第7章动态电路的时域分析 71换路定律及初始值的计算蕌 秦72一阶电路的零输入响应 73一阶电路的零状态响应 秦7.4一阶电路的的全响应 75一阶电路的三要素 76二阶电路分析 秦小结 BACK
第7章 动态电路的时域分析 7.1 换路定律及初始值的计算 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的的全响应 7.5 一阶电路的三要素 7.6 二阶电路分析 小结
蕌7.换路定律及初始值的计算蕌 7.1.1过渡过程的概念 当开关S闭合时,电阻支路的灯 泡立即发亮,而且亮度始终不变,说 明电阻支路在开关闭合后没有经历U 过渡过程,立即进入稳定状态。电 感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮 图7.1实验电路然后逐渐变亮,最后 亮度稳定不再变化 图7.1实验电路 电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮然后逐渐变暗直至熄 灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡 达到最后稳定,都要经历一段过渡过程。一般说来,电路从一种 稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过 程。实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过 程,简称暂态
7.1 换路定律及初始值的计算 7.1.1 过渡过程的概念 当开关S闭合时,电阻支路的灯 泡立即发亮,而且亮度始终不变,说 明电阻支路在开关闭合后没有经历 过渡过程,立即进入稳定状态。电 感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮, 图7.1实验电路然后逐渐变亮,最后 亮度稳定不再变化。 电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄 灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡 达到最后稳定，都要经历一段过渡过程。一般说来,电路从一种 稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路 的过渡过 程。实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过 程,简称暂态。 R C L ＋ － US S(t＝0) 图7.1 实验电路
含有储能元件L、C(或称动态元件)的电路在换路时通常都 要产生过渡过程。 7.1.2换路定律及初始值的计算 1.换路及换路定律 i4(0+)=i2(0) 2.求独立初始值 (1)作0等效电路,求出l(0)和(0)蕌 (2)根据换路定律确定出uc(0-)及i(O-)。蕌 3.相关初始值计算 (1)用电压为uC(04)的电压源和电流为a1(04)的电流源取代 原电路中C和L的位置,可得=0等效电路;蕌 (2)以=0等效电路求出相关初始值。蕌
含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换路时通常都 要产生过渡过程。 7.1.2 换路定律及初始值的计算 1. 换路及换路定律 (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) L L C C i i u u (7——1) 2. 求独立初始值 (1) 作t=0-等效电路,求出uC(0—)和 iL (0—); (2) 根据换路定律确定出uC(0+ )及 iL (0+ )。 3. 相关初始值计算 (1)用电压为uC(0+ )的电压源和电流为 iL (0+ )的电流源取代 原电路中C和L的位置,可得t=0+等效电路; (2)以t=0+等效电路求出相关初始值。
例71图72(a)所示电路中,已知Us=18V, R1=192,R2=29,R3=39,L=0.5H,C=47μuF,一开关S在0时合上 设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、l1(+)、 (0+) 解第一步,作仁=0_等效电路如图7.2(b)所示,这时电感相当 于短路,电容相当于开路。蕌第二步,根据0等效电路计算换路 前的电感电流和电容电压 RI i1(0+) IL 4(0)y40 S(t=0) (0.) A 图72例7.1图
例7.1 图7.2（a）所示电路中,已知US=18V, R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, L=0.5H, C=4.7μF, －开关S在t=0时合上, 设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+ )、i2(0+ )、i3(0+ )、uL (0+ )、 uC(0+ )。 解 第一步,作t=0—等效电路如图7.2（b）所示,这时电感相当 于短路,电容相当于开路。第二步,根据 t=0—等效电路,计算换路 前的电感电流和电容电压: L C R ＋ 3 － US S(t＝0) R2 ＋ － uC ＋ － uL R1 i1 iL i2 ＋ － US iL (0－ ) R2 R3 uC (0－ ) ＋ － US iL (0＋ ) R2 R3 i2 (0＋ ) i1 (0＋) ＋ － uL (0＋) 6 A ＋ － 12 V (a) (b) (c) R1 ＋ － 图7.2 例7.1图
i2(0) 18 =6A R1+R21+2 l(0)=R2i(0)=2×6=121 根据换路定律,可得 (0+)=i1(0)=6A l(2(0)=l(0)=12 第三步,作=0等效电路如图72(c)所示这时电感L相当于 个12A的电流源电容C相当于一个12V的电压源。蕌 第四步,根据仁=0等效电路,计算其它的相关初始值 3(0,) Us-l2(04)18-12 2A (0+)=i1(0+)+2(0)=6+2=8A l(04)=Us-R212(04)=18-2×6=6
第三步,作t=0+等效电路如图7.2（c）所示,这时电感L相当于一 个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。 第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值: u u V i i u R i V R R U i C C L L C L S L (0 ) (0 ) 12 (0 ) (0 ) 6 (0 ) (0 ) 2 6 12 6 1 2 18 (0 ) 2 1 2 根据换路定律,可得 u U R i V i i i R U u i L S L L S c (0 ) (0 ) 18 2 6 6 (0 ) (0 ) (0 ) 6 2 8 2 3 (0 ) 18 12 (0 ) 2 1 2 3 3
例72图73(a)所示电路在t0时换路,即开关S由位置合到 位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值 i1(04)、i2(04)和1(0)。蕌 解(1)作=0等效电路如图7.3(b)所示。则有 i1(0+)=i1(0) 3A R13 S(t=0)3g R i(0→)R1 i2(0 R2 (0) R 6Ω H 图73例72图
例7.2 图7.3（a）所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到 位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值 i1(0+ )、i2(0+ )和uL (0+ )。 解 (1）作t=0—等效电路如图7.3（b）所示。则有 3 3 9 (0 ) (0 ) R1 U i i S L L ＋ － 9 V 1 2 i 1 S(t＝0) R2 R1 i 2 6 ＋ － u L L 1 H i L R1 ＋ － US i L (0－) i R1 1 (0＋ ) i 2 (0＋) R2 3A ＋ － u L (0 ＋ ) (a) (b) (c) 3 图7.3 例7.2图
(2)作1=0等效电路如图73(c)所示。由此可得 R i2(04) ×3=2A R1+R2 3+6 i2(0+)=1(0)-12(0)=2-3=-1A l(0)=R2(04)=6×(-1)=-6 例73如图74(a)所示电路,=0时刻开关S闭合换路前电路 无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。蕌 R R R+,0 (0 Q (0 1(0 uc ic(02 (b) 图74例73图V
例7.3 如图7.4（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合,换路前电路 无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。 （2）作t=0+等效电路如图7.3（c）所示。由此可得 u R i V i i i i R R R i L L L (0 ) (0 ) 6 ( 1) 6 (0 ) (0 ) (0 ) 2 3 1 3 2 3 6 6 (0 ) (0 ) 2 2 2 1 1 2 2 1 ＋ － 10V i C R3 6 ＋ － 4 uR 1 R1 － ＋ ＋ 3 － R2 i L ＋ － u L uR 2 S(t＝0) i ＋ － 10 V i C (0＋ ) 6 ＋ － 4 uR 1 － ＋ ＋ 3 － u L (0 ＋ ) i(0＋ ) (0＋ ) uR 2 (0＋ ) u R 3 (0 ＋ ) ＋ － (a) (b) uR 3 C ＋ － uC L R1 R2 R3 图7.4 例7.3图 V
解(1)根据题中所给定条件换路前电路无储能,故得出 lC(0,)=lc(0)=0 (0+)=i2(0)=0 (2)作0等效电路如图74(b)所示这时电容相当于 短路,电感相当于开路。则有 i(0)=c(0+) IA 4+6 l2(0+)=R(04)=4×1 l2(O4)=R(04)=6×1=6 l2(04)=0 l1(0,)=u2(0,)=6作业:P224页71 BACK
解 （1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出 (0 ) (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0 L L C C i i u u （2）作t=0+等效电路如图7.4（b）所示,这时电容相当于 短路,电感相当于开路。则有 u u V u u R i V u R i V i i L R R R C R C (0 ) (0 ) 6 (0 ) 0 (0 ) (0 ) 6 1 6 (0 ) (0 ) 4 1 4 1 4 6 10 (0 ) (0 ) 3 2 3 1 3 1 作业：P224页 7.1
72一阶电路的零输入响应 72.1RC电路的零输入响应 RC电路的零输入响应的数学分析 根据图76所示电路电压、电流的参考方向,依KⅥL,有 0(t≥0) 将 Ri d(式中负号是 RuR 因为电容电压和电流参考方向不一致)将 其代入上式可得 图76RC电路的零输入响应 RC=+lc=0(t≥0) (7-2)
7.2 一阶电路的零输入响应 7.2.1 RC电路的零输入响应 1. RC电路的零输入响应 的数学分析 根据图7.6所示电路电压、电流的参考方向,依KVL,有 S(t＝0) ＋ － u R R ＋ － u C C i 图7.6 RC电路的零输入响应 u u 0 (t 0) C R 将 （式中负号是 因为电容电压和电流参考方向不一致）,将 其代入上式可得 dt du u Ri i C C R , u 0 (t 0) dt du RC C C (7—2)
式(7-2)是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学 知识可知其通解形式为=Aep。其中,常数p是特征方程的根,A为 待定的积分常数。式(7-2)的特征方程可将=Aen代入而得 RCp+1=0 特征根为 RC 所以 u.= Ae 将初始条件4(04)=U代入上式可得A=U则 t≥0 (7—3) 式(7-3)就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时 间变化规律的表达式。蕌
式（7—2）是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学 知识可知其通解形式为uC=Ae pt。其中,常数p是特征方程的根,A为 待定的积分常数。式（7—2）的特征方程可将uC=Aept代入而得 RC uC Ae RC p RCp 1 1 1 0 特征根为 所以 将初始条件uC(0+ )=Uo代入上式,可得A=Uo ,则 ( ) ( 0) 1 u t U e t RC C o （7—3） 式（7—3）就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时 间变化规律的表达式。