第六章概率与概率分布 第一节概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系(事件和、事件积、事件的包含与相 等、互斥事件、对立事件、互相独立事件)·先验概率与古典法·经验概率与频 率法 第二节概率的数学性质 概率的数学性质(非负性、加法规则、乘法规则)·排列与样本点的计数·运 用概率方法进行统计推断的前提 第三节概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率 分布·分布函数·数学期望与变异数 、填空 1.用古典法求算概率.在应用上有两个缺点:①它只适用于有限样本点的情况:②它 假设( 2.分布函数F(x)和P(x)或9(x)的关系,就像向上累计频数和频率的关系一样。所 不同的是,F(x)累计的是( 3.如果A和B( ),总合有P(A/B)=P(B/A)=0。 )和( )为抽样推断提供了主要理论依据。 5.抽样推断中,判断一个样本估计量是否优良的标准是( 6.抽样设计的主要标准有( )和( 在抽样中,遵守 )是计算抽样误差的先决条件 8.抽样平均误差和总体标志变动的大小成( ),与样本容量的平方根成 )。如果其他条件不变,抽样平均误差要减小到原来的1/4,则样本容量应 9.若事件A和事件B不能同时发生,则称A和B是 )事件。 10.在一副扑克牌中单独抽取一次,抽到一张红桃或爱司的概率是( ):在一副 扑克牌中单独抽取一次,抽到一张红桃且爱司的概率是( 二、单项选择 1.古典概率的特点应为( A基本事件是有限个,并且是等可能的 B基本事件是无限个,并且是等可能的
1 第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相 等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频 率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运 用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率 分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它 假设（ ）。 2．分布函数 F(x) 和 P(x) 或 (x) 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所 不同的是， F(x) 累计的是（ ）。 3．如果 A 和 B（ ），总合有 P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。 4．（ ）和（ ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ ）、（ ）、 （ ）。 6．抽样设计的主要标准有（ ）和（ ）。 7．在抽样中，遵守（ ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ ），与样本容量的平方根成 （ ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的 1/4，则样本容量应（ ）。 9．若事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 A 和 B 是（ ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ ）；在一副 扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（ ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的；
C基本事件是有限个,但可以是具有不同的可能性; D基本事件是无限的,但可以是具有不同的可能性 2.随机试验所有可能出现的结果,称为( A基本事件 B样本 C全部事件 D样本空间。 3.以等可能性为基础的概率是( ) A古典概率; B经验概率 C试验概率; D主观概率 4.任一随机事件出现的概率为( A在-1与1之间 B小于0 C不小于1 D在0与1之间 5.若P(A)=0.2,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,则P(A∩B)=( A0.8B0.08C0.12D0.24 6.若A与B是任意的两个事件,且P(AB)=P(A)中(B),则可称事件A与B A等价B互不相容C相互独立D相互对立 7.若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8,则(X+Y)的标准差 为( A7B10C14D无法计算。 8.抽样调查中,无法消除的误差是( A登记性误差B系统性误差C随机误差D责任心误差 9.对于变异数D(1),下面数学表达错误的是( A D(X=E(X)-u B D(X=EICX-u) C D(X=E(X-IE(X] 10.如果在事件A和事件B存在包含关系AcB的同时,又存在两事件的反向包含关系 AB,则称事件A与事件B( A相等B互斥C对立D互相独立 多项选择 1.数学期望的基本性质有( A E(c)=c B E(CX)=CE(X) C E(X+Y=E(X)+E(Y) D E(XY=E(X).E(Y 2.概率密度曲线( A位于Ⅹ轴的上方 B位于X轴的下方 C与X轴之间的面积为0D与X轴之间的面积为1 E与X轴之间的面积不定 3.重复抽样的特点是( 2
2 C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（ ）。 A 基本事件； B 样本； C 全部事件； D 样本空间。 3．以等可能性为基础的概率是（ ）。 A 古典概率； B 经验概率； C 试验概率； D 主观概率。 4．任一随机事件出现的概率为（ ）。 A 在–1 与 1 之间； B 小于 0； C 不小于 1； D 在 0 与 1 之间。 5．若 P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则 P(A B) ＝（ ）。 A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 6．若 A 与 B 是任意的两个事件，且 P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件 A 与 B（ ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 7．若两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的标准差分别为 6 与 8，则（X＋Y）的标准差 为（ ）。 A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 8．抽样调查中，无法消除的误差是（ ）。 A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差 9． 对于变异数 D(X)，下面数学表达错误的是（ ）。 A D(X)＝E(X 2 )―μ2 B D(X)＝E[(X―μ) 2 ] C D(X)＝E(X 2 )―[E (X) ] 2 D D(X)＝σ 10．如果在事件 A 和事件 B 存在包含关系 A B 的同时，又存在两事件的反向包含关系 A B，则称事件 A 与事件 B（ ） A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 三、多项选择 1．数学期望的基本性质有( ) A E(c)＝c B E(cX)＝c 2E(X) C E (X + Y)＝E(X) + E(Y) D E(XY)＝E(X)·E(Y) 2．概率密度曲线（ ）。 A 位于 X 轴的上方 B 位于 X 轴的下方 C 与 X 轴之间的面积为 0 D 与 X 轴之间的面积为 1 E 与 X 轴之间的面积不定。 3．重复抽样的特点是（ ）
A每次抽选时,总体单位数始终不变 B每次抽选时,总体单位数逐渐减少 C各单位被抽中的机会在每次抽选中相等 D各单位被抽中的机会在每次抽选中不等 E各次抽选相互独立 4.对于抽样误差,下面正确的说法是( A抽样误差是随机变量 B抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差; C抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差 D抽样误差是违反随机原则而产生的偏差 E抽样平均误差其值越小,表明估计的精度越高。 关于频率和概率,下面正确的说法是( A.频率的大小在0与1之间 B.概率的大小在0与1之间: C.就某一随机事件来讲,其发生的频率是唯一的: D.就某一随机事件来讲,其发生的概率是唯一的 E.频率分布有对应的频数分布,概率分布则没有。 6.随机试验必须符合以下几个条件( A.它可以在相同条件下重复进行 B.每次试验只出现这些可能结果中的一个 C.预先要能断定出现哪个结果; D.试验的所有结果事先已知 E.预先要能知道哪个结果出现的概率 四、名词解释 1.数学期望 2.对立事件 3.随机事件 4.事件和 5.事件积 6.互斥事件 7.互相独立事件8.先验概率 9.经验概率 五、判断题 1.对于连续型随机变量,讨论某一点取值的概率是没有意义的 2.把随机现象的全部结果及其概率,或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来 就可以称作概率分布。 3.社会现象是人类有意识参与的后果,这一点只是改变概率的应用条件,并不改变社 会现象的随机性质 4.在社会现象中,即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果,这就提供了概率 论应用的可能性 5.抽样的随机原则就是指客观现象的随机性 6.样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 7.样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 8.样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比 )))) 9.重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差
3 A 每次抽选时，总体单位数始终不变； B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。 4．对于抽样误差，下面正确的说法是（ ）。 A 抽样误差是随机变量； B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差； C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差； D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差； E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。 5．关于频率和概率，下面正确的说法是（ ）。 A．频率的大小在 0 与 1 之间； B．概率的大小在 0 与 1 之间； C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的； D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 6．随机试验必须符合以下几个条件（ ）。 A．它可以在相同条件下重复进行； B．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C．预先要能断定出现哪个结果； D．试验的所有结果事先已知； E．预先要能知道哪个结果出现的概率。 四、名词解释 1． 数学期望 2．对立事件 3．.随机事件 4． 事件和 5．事件积 6．互斥事件 7． 互相独立事件 8．先验概率 9．经验概率 五、判断题 1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ ） 2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来， 就可以称作概率分布。 （ ） 3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社 会现象的随机性质。 （ ） 4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率 论应用的可能性。 （ ） 5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ ） 6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 （ ） 7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 （ ） 8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。 （ ） 9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。 （ ）
10.抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 l].当样本容量n无限增大时,样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋 于零 12.所谓抽样分布,就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布 六、计算题 1.某系共有学生100名,其中来自广东省的有25名:来自广西省的有10名。问任意 抽取一名学生,来自两广的概率是多少? 2.为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响,某大学统计出学生中,父亲具有大 学文化程度的占30%,母亲具有大学文化程度的占20%,而父母双方都具有大学文化程度 的占10%。问学生中任抽一名,其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少? 22 3.根据统计结果,男婴出生的概率为二二:女婴出生的概率为二。某单位有两名孕妇, 问两名孕妇都生男婴的概率是多少? 4.根据统计,由出生活到60岁的概率为0.8,活到70岁的概率为04。问现年60岁 的人活到70岁的概率是多少? 5.根据统计结果,男要出生的概率为43:女要出生的概率为43某单位有两名孕妇, 求这两名孕妇生女婴数的概率分布 6.一家人寿保险公司在投保50万元的保单中,每千名每年由15个理赔,若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为200年,试求每一保单的保费 7.位对全单位订报纸情况进行了统计,其中订《人民日报》的有45%,订《扬子晚报》 的有60%,两种报纸都订的有30%试求以下概率 1)只订《人民日报》的 2)至少订以上一种报纸的: 3)只订以上一种报纸的 4)以上两种报纸都不订的。 8.根据某市职业代际流动的统计,服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07,静 止不流动的概率为0.85,求服务性行业的代际向上流动的概率是多少? 9.消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查,发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219:出于异族文化的吸引占0.509;而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览 名胜或为异族文化吸引的概率是多少? 10.根据生命表,年龄为60岁的人,可望活到下年的概率为P=0.95;设某单位年龄 为60岁的人共有10人,问:(1)其中有9人活到下年的概率为多少?(2)至少有9人活
4 10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 （ ） 11．当样本容量 n 无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋 于零。 （ ） 12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。 （ ） 六、计算题 1．某系共有学生 100 名，其中来自广东省的有 25 名；来自广西省的有 10 名。问任意 抽取一名学生，来自两广的概率是多少？ 2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大 学文化程度的占 30％，母亲具有大学文化程度的占 20％，而父母双方都具有大学文化程度 的占 10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 3．根据统计结果，男婴出生的概率为 43 22 ；女婴出生的概率为 43 21 。某单位有两名孕妇， 问两名孕妇都生男婴的概率是多少？ 4．根据统计，由出生活到 60 岁的概率为 0.8，活到 70 岁的概率为 0.4。问现年 60 岁 的人活到 70 岁的概率是多少？ 5．根据统计结果，男婴出生的概率为 43 22 ；女婴出生的概率为 43 21 。某单位有两名孕妇， 求这两名孕妇生女婴数的概率分布。 6．一家人寿保险公司在投保 50 万元的保单中，每千名每年由 15 个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为 200 年，试求每一保单的保费。 7．位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有 45％，订《扬子晚报》 的有 60％，两种报纸都订的有 30％。试求以下概率： 1）只订《人民日报》的； 2）至少订以上一种报纸的； 3）只订以上一种报纸的； 4）以上两种报纸都不订的。 8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为 0.07，静 止不流动的概率为 0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？ 9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占 0.509；而两种动机兼而有之的占 0.102。问旅游动机为游览 名胜或为异族文化吸引的概率是多少？ 10．根据生命表，年龄为 60 岁的人，可望活到下年的概率为 P＝0.95；设某单位年龄 为 60 岁的人共有 10 人，问：（1）其中有 9 人活到下年的概率为多少？（2）至少有 9 人活
到下年的概率是多少? 假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区(这些社区的规模和犯罪率之间关系 的数据如下表),(1)用不回置抽样得到了一个4个社区的样本,试问其中恰好有一个大社 区,一个中社区以及两个小社区的概率是多少?(2)在一个用回置法得到的3个社区的样 中,得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少? 属性 高犯罪率 低犯罪率 16 15 12.已知随机变量ⅹ的概率分布如下: P(x) 0.2 0.4 试求:1)E(X):2)E(X2):3)令Y=(X-1)2,求E(Y):4)D(X);5)D(x2)。 13.A、B、C为三事件,指出以下事件哪些是对立事件 1)A、B、C都发生; 2)A、B、C都不发生; 3)A、B、C至少有一个发生 4)A、B、C最多有一个发生; 5)A、B、C至少有两个发生 6)A、B、C最多有两个发生 14.从户籍卡中任抽1名,设: A=“抽到的是妇女” B=“抽到的受过高等教育” C=“未婚” 求:(1)用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”; (2)用文字表达ABC (3)什么条件下ABC=A。 15.1-1000号国库券已到期,须抽签还本付息,求以下事件的概率: (1)抽中701号: (2)抽中532号 (3)抽中小于225号: (4)抽中大于600号; (5)抽中1020号 (6)抽中大于或者等于700号 (7)抽中小于125号或者大于725号 (8)抽中小于50号或者大于700号
5 到下年的概率是多少？ 11．假定从 50 个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系 的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个 4 个社区的样本，试问其中恰好有一个大社 区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的 3 个社区的样 本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？ 属性 大 中 小 高犯罪率 2 8 5 低犯罪率 16 4 15 12．已知随机变量 x 的概率分布如下： X 0 1 2 3 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 试求：1） E(X ) ； 2） ( ) 2 E X ；3）令 Y＝ 2 (X −1) ，求 E(Y) ；4） D(X ) ； 5） ( ) 2 D X 。 13．A、B、C 为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C 都发生； 2）A、B、C 都不发生； 3）A、B、C 至少有一个发生； 4）A、B、C 最多有一个发生； 5）A、B、C 至少有两个发生； 6）A、B、C 最多有两个发生。 14．从户籍卡中任抽 1 名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” 求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”； （2）用文字表达 ABC； （3）什么条件下 ABC＝A。 15．1－1000 号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率： （1）抽中 701 号； （2）抽中 532 号； （3）抽中小于 225 号； （4）抽中大于 600 号； （5）抽中 1020 号； （6）抽中大于或者等于 700 号； （7）抽中小于 125 号或者大于 725 号； （8）抽中小于 50 号或者大于 700 号
16.一个口袋中装有10只球,分别编上号码1,……10,随机地从这个口袋去3只球 试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率 17.共有5000个同龄人参加人寿保险,设死亡率为0.1%。参加保险的人在年初应交纳 保险费10元,死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中,获利不少于 30000元的概率。 18.在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个,下面的每个随 机事件的概率是多少? (1)抽中一个是次品,一个是合格品 (2)抽取的两个都是次品; (3)至少有一个次品被选取 (4)抽取两个合格品。 七、问答题 1.什么是概率? 2.何谓先验概率和经验概率,举例说明。 3.事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同? 4.频率分布和概率分布有何区别和联系? 八、计算举例 (1)掷一枚质地均匀的硬币一次,用X表示掷得正面的次数,则随机变量X的可 能取值有哪些? (2)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的五只白鼠,从中任取一只,记取到的白鼠 的标号为Y,则随机变量Y的可能取值有哪些? 2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X表示“取到的白球个数”, 即x=1当取到白球时,求随机变量X的概率分布 0,当取到红球 3.某班有学生45人,其中O型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人,AB 型血的有15人,现抽1人,其血型为随机变量X,求X的概率分布 4.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 ①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只 球,被取出的球的最大号码数为X ②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取3支,其中所含白粉笔的支数X ③从4张已编号(1号~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片编号数之和X
6 16．一个口袋中装有 10 只球，分别编上号码 1，……10，随机地从这个口袋去 3 只球， 试求：（1）最小号码是 5 的概率；（2）最大号码是 5 的概率。 17．共有 5000 个同龄人参加人寿保险，设死亡率为 0.1％。参加保险的人在年初应交纳 保险费 10 元，死亡时家属可领 2000 元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于 30000 元的概率。 18．在一批 10 个产品中有 4 个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随 机事件的概率是多少？ （1）抽中一个是次品，一个是合格品； （2）抽取的两个都是次品； （3）至少有一个次品被选取； （4）抽取两个合格品。 七、问答题 1．什么是概率？ 2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。 3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？ 4．频率分布和概率分布有何区别和联系？ 八、计算举例 1.（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 X 表示掷得正面的次数，则随机变量 X 的可 能取值有哪些？ （2）一实验箱中装有标号为 1，2，3，3，4 的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠 的标号为 Y ，则随机变量 Y 的可能取值有哪些？ 2. 从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用 X 表示“取到的白球个数”， 即 1, 0, X = 当取到白球时， 当取到红球时， 求随机变量 X 的概率分布。 3.某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 10 人， A 型血的有 12 人， B 型血的有 8 人， AB 型血的有 15 人，现抽 1 人，其血型为随机变量 X ，求 X 的概率分布。 4.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 ①一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出 3 只 球，被取出的球的最大号码数为 X ； ②盒中有 6 支白粉笔和 8 支红粉笔，从中任意取 3 支，其中所含白粉笔的支数 X ； ③从 4 张已编号（1 号～4 号）的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片编号数之和 X
5袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记x=0两球全红。求X的概率分 两球非全红 6.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两颗骰子中出现的最大 点数X的概率分布,并求X大于2小于5的概率P(2<X<5)。 7.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两颗骰子中出现最小点数 Y的概率分布 8.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑 球赢2元,而每取出一个白球输1元,取出黄球无输贏,以X表示赢得的钱数,随机变量X 可以取哪些值呢?求X的概率分布。 9.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为一,现在甲、乙两 人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人 取到白球时即止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的 取球次数。(1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量的概率分布;(3)求甲取到白球 的概率 10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答正确得100 分,回答不正确得一100分,假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确 与否相互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望 (2)求这名同学总得分不为负分(即≥0)的概率。 11.从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取,假定使用回置法,求至少得到1张A 和1张K的概率是多少? 12.假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查,发现其中有500个学生喜欢民族歌曲, 400个学生喜欢流行歌曲,而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的 剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生,并设事件A为该 学生喜欢民族歌曲,事件B为该学生喜欢流行歌曲,试解决下列问题:①用数字证明P(A 且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)。 ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少?
7 5.袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 0 1 X = 两球全红 两球非全红 。求 X 的概率分 布。 6. 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大 点数 X 的概率分布，并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P X (2 5) 。 7.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现最小点数 Y 的概率分布。 8.从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑 球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值呢？求 X 的概率分布。 9. 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 ，现在甲、乙两 人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人 取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的 取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 的概率分布；（3）求甲取到白球 的概率． 10.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得－100 分，假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确 与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率。 11. 从一副洗得很好的扑克牌中做了 3 次抽取，假定使用回置法，求至少得到 1 张 A 和 1 张 K 的概率是多少? 12. 假如对 1000 个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有 500 个学生喜欢民族歌曲， 400 个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有 100 人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的， 剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件 A 为该 学生喜欢民族歌曲，事件 B 为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：①用数字证明 P(A 且 B)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)。 ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少?
③随机地选取一个由3个学生组成的样本,要求这三个学生全都有相同的欣赏方式,得 到这种样本的概率是多少?④做一个一枚硬币独立
8 ③随机地选取一个由 3 个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得 到这种样本的概率是多少? ④做一个一枚硬币独立
参考答案 填空 1.机会均等 2.概率 4.大数定律中心极限定理5.无偏性一致性有效性 6.最小抽样误差原则最少经济费用原则 7.随机原则 8.正比反比增大到16倍9.互斥 10.141/52 二、单项选择 1.A2.D3.A4.D5.D6.C7.B8.C 三、多项选择 1. ACd 2. ad 3. ACe 4. abe 5. BCe 6. ABD 四、名词解释 1.数学期望 是反映随机变量ⅹ取值的集中趋势的理论均值(算术平均)。 2.对立事件 若事件A和事件B是互斥事件,且在一次试验(或观察中)必有其一发生,则称A和B 是对立事件,或称逆事件 3.随机事件: 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件,也称事件 4.事件和 事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C,称为A和B的事件和 .事件积 事件A和事件B同时发生所构成的事件C,称为A和B的事件积。 6.互斥事件: 若事件A和事件B不能同时发生,则称A和B是互斥事件,或称互不相容事件 7.互相独立事件 若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率,或者B事件发生的概率 等于在A事件发生后B事件发生的概率,则称A和B是互相独立事件 8.先验概率: 古典法以想象总体为对象,利用模型本身所具有的对称性,来事先求得概率,古典法求 出的概率被称为先验概率 9.经验概率 将试验次数n充分大时的频率作为概率的近似值,这就是所谓的经验概率。 五、判断题
9 参考答案 一、填空 1．机会均等 2．概率 3． 互斥 4．大数定律 中心极限定理 5． 无偏性 一致性 有效性 6．最小抽样误差原则 最少经济费用原则 7． 随机原则 8． 正比 反比 增大到 16 倍 9． 互斥 10． 1/4 1/52 二、单项选择 1．A 2．D 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 三、多项选择 1． ACD 2．AD 3．ACE 4．ABE 5．BCE 6．ABD 四、名词解释 1．数学期望： 是反映随机变量 X 取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。 2．对立事件： 若事件 A 和事件 B 是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称 A 和 B 是对立事件，或称逆事件。。 3．随机事件： 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。 4．事件和： 事件 A 和事件 B 至少有一个发生所构成的事件 C，称为 A 和 B 的事件和。 5．事件积： 事件 A 和事件 B 同时发生所构成的事件 C，称为 A 和 B 的事件积。 6．互斥事件： 若事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 A 和 B 是互斥事件，或称互不相容事件。 7．互相独立事件： 若 A 事件发生的概率等于在 B 事件发生后 A 事件发生的概率，或者 B 事件发生的概率 等于在 A 事件发生后 B 事件发生的概率，则称 A 和 B 是互相独立事件。 8．先验概率： 古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得概率，古典法求 出的概率被称为先验概率。 9．经验概率： 将试验次数 n 充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。 五、判断题
(√)2.(×)3.(√)4.(√)5.(×)6.(√) 7.(×)8.(√)9.(√)10.(×)11.(×)12.(√) 六、计算题 1.【0.35 2.【0.40】 3.【0.2601】 5.【0.2601,0.4998,0.2401】 6.【7700元】7.【0.15,0.95,0.65,0.05】 8.【0.08】 9.【0.626】 10.0.315】【0.914】 11.0.178】【0.046】 12.1)【2】:2)【5.2】:3)【2.2】:4)【1.10】:5)【462】。 13.【2、3为对立事件 4、5为对立事件1、6为对立事件】 14.(1)【ABC】(2)【抽到是受过高等教育的未婚妇女】 (3)【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】 15.(1)【0.00l】 (2)【0.001】(3)【0.224】 (4)【0.4】 (5)【0】 (6)【0.301】 (7)【0.399】 (8)【0.349】 16.【0.083,0.05】 17.【9875%】 8.(1)【0.53】 2)【0.13】(3)【0.67】 (4)【0.33】 七、问答题 1.什么是概率? 2.何谓先验概率和经验概率,举例说明 3.事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同? 4.频率分布和概率分布有何区别和联系? 八、计算举例 1.说明:引入了随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示。 (1)抛掷硬币是随机试验,结果有两种可能,一种是正面向上,另一种是反面向上, 所以变量X的取值可能是1(正面向上),也可能是0(反面向上),故随机变量X的取值 构成集合{0,1}。 在此例中,随机事件“掷一枚硬币,正面向上”可以用随机变量表示为{X=1},随机 事件“掷一枚硬币,反面向上”可以用随机变量表示为{X=0}。 (2)根据条件可知,随机变量Y的可能值有4种,它的取值集合是{1,2,3,4} 在此例中,也可用{Y=1},{Y=2},{=3},{=4}分别表示取到1号、2号、3
10 1．(√) 2．(×) 3．(√) 4． (√) 5．(×) 6．(√) 7．(×) 8．(√) 9．(√) 10．(×) 11．(×) 12．(√) 六、计算题 1． 【0.35】 2．【 0.40】 3．【 0.2601】 4． 【 0.5】 5．【 0.2601，0.4998，0.2401】 6． 【7700 元】 7．【 0.15，0.95，0.65，0.05】 8． 【0.08】 9．【 0.626】 10． 0.315】【0.914】 11． 0.178】【0.046】 12． 1）【2】；2）【5.2】；3）【2.2】；4）【1.10】；5）【4.62】。 13．【2、3 为对立事件 4、5 为对立事件 1、6 为对立事件】 14．（1）【 ABC 】 （2）【抽到是受过高等教育的未婚妇女】 （3）【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】 15．（1）【0.001】 （2）【0.001】 （3）【0.224】 （4）【0.4】 （5）【0】 （6）【0.301】 （7）【0.399】 （8）【0.349】 16．【0.083，0.05】 17．【98.75%】 18．（1）【0.53】 （2）【0.13】 （3）【0.67】 (4）【0.33】 七、问答题 1．什么是概率？ 2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。 3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？ 4．频率分布和概率分布有何区别和联系？ 八、计算举例 1. 说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示。 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上， 所以变量 X 的取值可能是 1（正面向上），也可能是 0（反面向上），故随机变量 X 的取值 构成集合{0，1}。 在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为 { 1} X = ，随机 事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为 { 0} X = 。 （2）根据条件可知，随机变量 Y 的可能值有 4 种，它的取值集合是{1，2，3，4}。 在此例中，也可用 { 1} Y = ，{ 2} Y = ，{ 3} Y = ，{ 4} Y = 分别表示取到 1 号、2 号、3
