板材下料优化方法案例 本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需3种2mm厚度的板材零件下 料为例,说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显 著经济效益。同时,该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、 效果良好的板材下料优化方法,可供各企业在生产中参考运用 板材下料优化方法的特点及其工作流程 用线性规划求解最优下料方案,通常要求首先设计出所有可行合理的下料方 式,然后建立LP模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料,每 种下料方式对应一张排料图,在零件种类较多的情况下,要绘制出所有可行且 合理的排料图,不仅工作量非常巨大,而且也是不现实的。为减少绘制排料图的 工作量,同时又能达到良好的效果,我们在此给出了一种高效的板材下料优化方 法的工作流程。该工作流程有如下特点: 1.对绘制排料图的要求不高。开始时,只需选作少量包含各种零件且材料 利用率较髙的排料图,这不仅可简化绘图工作量,还可简化模型。 2.对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想,则通过有 针对性地再增绘少量排料图后重新求解,通常就可达到事半功倍的效果(该步骤 属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”,但我们是用计 算机求解,故可不涉及敏感性分析的概念)。 3.通常板材下料问题中的变量应当是整数,若采用整数规划求解,则显然 会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解,对得到的最优解通过舍去 小数部分取整,对取整后的零件短缺数,再绘制少量排料图解决。此“取整修正 方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率
板材下料优化方法案例 本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需 3 种 2mm 厚度的板材零件下 料为例，说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显 著经济效益。同时，该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、 效果良好的板材下料优化方法，可供各企业在生产中参考运用。 一．板材下料优化方法的特点及其工作流程 用线性规划求解最优下料方案，通常要求首先设计出所有可行合理的下料方 式，然后建立 LP 模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料，每 一种下料方式对应一张排料图，在零件种类较多的情况下，要绘制出所有可行且 合理的排料图，不仅工作量非常巨大，而且也是不现实的。为减少绘制排料图的 工作量，同时又能达到良好的效果，我们在此给出了一种高效的板材下料优化方 法的工作流程。该工作流程有如下特点： 1. 对绘制排料图的要求不高。开始时，只需选作少量包含各种零件且材料 利用率较高的排料图，这不仅可简化绘图工作量，还可简化模型。 2. 对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想，则通过有 针对性地再增绘少量排料图后重新求解，通常就可达到事半功倍的效果（该步骤 属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”，但我们是用计 算机求解，故可不涉及敏感性分析的概念）。 3. 通常板材下料问题中的变量应当是整数，若采用整数规划求解，则显然 会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解，对得到的最优解通过舍去 小数部分取整，对取整后的零件短缺数，再绘制少量排料图解决。此“取整修正” 方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率
将零件分类 绘制少量排料图 建立LP模型 求最优解 Y 满意吗? 增绘新排料图 重新建模求解 取整修正 得到最优下料方案 图1板材下料优化方法工作流程 二.实际操作中的几点注意事项 1.绘制排料图时的注意事项 为简化排料图的绘制,排料前应先将零件进行分类,一般可分为以下三类 (1)零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法,对 材料利用率影响较大,应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件 (2)零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多,应注 意不同零件的搭配。 (3)零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类,此类零件 单一下料利用率高
图 1 板材下料优化方法工作流程 二．实际操作中的几点注意事项 1. 绘制排料图时的注意事项 为简化排料图的绘制，排料前应先将零件进行分类，一般可分为以下三类： （1）零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法，对 材料利用率影响较大，应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件。 （2）零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多，应注 意不同零件的搭配。 （3）零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类，此类零件 单一下料利用率高。 将零件分类 绘制少量排料图 建立 LP 模型 求最优解 满意吗？ 增绘新排料图 重新建模求解 取整修正 得到最优下料方案 Yes No
绘制排料图时,应先考虑第一类零件,其次搭配好第二类零件,最后将第三 类零件作为余料的填充件,数量较大的第三类零件则还应绘制单一下料图。 2.简化模型的方法 在下料问题的LP模型中,每种零件对应一个约束条件,当一批下料任务中 零件种类较多时,不仅会使排料工作复杂化,而且LP模型也会相应复杂,此时 可按以下方法进行简化处理。 (1)对尺寸不大且数量较少的零件,在排料时可暂不考虑,它们通常可在 取整修正阶段一起解决。 (2)对数量相同,且某边长也相同或相近的两种或多种零件,可组合成 种“新零件”进行排料和建模。 应用案例 上海某柴油机厂某月需要3种2mm厚的板材零件,其工艺尺寸、需要量和 单一下料利用率等数据见表1。 表1零件尺寸、需要量和单一下料利用率 m)/零件号/零件尺寸 材料尺寸 (mm)需要量/每张钢板钢板需单一下料 可下料数要量利用率9 260×258 69.88 1000 2#240×2576600 84.3 2000×2 40×195 △V 可见,如果采用以往的单一下料方法,则这三种零件总共需要69张钢板 总的材料利用率仅为80.86%。下面,我们采用上述工作流程进行优化 选作排料图 图2是选作的4张排料图,分别用X、X、X3、X4表示;表9.10给出了各 种排料方式下每张钢板可切割的零件数
绘制排料图时，应先考虑第一类零件，其次搭配好第二类零件，最后将第三 类零件作为余料的填充件，数量较大的第三类零件则还应绘制单一下料图。 2．简化模型的方法 在下料问题的 LP 模型中，每种零件对应一个约束条件，当一批下料任务中 零件种类较多时，不仅会使排料工作复杂化，而且 LP 模型也会相应复杂，此时 可按以下方法进行简化处理。 （1）对尺寸不大且数量较少的零件，在排料时可暂不考虑，它们通常可在 取整修正阶段一起解决。 （2）对数量相同，且某边长也相同或相近的两种或多种零件，可组合成一 种“新零件”进行排料和建模。 三. 应用案例 上海某柴油机厂某月需要 3 种 2mm 厚的板材零件，其工艺尺寸、需要量和 单一下料利用率等数据见表 1。 表 1 零件尺寸、需要量和单一下料利用率 材料尺寸 （mm） 零件号 零件尺寸 （mm） 需要量 每张钢板 可下料数 钢板需 要量 单一下料 利用率% 1000× 2000×2 1# 260×258 500 21 24 69.88 2# 240×257.6 600 28 22 84.31 3# 840×195 250 11 23 89.02 合 计 69 80.86 可见，如果采用以往的单一下料方法，则这三种零件总共需要 69 张钢板， 总的材料利用率仅为 80.86%。下面，我们采用上述工作流程进行优化。 1. 选作排料图 图 2 是选作的 4 张排料图，分别用 X1、X2、X3、X4 表示；表 9.10 给出了各 种排料方式下每张钢板可切割的零件数
(b)X2 利用率:8681%利用率:9474%利用率:9426%利用率:9009 图2初始排料图 表2各种排料方式下每张钢板可得零件数 零件 需要量 600 2.建立LP模型并求最优解 设x、x2、x、x分别为上述各种排料方式的切割钢板数,目标是所耗用的 钢板最少。由表2,可得LP模型为 min xo=xI+ cIxI ≥500 S t 28x2+4x3 ≥600 +x2+10x3+llx4≥250 用 Excel软件求解,可得最优解为 x0*=60.973,x1*=23.810,x2*=18.806,x3*=18.357,x4*=0 即按排料图x切割24张、按x和x各切割19张,可满足3种零件的需求
表 2 各种排料方式下每张钢板可得零件数 零件 x1 x2 x3 x4 需要量 1# 21 0 0 0 500 2# 0 28 4 0 600 3# 2 1 10 11 250 2. 建立 LP 模型并求最优解 设 x1、x2、x3、x4 分别为上述各种排料方式的切割钢板数，目标是所耗用的 钢板最少。由表 2，可得 LP 模型为 min x0 = x1 + x2 + x3 + x4 21x1 ≥500 s.t. 28x2+ 4x3 ≥600 2x1 + x2 +10x3 +11x4 ≥250 x1、x2 、 x3 、x4 ≥ 0 用 Excel 软件求解，可得最优解为 x0* = 60.973，x1* = 23.810，x2* =18.806，x3* =18.357，x4* = 0 即按排料图 x1 切割 24 张、按 x2 和 x3 各切割 19 张，可满足 3 种零件的需求， 1# 3# 260 258 (a) X1 利用率：86.81% 2# 3# 240 257.6 (b) X2 利用率：94.74% 2# 3# (c) X3 利用率：94.26% 3# 3# (d) X4 利用率：90.09% 图 2 初始排料图
总共需62张钢板,可比单一下料方式少用7张钢板,材料利用率提高到89.99%, 但材料利用率仍然偏低,效果还不够理想。 3.下料方案的最优化后分析 板材下料问题LP模型最优解的效果取决于所绘制的排料图。由于该方法 开始只要求选作若干排料图,因此其初始最优解的效果往往是欠佳的,但这一缺 陷可在最优化后分析阶段弥补。 获得初始最优解后,首先应计算其材料利用率,若效果欠佳,则一般有以下 两个原因 (1)最优解中含有某些材料利用率较低的排料图 (2)各零件在排料图中的数量配比不当(反映在最优解中就是存在较大的 剩余变量)。 出现上述情况时,可有针对性地再绘制少量排料图,以它们作为新增变量加 入原模型中,重新运算后通常即可得到令人满意的下料方案。 本案例中由于3个剩余变量都为0(都是非基变量,在模型中并未给出,这 是由于用软件求解并不要求化为标准型),故不存在数量配比不当的问题。进一 步分析可知,x1=23.81,数量最大,但排料图x的材料利用率仅为8681%,可 见这是影响材料利用率的主要原因。分析4张排料图后,可发现仅x中含有1#零 件,显然应对1#零件重新设计排料图。再看2#零件,其需求量最大,且与1# 零件有一边长相近,两者的另一边长之和又恰好与钢板短边成倍比 (260+240=500),故可将两者组合后绘制一张新的排料图x,见图3。该排料 图每张可得1#和2#零件各14块,3#零件1块,材料利用率达9892%。 将xs加入模型,用 Excel重新求解,可得新的最优解为 x0*=57609,x2*=0.518,x3*=21.377,x5*=35.714,x1*=x4*=0 经进位取整后,只需59张钢板,比初始最优方案又减少了3张,材料利用 率则提高到94.56%,已达到令人满意的效果。 4.对最优方案的取整修正 当最优解中切割方式较多,且钢板总量不是很大时,简单地采用进位取整处 理往往会影响材料利用率。下面我们介绍一种简便易行且效果很好的“取整修正 法”,步骤如下:
总共需 62 张钢板，可比单一下料方式少用 7 张钢板，材料利用率提高到 89.99%， 但材料利用率仍然偏低，效果还不够理想。 3. 下料方案的最优化后分析 板材下料问题 LP 模型最优解的效果取决于所绘制的排料图。由于该方法一 开始只要求选作若干排料图，因此其初始最优解的效果往往是欠佳的，但这一缺 陷可在最优化后分析阶段弥补。 获得初始最优解后，首先应计算其材料利用率，若效果欠佳，则一般有以下 两个原因： （1）最优解中含有某些材料利用率较低的排料图； （2）各零件在排料图中的数量配比不当（反映在最优解中就是存在较大的 剩余变量）。 出现上述情况时，可有针对性地再绘制少量排料图，以它们作为新增变量加 入原模型中，重新运算后通常即可得到令人满意的下料方案。 本案例中由于 3 个剩余变量都为 0（都是非基变量，在模型中并未给出，这 是由于用软件求解并不要求化为标准型），故不存在数量配比不当的问题。进一 步分析可知，x1 = 23.81，数量最大，但排料图 x1 的材料利用率仅为 86.81%，可 见这是影响材料利用率的主要原因。分析 4 张排料图后，可发现仅 x1中含有 1# 零 件，显然应对 1# 零件重新设计排料图。再看 2# 零件，其需求量最大，且与 1# 零 件 有 一 边 长 相 近 ， 两 者 的 另 一 边 长 之 和 又 恰 好 与 钢 板 短 边 成 倍 比 （260+240=500），故可将两者组合后绘制一张新的排料图 x5 ，见图 3。该排料 图每张可得 1# 和 2# 零件各 14 块，3# 零件 1 块，材料利用率达 98.92%。 将 x5 加入模型，用 Excel 重新求解，可得新的最优解为 x0* = 57.609，x2* =0.518，x3* =21.377，x5* =35.714，x1*=x4* = 0 经进位取整后，只需 59 张钢板，比初始最优方案又减少了 3 张，材料利用 率则提高到 94.56%，已达到令人满意的效果。 4. 对最优方案的取整修正 当最优解中切割方式较多，且钢板总量不是很大时，简单地采用进位取整处 理往往会影响材料利用率。下面我们介绍一种简便易行且效果很好的“取整修正 法”，步骤如下：
(1)对最优解舍去小数部分取整。本案例经取整后得 0 35 (2)计算零件短缺数,见表3。 表3取整后零件短缺数计算表 零件 可得到的零件数 需求量短缺数 1# 14×35=490 500 2# 4×21+14×35=574 600 6 10×21+1×35=245 (3)对零件短缺数进行套料。通常经取整后的短缺数不会很大,故套料工 作量也不会很大 对于本案例,首先考虑现有排料图。由于x每张可得2#零件28块,3#零 件1块,故应取x3=l。这样就只缺1#零件10块,3#零件4块,据此再绘制 一张排料图x6,见图4,它可裁得1#零件12块,3#零件6块,已满足要求。 260 图3排料图Xs 图4排料图6 现在已得到最终下料方案:分别按排料图x2、x、x、x6各切割1、21、35 1张,总计耗用58张钢板,比进位取整方法又少用1张,材料利用率则进一步 提高到96.19%。仅此3个零件,就比单一下料法节约11张钢板,材料利用率提 高了15.33%,其经济效益可见一斑
（1）对最优解舍去小数部分取整。本案例经取整后得 x2 = 0，x3 = 21，x5 = 35 （2）计算零件短缺数，见表 3。 表 3 取整后零件短缺数计算表 零件 可得到的零件数 需求量 短缺数 1# 14×35=490 500 10 2# 4×21+14×35=574 600 26 3# 10×21+1×35=245 250 5 （3）对零件短缺数进行套料。通常经取整后的短缺数不会很大，故套料工 作量也不会很大。 对于本案例，首先考虑现有排料图。由于 x2 每张可得 2# 零件 28 块，3# 零 件 1 块，故应取 x2=1。这样就只缺 1# 零件 10 块，3# 零件 4 块，据此再绘制 一张排料图 x6 ，见图 4，它可裁得 1# 零件 12 块，3# 零件 6 块，已满足要求。 图 3 排料图 X5 图 4 排料图 X6 现在已得到最终下料方案：分别按排料图 x2、x3、x5、x6 各切割 1、21、35、 1 张，总计耗用 58 张钢板，比进位取整方法又少用 1 张，材料利用率则进一步 提高到 96.19%。仅此 3 个零件，就比单一下料法节约 11 张钢板，材料利用率提 高了 15.33%，其经济效益可见一斑。 1# 260 3# 2# 240 257.6 258 3# 1# 258 260
某金属罐制造厂生产方案的优化案例 问题的提出 某金属罐制造厂是制造金属罐的专业厂家,其主要产品有A、B、C、D四 种型号的金属罐。近年来,产品销售情况良好,市场对这4种产品的需求量很大, 且预测结果表明,需求还有进一步扩大的趋势,许多用户还希望能提供更多的不 同功能的新产品。此外,现有产品在质量、性能、成本、工艺等方面也存在进 步改善的余地。对此,该厂已做了一些基本的分析,比如对引进新的制罐技术的 可行性分析,对目前产品的成本核算及分析等。但对如何优化当前的生产计划, 以获得更大的经济效益:企业目前的各项资源配置是否合理;应如何进一步改进 生产条件以满足市场需求;是否下决心引进新技术开发新产品等等一系列问题尚 缺乏科学的定量分析依据。为适应日趋激烈的市场竞争环境,不断提高企业的竞 争能力和赢利能力,该企业决策者决定聘请某高校的定量分析专家协助,对当前 和未来的生产计划进行最优化分析。 二.案例分析 1.产品生产主要过程及其模型的建立 该企业生产的A、B、C、D四种金属罐要经过四道工序:第一道工序是冲压 下料,金属板材在冲压车间经冲压机冲压,加工成金属罐所需要的各种板材零件 第二道工序是成形加工,在成形车间里把板材零件冲压成符合要求的形状;第三 道工序是焊接装配,在焊接车间将各种成形的零件按技术要求焊接装配成为完整 的金属罐;最后一道工序是喷漆,装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷 根据工艺要求及成本核算,各单位产品所需的加工时间、利润及目前可供使 用的总工时如表113所示。 表11.3单位产品所需加工时间、利润及可利用的工时 可利用总工时 序 (min/天) 冲压 480 成形 2400 装配 2000 喷漆 3000 单位利润(元)96118
某金属罐制造厂生产方案的优化案例 一．问题的提出 某金属罐制造厂是制造金属罐的专业厂家，其主要产品有 A、B、C、D 四 种型号的金属罐。近年来，产品销售情况良好，市场对这 4 种产品的需求量很大， 且预测结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，许多用户还希望能提供更多的不 同功能的新产品。此外，现有产品在质量、性能、成本、工艺等方面也存在进一 步改善的余地。对此，该厂已做了一些基本的分析，比如对引进新的制罐技术的 可行性分析，对目前产品的成本核算及分析等。但对如何优化当前的生产计划， 以获得更大的经济效益；企业目前的各项资源配置是否合理；应如何进一步改进 生产条件以满足市场需求；是否下决心引进新技术开发新产品等等一系列问题尚 缺乏科学的定量分析依据。为适应日趋激烈的市场竞争环境，不断提高企业的竞 争能力和赢利能力，该企业决策者决定聘请某高校的定量分析专家协助，对当前 和未来的生产计划进行最优化分析。 二．案例分析 1．产品生产主要过程及其模型的建立 该企业生产的 A、B、C、D 四种金属罐要经过四道工序：第一道工序是冲压 下料，金属板材在冲压车间经冲压机冲压，加工成金属罐所需要的各种板材零件； 第二道工序是成形加工，在成形车间里把板材零件冲压成符合要求的形状；第三 道工序是焊接装配，在焊接车间将各种成形的零件按技术要求焊接装配成为完整 的金属罐；最后一道工序是喷漆，装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷 漆。 根据工艺要求及成本核算，各单位产品所需的加工时间、利润及目前可供使 用的总工时如表 11.3 所示。 表 11.3 单位产品所需加工时间、利润及可利用的工时 产品 工序 A B C D 可利用总工时 （min/天） 冲压 1 1 1 1 480 成形 4 8 2 5 2400 装配 4 2 5 5 2000 喷漆 6 4 8 4 3000 单位利润（元） 9 6 11 8
该厂仅有一台冲压机,每天工作8小时,共计480min可供加工使用;另有 若干条成形、装配、喷漆生产线分属各车间,除承担本厂生产任务外,还承担着 科研实验、新产品开发试制等工作,因此这些生产线每天可利用的总工时分别不 超过2400min、2000min和3000min。 由以上分析,可设 x为A型金属罐的日产量 x2为B型金属罐的日产量 x3为C型金属罐的日产量; x4为D型金属罐的日产量; 并设目标函数为每天的总利润,就可建立日产品计划的线性规划模型如下: max xo=9x/+6x2+11x3+8x4 x1+x2+ x3+ St 4x1+2x2+5x3+5x4≤2000 1,x2,X3 3,x4≥0 2.求解最优生产计划 用 Excel软件求解该LP问题,图112是软件输出的“运算结果报告”。 文件吧)编辑C)视图插入〔)格式@)工具〔)数据@)窗口 帮助① 回 日标单元格(忌大位) 单元格名半 阴位 终苞 3利闺总顶:X0 名主 sB$4产量:甲型x1 400 SCs4产量:乙型唯x SEs4产量:丁型X4 名字单元格位 5G$7冲压Eai1 480sG57=0未到限制值40 5C§4产量:乙型鳍Ⅹ2 0sc4>=0 到达限制位 sDs4产量:丙型鳍3 70sDs4>=0 未到限制位 型健4 105E4>= 未到限制位10 〈丶川/第五章运算结里报告1{感性报告1敏感性报告 图112运算结果报告
该厂仅有一台冲压机，每天工作 8 小时，共计 480 min 可供加工使用；另有 若干条成形、装配、喷漆生产线分属各车间，除承担本厂生产任务外，还承担着 科研实验、新产品开发试制等工作，因此这些生产线每天可利用的总工时分别不 超过 2400 min、2000 min 和 3000 min。 由以上分析，可设 x1 为 A 型金属罐的日产量； x2 为 B 型金属罐的日产量； x3 为 C 型金属罐的日产量； x4 为 D 型金属罐的日产量； 并设目标函数为每天的总利润，就可建立日产品计划的线性规划模型如下： max x0 = 9x1+6x2+11x3+8x4 x1+ x2+ x3+ x4≤480 4x1+8x2+ 2x3+ 5x4≤2400 s.t. 4x1+2x2+5x3+ 5x4 ≤2000 6x1+4x2+8x3+ 4x4≤3000 x1, x2 , x3 , x4 ≥0 2．求解最优生产计划 用 Excel 软件求解该 LP 问题，图 11.2 是软件输出的“运算结果报告”。 图 11.2 运算结果报告
由图112可知,最优解为 X*=(x1,x2,x3,x4,S1,S2,S3,s4) (400,0,70,10,O,610,0,0) x0*=4450 其中s,s2,s3,s为松弛变量。由软件运行结果可知,为使总利润最大, 每天的生产计划应如下安排:A型金属罐400个,C型金属罐70个,D型金属 罐10个,不生产B型金属罐,这样日总利润可达4450元。 3.对最优解的初步分析 (1)由最优解中4个松弛变量的值S=s3=s=0,s2=610,说明冲压、装 配和喷漆3个工序可利用的加工时间全部用完,但成形工序还剩余610min时 间闲置而未被利用。 (2)图11.3是软件输出的“敏感性报告”。 回区 8文件)编辑巴)视图)插入)格式)工具()数据q) 窗口⑦)帮助0D 可变单元格 递碱旦标式允许的允许的 单元格名字 成本氰蒗增量蔽量 Bs4产量:甲型罐X1400 05016667 sCs4产量:乙型键X20-0.5 1E+30 sD4产量:丙型键X3700110.3333 sE4产量:丁型罐X4100 终開影约束允许的允许的 数价格限制位增量 Gs7冲压 TaixI4802548020 5G98成型Ea1xj1790024001E+30610 33102313100050300020 ←川人第五章人/运算结果报告1)敏咸性报告1人敏感性拒 图113敏感性报告 由图113可知,冲压时间的影子价格是25元,装配时间的影子价格是0.5 元,喷漆时间的影子价格是0.75元,其经济意义是上述3道工序资源每增加或 减少lmin,分别会使利润增加或减少2.5元、0.5元和0.75元。而成形工序的影 子价格为0,这是因成形工序有闲置的610min未被利用。由此可知冲压工序是 当前生产的关键所在,增加冲压能力将使产品总利润得到较大提高 4.敏感性分析 为便于分析,下面给出该LP问题的最优单纯型表格,见表114
由图 11.2 可知，最优解为 X* = ( x1，x2，x3，x4，s1，s2，s3，s4 )’ = ( 400，0，70，10，0，610，0，0 )’ x0 * = 4450。 其中 s1，s2，s3，s4 为松弛变量。由软件运行结果可知，为使总利润最大， 每天的生产计划应如下安排：A 型金属罐 400 个，C 型金属罐 70 个，D 型金属 罐 10 个，不生产 B 型金属罐，这样日总利润可达 4450 元。 3．对最优解的初步分析 （1）由最优解中 4 个松弛变量的值 s1 = s3 = s4 =0，s2=610，说明冲压、装 配和喷漆 3 个工序可利用的加工时间全部用完，但成形工序还剩余 610min 时 间闲置而未被利用。 （2）图 11.3 是软件输出的“敏感性报告”。 图 11.3 敏感性报告 由图 11.3 可知，冲压时间的影子价格是 2.5 元，装配时间的影子价格是 0.5 元，喷漆时间的影子价格是 0.75 元，其经济意义是上述 3 道工序资源每增加或 减少 1min，分别会使利润增加或减少 2.5 元、0.5 元和 0.75 元。而成形工序的影 子价格为 0，这是因成形工序有闲置的 610min 未被利用。由此可知冲压工序是 当前生产的关键所在，增加冲压能力将使产品总利润得到较大提高。 4．敏感性分析 为便于分析，下面给出该 LP 问题的最优单纯型表格，见表 11.4
表114最优单纯型表格 0.50 00.50.7544 400 01.50 0-10.51050.75610 0-0.50 1-0.500.5-0.2510 0-151 0-3.500.50.2570 (1)B型金属罐的投产条件分析 在当前的最优生产计划中,不安排B型金属罐的生产,但当前市场对该产 品是有需求的,若放弃B型金属罐的市场,将对企业的长期发展产生不利的影 响。这就需要分析,在什么条件下,生产B型罐才能与企业利润最大化的目标 相一致 从敏感性分析的角度考虑这一问题,其途径有以下三个:一是通过降本增效, 提髙B型金属罐的单位利润:二是改进工艺,降低B型金属罐的各工序的加工 时间,由此也必将降低B型罐的生产成本从而提高单位利润;三是设法增加某 些工序的加工能力,优化配置企业的设备资源,使B型罐得以生产。下面就从 这三个方面分别进行分析。 ①增加B型金属罐单位利润的分析 由图11.3可知,在不改变当前最优基的条件下,c2允许的增量为0.5;此 外由表11.4中x的检验数 CBB-P, 0.5 也可知,只要B型金属罐的单位利润c2再增加0.5元以上,则原解就非最优, x2将被调入基。再由表114中不难看出,调入x2后,x将被调出基(由最小比 值法),结果并不能令人满意。下面假定通过降低物料消耗或提髙价格等措施, 可将B型金属罐的单位利润由6元增加至7元,用 Excel软件重新求解,可得 新的最优解为 X*=(x1,x2,x3,x4,S1,S2,S3,s4) =(O,1333,270,76.76,0,410,0,0) x0*=4516.67 即此时新的最优生产计划将调整为:不生产A型金属罐,B、C、D型金属
表 11.4 最优单纯型表格 基 x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 s4 解 x0 0 0.5 0 0 2.5 0 0.5 0.75 4450 0 x1 1 3 0 0 5 0 -1 0 400 s2 0 1.5 0 0 -10.5 1 0.5 0.75 610 x4 0 -0.5 0 1 -0.5 0 0.5 -0.25 10 x3 0 -1.5 1 0 -3.5 0 0.5 0.25 70 （1）B 型金属罐的投产条件分析 在当前的最优生产计划中，不安排 B 型金属罐的生产，但当前市场对该产 品是有需求的，若放弃 B 型金属罐的市场，将对企业的长期发展产生不利的影 响。这就需要分析，在什么条件下，生产 B 型罐才能与企业利润最大化的目标 相一致。 从敏感性分析的角度考虑这一问题，其途径有以下三个：一是通过降本增效， 提高 B 型金属罐的单位利润；二是改进工艺，降低 B 型金属罐的各工序的加工 时间，由此也必将降低 B 型罐的生产成本从而提高单位利润；三是设法增加某 些工序的加工能力，优化配置企业的设备资源，使 B 型罐得以生产。下面就从 这三个方面分别进行分析。 ① 增加 B 型金属罐单位利润的分析 由图 11.3 可知，在不改变当前最优基的条件下，c2 允许的增量为 0.5；此 外由表 11.4 中 x2 的检验数 2 c = CBB-1 P2 - c2 = 0.5 也可知，只要 B 型金属罐的单位利润 c2 再增加 0.5 元以上，则原解就非最优， x2 将被调入基。再由表 11.4 中不难看出，调入 x2 后，x1 将被调出基（由最小比 值法），结果并不能令人满意。下面假定通过降低物料消耗或提高价格等措施， 可将 B 型金属罐的单位利润由 6 元增加至 7 元，用 Excel 软件重新求解，可得 新的最优解为 X* =( x1，x2，x3，x4，s1，s2，s3，s4 )’ = ( 0，133.33，270，76.76，0，410，0，0 )’ x0 * = 4516.67 即此时新的最优生产计划将调整为：不生产 A 型金属罐，B、C、D 型金属