19-8量子力学简介 第十九章量子物理 薛定谔（Erwin Schrodinger,. 1887~1961)奥地利物理学家， 1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学，并建立了量子 力学的近似方法. 量子力学 建立于1923~1927年间，两个等 价的理论一 矩阵力学和波动力学. 相对论量子力学(1928年，狄拉克)：描述高 速运动的粒子的波动方程
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 . 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 .
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 波函数概率密度 1)经典的波与波函数 机械波 y(x,t)=Acos 2n (vi-*) E(x,1)=Eo cos 2n (vt- 电磁波 LH(x,）=H0cos2r(M-元 经典波为实函数 y(x,t)=Re[e
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 一 波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 ( , ) cos 2π ( ) 0 x E x t E t ( , ) cos 2π ( ) 0 x H x t H t 电磁波 ( , ) cos 2π ( ) x 机械波 y x t A t ( , ) Re[ e ] i 2 π ( ) x t y x t A 经典波为实函数
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 2)量子力学波函数（复函数） 描述微观粒子运动的波函数 Ψ(x,y,2,t) E h 微观粒子的波粒二象性 V= 九= h p 自由粒子能量E和动量卫是确定的，其德布罗 意频率和波长均不变，可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长，根据不确定原理，粒子在 x方向上的位置完全不确定. 自由粒无Y玻用数c (Et -bx r
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 2）量子力学波函数（复函数） ( ) 2 π i 0 ( , ) e Et px h Ψ x t 自由粒子平面波函 数 描述微观粒子运动的波函数 Ψ(x, y,z,t) h E p h 微观粒子的波粒二象性 自由粒子能量 和动量 是确定的，其德布罗 意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不确定 . E p
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 3)波函数的统计意义 概率密度表示在某处单位体积内粒子出现的概率. w2=ww" 正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元dV中的粒子 的概率为 ΨdV=rdy 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件 ∫dV-1 (束缚态)
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子 的概率为 dV Ψ dV Ψ dV 2 * Ψ d 1 2 归一化条件 Ψ V ( 束缚态 ) 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 3）波函数的统计意义 2 * Ψ 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 正实数
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 二薛定谔方程(1925年) ◆自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平被移=”G (E-5x) 上式取x的二阶偏导数和t的一阶偏导数得 02Ψ 4元2p2 a亚 i2元 EΨ 8x2 h2 Ot h 自由粒子 ()<<C) E=Ek p2=2mEk 维运动自由粒子 62Ψ h2 h Oy 的含时薛定谔方程 8元2m 0x2 2元ot
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 二 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 ( ) 2 π i 0 ( , ) e Et px h Ψ x t 自由粒子平面波函数 上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得 Ψ h p x Ψ 2 2 2 2 2 4π EΨ t h Ψ i2π 自由粒子 (v c) E Ek k 2 p 2mE t h Ψ x Ψ m h 2π i 8π 2 2 2 2 一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 若粒子在势能为E,的势场中运动 E=Ek+Ep 一维运动粒子的含时薛定谔方程 h2∂2平 8π2mar2+E,(x,t)y-i ha乎 πat 质量为m的粒子在势场中运动的波函数乎=(x,t) ◆ 粒子在恒定势场中的运动 E,=E,(x) V(x,t)=w(x)(t)=wo(x)ei 在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 d2w .8元2m dx2 (E-E)w(x)=0 h2
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 t h Ψ E x t Ψ x Ψ m h 2π ( , ) i 8π 2 p 2 2 2 一维运动粒子的含时薛定谔方程 若粒子在势能为 Ep的势场中运动 E Ek Ep 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ Ψ(x,t) ( ) p p 粒子在恒定势场中的运动 E E x Et h Ψ x t x t x i2 π / 0 ( , ) ( ) ( ) ( )e 在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 ( ) ( ) 0 8π d d 2 p 2 2 2 E E x h m x
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 a2y,ay,ay,8π2m 十 &x2 y2 022 h2 (E-E。)w=0 2 2 2 拉普拉斯算子 &x2 定态薛定谔方程 2w 8m(E-E,w=0 h2 定态波函数 W(x,y,z)
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 ( ) 0 8π 2 p 2 2 2 2 2 2 2 E E h m x y z 在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 拉普拉斯算子 2 2 2 2 2 2 2 x y z ( ) 0 8π 2 p 2 2 E E h m 定态薛定谔方程 定态波函数 (x, y,z)
19 -81 量子力学简介 第十九章量子物理 定态波函数性质 1)能量E不随时间变化； 2)概率密度少不随时间变化. 波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的. D「Pdxdyd:=l可归一化； ayayay 2)和 连续； ax'ay'0z 3) Ψ(x,y,Z)为有限的、单值函数
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . d d d 1 , , 2 x y z 1） x y z 可归一化 ; x y z 2） 和 , , 连续 ; 3） (x, y,z) 为有限的、单值函数 . 1）能量 E 不随时间变化； 2）概率密度 不随时间变化 . 2 定态波函数性质
19-8量子力学简介 第十九章量子物理 三 一维势阱问题 Ep 00 粒子势能E,氵 满足的边界条件 0<x<a E,= Ep→o0,x≤0，x≥a a x 意义 1)是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来. 薛定谔方程 d2w,8元2mE dr2 w(x)=0 h2
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 三 一维势阱问题 Ep E x x a x a , 0, 0, 0 p 粒子势能 Ep 满足的边界条件 Ep o a x 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 . 意义 ( ) 0 8π d d 2 2 2 2 x h mE x 薛定谔方程
19 -8量子力学简介 第十九章量子物理 E。→∞，x≤0，x≥ay=0,(x≤0，x≥0) E,=0,0<x<a Ep 00 d2w,82mE w=0 dr2 h2 8n2mE k二 y+kw-0 a x h2 dr2 w(x)=Asin kx +B cos kx 波函数的标准条件：单值、有限和连续. .x=0,W=0,.B=0 w(x)=Asin kx
19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 E , x0, xa 0, (x0,xa) p 2 2 8π h mE k E 0, 0 x a p 0 8π d d 2 2 2 2 h mE x 0 d d 2 2 2 k x ( x) Asin kx B cos kx 波函数的标准条件：单值、有限和连续 . x 0, 0, B 0 (x) Asin kx Ep o a x