第4章正弦交流电路 4,1正弦量的基本概念 4.2正弦量的相量表示法 43电容元件和电感元件 44三种元件伏安特性的相量形式 4.5基尔霍夫定律的相量形式 4.6RLC串联电路 4.7RLC并联电路 4.8用相量法分析正弦交流电路 49正弦交流电路中的功率 4.10正弦交流电路中的最大功率 4.11串联谐振 4.13三相正弦电路 小结 BACK
第4章 正弦交流电路 4.1 正弦量的基本概念 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电容元件和电感元件 4.4 三种元件伏安特性的相量形式 4.5 基尔霍夫定律的相量形式 4.6 RLC串联电路 4.7 RLC并联电路 4.8 用相量法分析正弦交流电路 4.9 正弦交流电路中的功率 4.10 正弦交流电路中的最大功率 4.11 串联谐振 4.13 三相正弦电路 小结
4.1正弦量的基本概念 4.1.1正弦量的三要素 以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的 般解析函数式为 (o=Im sin(ot+o) (4--1) 1.瞬时值和振幅值 交流量仼一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值(指绝对值) 称为正弦量的振幅值,又称峰值。l、Um分别表示正弦电流、电压 的振幅值 ot 0 图4.1正弦量的波形图
4.1 正弦量的基本概念 0 T t t 2 i i I m 4.1.1正弦量的三要素 以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的 一般解析函数式为 i(t)=I m sin(ωt+φ) (4——1) 1. 交流量任一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值(指绝对值) 称为正弦量的振幅值，又称峰值。Im、Um分别表示正弦电流、电压 的振幅值。 图 4.1 正弦量的波形图
2周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T表示, 单位为秒(s)。实用单位有毫秒(ms)、微秒(μs)、纳秒(ns)。正弦 量每秒钟变化的周数称为频率,用“P表示,单位为赫兹(Hz) 周期和频率互成倒数,即 3相位、角频率和初相 正弦量解析式中的o+称为相位角或电工角,简称相位或相 角。正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,因而有着不同的状 态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。 相位角变化的速度 d(ot +9 dt 称为角频率,其单位为rad/s或l/s。相位变化2πrad,经历 个周期T,那么 2丌
2.周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。 通常用“T”表示， 单位为秒(s)。 实用单位有毫秒(ms)、 微秒(μs)、 纳秒(ns)。 正弦 量每秒钟变化的周数称为频率， 用“f”表示， 单位为赫兹(Hz)。 周期和频率互成倒数，即 3. 相位、 角频率和初相 正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角或电工角，简称相位或相 角。 正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，因而有着不同的状 态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。 相位角变化的速度 T f 1 = = + dt d( t ) 称为角频率， 其单位为rad/s或1/s。 相位变化2πrad， 经历一 个周期T， 那么 f T 2 2 = =
由式(4-2)可见,角频率是一个与频率成正比的常数。 i(t)=Im sin( 2ryf +)=Im sin( t+o) 1=0时,相位为φ,称其为正弦量的初相。此时的瞬时值 i(0)= Im sing,称为初始值。如图42所示 i(oFl sin(@ 1+2) iFIm sina t i(oFl sin(o t-2) 图42计时起点的选择 当o=0时,正弦波的零点就是计时起点,如图42(a所示;当 0>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于=0的图44例 41图波形左移@角,如图42(b)所示;当q<0,正弦波零点在计时起 点之右,其波形相对于=0的波形右移角,如图4,2(c)所示
t=0时， 相位为φ， 称其为正弦量的初相。此时的瞬时值 i(0)=I m sinφ， 称为初始值。 如图4.2所示。 由式(4—2)可见，角频率是一个与频率成正比的常数。 sin( 2 ) sin( ) 2 ( ) = f + = t + T i t I m I m i I m 0 t t t t t 0 t 0 I m I m i i 6 i(t)=I m sin t i(t)=I m sin( t+ ) 6 i(t)=I m sin( t－ ) 6 6 (a) (b) (c) 图 4.2 计时起点的选择 当φ=0时， 正弦波的零点就是计时起点，如图4.2(a)所示；当 φ>0， 正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于φ=0 的图 4.4例 4.1图 波形左移φ角，如图4.2(b)所示；当φ<0， 正弦波零点在计时起 点之右， 其波形相对于φ=0的波形右移|φ|角，如图4.2(c)所示
以上确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点 在图43中,确定q角的零点是A点而不是B点,=-120°而不是 240 图43初相的规定 例4.1图4.5给出正弦电压l和正弦电流a的波形 (1)写出uab和a的解析式并求出它们在t=100ms时的值。 (2)写出ia的解析式并求出t=100ms时的值 解由波形可知a和ia的最大值分别为300mV和5mA,频率 都为1kHz,角频率为2000πrad/s,初相分别为和 们的解析式分别为
例 4.1 图4.5给出正弦电压u ab 和正弦电流iab的波形。 (1) 写出uab 和iab 的解析式并求出它们在t=100 ms时的值。 (2) 写出iba的解析式并求出t=100ms时的值。 解 由波形可知uab和iab的最大值分别为300mV和5 mA， 频率 都为1 kHz， 角频率为2000π rad/s ， 初相分别为 和， ， 它 们的解析式分别为 以上确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点。 在图4.3中，确定φ角的零点是A点而不是B点， φ=―120 °而不是 240°。 i ′ 0 B A t 图 4.3 初相的规定 6 3
Lab=300sm(2000+)mV,tia()=5sm(200)my (1)=100ms时,uab、iat分别为 L24(0.)=3005m(2000×0.1+)=300sm /=-150mk Zlb(0.1)=5sm(2000x×01-2 )=sin 4.33mA 3 (2)Lin(1)=-iab=5sm(2000n +x)=5sm(2000m+ 2兀)mA 0(0.)=5sm 2兀)=4.3m4 412相位差 1.相位差 两个同频率的正弦量 l1(=U/1mSin(O计+g1) u2 (t=U2m sin(at+o 2)
4.1.2 1. 相位差 两个同频率的正弦量 u 1 (t)=U 1m sin(ωt+φ1 ) u 2 (t)=U 2m sin(ωt+φ 2 ) t mV t t mV ua b ia b 300sin( 2000 ) , ( ) 5sin( 2000 ) 6 3 = + = (1) t=100 ms时， u ab 、 i ab分别为 = − = = − = + = = m m V u u a b a b (0.1) 5sin( 2000 0.1 ) 5sin 4.33 (0.1) 300sin( 2000 0.1 ) 300sin 150 3 3 6 6 t t t mA ib a ia b ( ) sin( 2000 ) sin( 2000 ) 3 2 5 3 5 （ = − = − + = + 2） mA ib a 4.33 3 2 (0.1) = 5 sin( ) =
之间相位之差称为相位差,用@或带双下标表示 12=0t+p1)-(ot+p2)=q1-0 对于 u(t)=Umsin(at+pu) i(t=Im sin(at+pi) 电压u与电流相位差 (或pu)=0u-01 当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间的初相也 随之改变,但二者的相位差却保持不变 2.相位差的几种情况 3.参考正弦的概念
之间相位之差称为相位差，用φ或φ带双下标表示 φ12 =(ωt+φ 1 )―(ωt+φ2 )= φ1 ―φ2 u(t)=Umsin(ωt+φu ) i(t)=Im sin(ωt+φi ) 电压u与电流i φ(或φ ui)= φu ―φi 当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间的初相也 随之改变， 但二者的相位差却保持不变。 2. 相位差的几种情况 3. 参考正弦的概念
图4.5相位差的几种情况 例42求两个正弦电流i1(t)=-141sin(ot-120°), i2(t)=7.05c0s(0-60°)的相位差12 解把1和2写成标准的解析式,求出二者的初相,再求出相位差 i1(1)=14.1sn(ot-120+180)=14.1sn(ot+60)A ()=7.05sm(ot-60+90)=7.05smn(ot+30)A 则 1=60q2=30 12=01-02=60-30=30
(a) (b) (c) (d) 0 t 0 t 0 t 0 t i i u u u u1 u2 i i 2 i 1 u i i u u i 1 2 1 2 2 图 4.5 相位差的几种情况 例 4.2 求两个正弦电流i 1 (t)=―14.1 sin(ωt―120°)， i 2 (t)=7.05 cos(ωt―60°)的相位差φ12。 解 把i 1和i 2写成标准的解析式， 求出二者的初相， 再求出相位差。 = − + = + = − + = + ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) 7.05 60 90 7.05 30 14.1 120 180 14.1 60 0 0 0 2 0 0 0 1 t t t t t t i i 60 30 30 60 30 0 0 0 0 2 0 1 , = − = − = = = φ φ φ φ φ 12 1 2 则
例43三个正弦电压uA()=31lin314/V, l()=31lsin(314+2兀/3)V,uc(1)=31lsin(314-273)V,若以l 为参考正弦量,写出三个正弦电压的解析式。 解先求出三个正弦量的相位差,由已知得 9=0-(2z)=2z 2z、24兀+2兀 2丌 2兀-0 2丌 以为参考正弦量,它们的解析式为 L2(t)=31lmn314 L4(t)=31lsm(3141+-,) 2丌 Ll()=3llsn(314+2
例4.3三个正弦电压uA(t)=311sin314tV， uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V， uC(t)=311sin(314t―2π/3) V， 若以 uB 为参考正弦量，写出三个正弦电压的解析式。 解 先求出三个正弦量的相位差，由已知得 3 2 0 3 2 3 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 0 ( ) ( ) = − = = − − = − + = = − − = CA BC AB 以uB为参考正弦量，它们的解析式为 t t V t t V t tV u u u C A B ) 3 2 ( ) 311sin( 314 ) 3 2 ( ) 311sin( 314 ( ) 311sin 314 = + = + =
4.1.3正弦量的有效值 交流电的有效值是根据它的热效应确定的。如某一交流电流 和一直流电流分别通过同一电阻R,在一个周期T内所产生的热量 相等,那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值 由此得出 ⅠRT=i(o)Rt 所以,交流电流的有效值为 (4-3) 同理,交流电压的有效值为 U T Jo u(ndt (4-4) 对于正弦交流电流 (t)=m sin( at+o) 代入式(4--3),它的有效值为
4.1.3正弦量的有效值 交流电的有效值是根据它的热效应确定的。 如某一交流电流 和一直流电流分别通过同一电阻R, 在一个周期T内所产生的热量 相等， 那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。 由此得出 t dt t dt t dt T T T u T U i T I I RT i R ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 0 2 2 1 1 = = = 所以， 交流电流的有效值为 同理， 交流电压的有效值为 对于正弦交流电流 (t) = sin(t +) i I m (4——3) (4—4) 代入式(4——3)，它的有效值为