第6章非正弦周期信号电路 6.1非正弦周期信号及分解 46.2非正弦周期信号的频谱 46.3非正弦周期信号的有效值、 +平均值和平均功率 46.4非正弦周期电路的计算 4小结 BACK
第6章 非正弦周期信号电路 6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算 小 结
61非正弦周期信号及分解 6.1.1非正弦周期信号 几种常见的非正弦波 ∠11 图61几种常见的非正弦波 (a)尖脉冲电流;(b)矩形波电压;(c)锯齿波电压
6.1 非正弦周期信号及分解 6.1.1 非正弦周期信号 几种常见的非正弦波 图6.1 （a） 尖脉冲电流； （b） 矩形波电压; （c） 锯齿波电压 i 0 T t (a) u 0 T t (b) u 0 T t (c)
6.1.2非正弦周期信号的分解 在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频率 的正弦波的合成。设有一个正弦电压=U1 sinat,其波形如图 62(a)所示。显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。如果在 这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是u1的3倍,而振幅 为u1的1/3,则表示式为 u2=Um sin at +UIm sin 3at 其波形如图62(b)所示。如果再加上第三个正弦电压波形,其 频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为 u=0 sin ot +=U sin 3ot s Im sin 5at 其波形如图62(c)所示。照这样继续下去,如果叠加的正弦项 是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图62(d)的矩形波一样
6.1.2 非正弦周期信号的分解 在介绍非正弦周期信号的分解之前, 我们先讨论几个不同频率 的正弦波的合成。设有一个正弦电压u1=U1msinωt,其波形如图 6.2（a）所示。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。 如果在 这个波形上面加上第二个正弦电压波形, 其频率是u1的3倍, 而振幅 为u1的1/3,则表示式为 u U t U t m m sin 3 3 1 2 = 1 sin + 1 其波形如图6.2（b）所示。 如果再加上第三个正弦电压波形, 其 频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为 u U t U t U t m m m sin 5 5 1 sin 3 3 1 3 = 1 sin + 1 + 1 其波形如图6.2（c）所示。 照这样继续下去, 如果叠加的正弦项 是无穷多个, 那么它们的合成波形就会与图6.2（d）的矩形波一样
(a) (d) 图62矩形波的合成 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的 周期波。反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的 正弦波之和
(a) t u1 0 (b) t u2 0 (c) t u3 0 (d) t u 0 图6.2 矩形波的合成 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的 周期波。 反之, 一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的 正弦波之和
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利 条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数。电工技术 中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数 f(t)的周期为T角频率ω=2x/T,则f(t)的付里叶级数展开式 为 f(t)=A+ Am sin( at +o1)+ Am sin( 2at+2)+ +Akm sin( kot+r)+ 4+∑4msn(kat+9) (6-1) 利用三角函数公式,还可以把式(6—1)写成另一种形式 f(t=ao+(a, cos at+b, sn at)+(a, cos 2@t +b, sn 2at)+ +(ar cos kat+b, sin kot)+ a+∑(a1 cos kot+ bk sin ka (6-2) k=1
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利 条件, 那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数。电工技术 中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数 f（t）的周期为T, 角频率ω＝2π/T, 则 f（t）的付里叶级数展开式 为 = = + + + + + = + + + + + 1 0 0 1 1 2 2 sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( 2 ) k km k km k m m A A k t A k t f t A A t A t （6 — 1） 利用三角函数公式, 还可以把式（6 — 1）写成另一种形式: = = + + + + + = + + + + + 1 0 0 1 1 2 2 ( cos sin ) ( cos sin ) ( ) ( cos sin ) ( cos2 sin 2 ) k k k k k a a k t b k t a k t b k t f t a a t b t a t b t （6 — 2）
式中,ao2a,b称为付里叶系数可由下列积分求得 7Jo/(Odt=Ir2m f(td(at) 2丌 f(t)cos kott f(tcos kotd(ot) 2丌 f(tsin kotdi f(tsin katd(at) 式(6-1)和式(6-2)各系数之间存在如下关系 Ao 6-4 k= arctan k
式中, a0 , ak , bk称为付里叶系数,可由下列积分求得: = = = = = = 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ( )sin ( ) 1 ( )sin 2 ( )cos ( ) 1 ( )cos 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 f t k tdt f t k t d t T b f t k tdt f t k t d t T a f t dt f t d t T a T k T k T (6 — 3) k k k km k k b a A a b A a arctan 2 2 0 0 = = + = 式（6 — 1）和式（6 — 2）各系数之间存在如下关系: (6 — 4)
mSⅢyn (6-5) 例6.,1已知矩形周期电压的波形如图6.3所示。求u(t)的付 里叶级数。 解图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 Un(0≤t≤ l() 图6.3例6.1图 t<T) 2 由式(63)可知 2丌 u(t)d(at) 2丌
例 6.1 已知矩形周期电压的波形如图6.3所示。 求u（t）的付 里叶级数。 解 图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 k km k k km k b A a A cos sin = = (6 — 5) 图 6.3 例 6.1 图 t u 0 Um －Um T T 2 ) 2 ( ( ) ) 2 (0 t T T U u t T U t m t m − = 由式（6—3）可知: ( ) ( ) 2 1 2 0 0 = a u t d t
[Unl(m)+-n4(on)]=0 丌 u(t)cos katd(ot) nT Jo (m cos katd(ot)+ Um coS katd(at) sin kot sin kot=c k k 丌 u(t)sin katd(ot) 丌0 2丌 Um sin katd(at )+ JO U sin kotd(at)
( ) ( ) 0 2 1 2 0 0 = + − = U d t U d t m m = + − = = − = = + − = sin ( ) sin ( ) 1 ( )sin ( ) 1 sin sin 0 cos ( ) 1 cos ( ) 1 ( )cos ( ) 1 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 U k t d t U k t d t b u t k t d t k t k U k t k U U k t d t U k t d t a u t k t d t m m k m m m m k
20 20 sinkotd(at)==mI cos kot k 20 (1-cosk丌) kT 当k为奇数时,Cosk丌=-1,b kn 当k为偶数时,COsk丌=1,bk 40 由此可得()=-n(snot+2sin3ot+sin5ot+ + sin kot+…)(k为奇数) k
(1 cos ) 2 cos 2 sin ( ) 2 0 0 k k U k t k U k t d t U m m m = − = = − cos 1, 0 4 cos 1, = = = − = k m k k b k U k b 当k为奇数时, 当k为偶数时, 由此可得 k t k为奇数） k t t t U u t m sin ) ( 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) + + = + + +
例62求图64所示周期信号的付里叶级数展开式 解i()在一个周期内的表示式为 i(t) ≤t≤ 2 2 i(t)at 0 2 tdt 图64例6.2图 r tdt+tdt=0 4Ⅰ )cos kotdi tcos kott 0
例 6.2 求图6.4所示周期信号的付里叶级数展开式。 解 i (t)在一个周期内的表示式为 t i(t) 0 I m － T 2 T 2 图 6.4 例 6.2 图 − − − = = = = + = = = − 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 cos 4 ( )cos 2 0 2 2 ( ) 1 ) 2 2 ( 2 ( ) T T m T k T T m T T m T m t k tdt T I i t k tdt T a tdt tdt T I tdt T I i t dt T a T t T t T I i t