，并且一次为正，一次为负，正好抵消。 3. 极条件对于中点多边形，若从 OA 边出发，依次解算三角形①、②、…，最后解算得的边长应与出发边 OA 相等。这种条件的数学形式为 n n OA OA b b b a a a S S sin sin sin sin sin sin 1 2 1 2   = （12-40）或 1 sin sin sin sin sin sin 1 2 1 2 = n n b b b a a a   （12-41）依次解算的三角形有共同顶点 O，这个共同顶点 O 成为极点，故这种条件称为极条件。上式是一个非线性的条件方程式，为能按最小二乘法原理进行平差，必须把它化为线性形式。按泰勒级数直接展开（仅取至一次项），分别求得以角度改正数表达的极条件方程的线性形式，线性化的过程可表达为             0 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1 sin sin 1 sin sin sin sin sin sin 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 5 1 1 2 2 =  − −  −  −  + +  +  = − + − + + + + + +                     b n n b b a n n a a b b b n a a n a n v ctgb b v a ctgb b v a ctgb b a v ctga b v a ctga b v a ctga b a b a b v b v b v a v a v a v     令 δai = ctg ai δbi = ctg bi 则上式可化简为  a1 va1 + a2 va2 ++ anvan − b1 vb1 − b2 vb2 − bnvbn + ws = 0 （3-43）（3-42）

兰州交通大学：《土木工程测量学》课程教案讲义（下册）第3讲 控制网平差

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