第三章控制网平差 完成控制网测量的外业工作后要进行 内业计算,内业计算分为概算、平差计 算和编制控制点成果表。本章重点介绍 独立三角网的条件平差方法。 第一节测量平差的数学模型 第二节条件平差原理 第三节独立三角网条件平差
第三章 控制网平差 • 完成控制网测量的外业工作后要进行 内业计算，内业计算分为概算、平差计 算和编制控制点成果表。本章重点介绍 独立三角网的条件平差方法。 • 第一节 测量平差的数学模型 • 第二节 条件平差原理 • 第三节 独立三角网条件平差
第一节测量平差的数学模型 必要观测与多余观测 在测量工作中,最常见的问题是要确定某些 几何量的大小。由各种几何量构成的模型(测 量中就是各种控制网)就是几何模型。 为了确定一个几何模型,并不需要知道该模 型中所有元素的大小,而只需要知道其中部分 元素,其它元素可以通过已知的元素确定。 能够唯_地确定一个几何模型所必要的元素 称必要元素;确定必要元素的观测称为必要观 测。必要元素的个数用t表示
第一节 测量平差的数学模型 一、必要观测与多余观测 在测量工作中，最常见的问题是要确定某些 几何量的大小。由各种几何量构成的模型（测 量中就是各种控制网）就是几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模 型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分 元素，其它元素可以通过已知的元素确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素， 称必要元素；确定必要元素的观测称为必要观 测。必要元素的个数用t 表示
为了确定一个几何模型就必须进行观测。如果 观测个数n少于必要元素的个数,即nt,即必须 进行多余观测。多余观测的个数在测量中又称 “自由度”。令 r=n-t 显然,r就是多余观测数
• 为了确定一个几何模型就必须进行观测。如果 观测个数 n 少于必要元素的个数，即 n＜t，显 然无法确定该模型，出现了数据不足的情况； 若观测了 t 个独立量，n =t，则可唯一地确定 该模型。在这种情况下，如果观测结果中含有 错误，将无法发现。为了能及时发现错误，并 提高测量成果的精度，就必须使 n＞t，即必须 进行多余观测。多余观测的个数在测量中又称 “自由度” 。令 r = n – t 显然， r 就是多余观测数
例如:为确定三角 形ABC,只需要3 个必要观测,它们 可以是:S,a,b a. C 或或或 1,62,b 1,心2, S3 b B A 如果观测了所有六个元素,则有3个多余观测
例如: 为确定三角 形ABC，只需要3 个必要观测，它们 可以是： S1 , a, b 或： S1 , a, c 或： S1 , S2 , b 或： S1 , S2 , S3 …… C c S2 S3 b a B S1 A 如果观测了所有六个元素，则有3 个多余观测
二、平差的数学模型 测量中是通过观测来确定控制网中的某些几 何量,因而考虑的模型总是数学模型。因为 观测量是一种随机变量,所以平差的数学模 型应同时包含函数模型和随机模型。函数模 型和随机模型总称为数学模型。 函数模型是由描述观测量和待求量间的函数 关系的模型,随机模型是描述观测量及其相 互间统计相关性质的模型。建立这两种模型 是测量平差中最基本而首先考虑的问题
二、平差的数学模型 • 测量中是通过观测来确定控制网中的某些几 何量，因而考虑的模型总是数学模型。因为 观测量是一种随机变量，所以平差的数学模 型应同时包含函数模型和随机模型。函数模 型和随机模型总称为数学模型。 • 函数模型是由描述观测量和待求量间的函数 关系的模型，随机模型是描述观测量及其相 互间统计相关性质的模型。建立这两种模型 是测量平差中最基本而首先考虑的问题
测量平差通常是基于线性函数模型的 当函数模型为非线性形式时,是将其用 泰勒公式展开,并取其一次项化为线性 形式 对于一个实际平差问题,可建立不同形 式的函数模型,相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种
• 测量平差通常是基于线性函数模型的， 当函数模型为非线性形式时，是将其用 泰勒公式展开，并取其一次项化为线性 形式。 • 对于一个实际平差问题，可建立不同形 式的函数模型，相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种
1、条件平差法 以观测量之间必须满足一定的条件方程为函 数模型的平差方法,称为条件平差法。 例如:为了确定B、 hI C、D三点的高程 A B 其必要观测数t=3, nz 实际观测了6段高 h3 差,故多余观测数 h4 h5 1h6 r=nt=3,应列出 3个线性无关条件 D 方程
1、条件平差法 以观测量之间必须满足一定的条件方程为函 数模型的平差方法，称为条件平差法 。 例如：为了确定B、 C、D三点的高程， 其必要观测数 t =3， 实际观测了6 段高 差, 故多余观测数 r = n–t =3，应列出 3个线性无关条件 方程. h1 A B h2 C h3 h4 h5 h6 D
这个水准网可以列出7个条件方程,其中只有 3个是相互独立的我们取: 无法显示该图片 h1+h3-h2=0 h1+h6-ha4=0 a 几+h。-h 4 式中:h,表示观测量h2的平差值。 这就是用平差值表达的条件方程
这个水准网可以列出7个条件方程,其中只有 3个是相互独立的,我们取： 0 0 0 2 5 4 1 6 4 1 3 2 + − = + − = + − = h h h h h h h h h 式中： 表示观测量 hi 的平差值。 这就是用平差值表达的条件方程。 hi （a）
由于平差值应该等于观测值与其改正数之和, hi=h tv 代入(a)式得 其中 1-Y2+Vy3+1=0 W1=h1-h2+h2 H-4+1+2=0,w2=h1-b2+h0 2-v4+3+w3=0w3=h2-h4+h
由于平差值应该等于观测值与其改正数之和， 即： i i hi = h + v 代入(a)式得： 其中： 0 0, 0 2 4 5 3 1 4 6 2 1 2 3 1 − + + = − + + = − + + = v v v w v v v w v v v w (b) 3 2 4 5 2 1 4 6 1 1 2 3 w h h h w h h h w h h h = − + = − + = − +
令 11000 100 101,W 010-110 V=( 3 则条件方程可表达为以下矩阵形式: A+W=0 这就是条件平差函数模型的一般形式
= − − − = 3 2 1 , 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 w w w A W 令： V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6 ) T 则条件方程可表达为以下矩阵形式： AV +W=0 （c） 这就是条件平差函数模型的一般形式