第八章常用统计分布 第一节超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节卡方分布(分布) x2分布的数学形式·x2分布的性质、数学期望和方差·样本方差的抽样分 布 第四节F分布 F分布的数学形式·F分布的性质、数学期望和方差·F分布的近似 、填空 1.对于超几何分布,随着群体的规模逐渐增大,一般当一≤ )时,可采用二 项分布来近似。 2.泊松分布只有一个参数( ),只要知道了这个参数的值,泊松分布就确定了。 3.卡方分布是一种()型随机变量的概率分布,它是由()分布派生出来 的 如果第一自由度k或第二自由度k2的F分布没有列在表中,但邻近的第一自由度 或第二自由度的F分布已列在表中,对于F(k1,k2)的值可以用()插值法得到 )分布具有一定程度的反对称性 6.()分布主要用于列联表的检验 7.()分布用于解决连续体中的孤立事件 8.x2分布的图形随着自由度的增加而渐趋( 9.当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时( 可采用二项分布来近似 )事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1.已知离散性随机变量x服从参数为λ=2的泊松分布,则概率P(3:λ)=( A4/3e2B3/3e2C4/3e3 D3/3e3
1 第八章 常用统计分布 第一节 超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节 泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节 卡方分布( 2 分布) 2 分布的数学形式· 2 分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分 布 第四节 F 分布 F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似 一、填空 1.对于超几何分布,随着群体的规模逐渐增大,一般当 N n ≤( )时,可采用二 项分布来近似。 2.泊松分布只有一个参数( ),只要知道了这个参数的值,泊松分布就确定了。 3.卡方分布是一种( )型随机变量的概率分布,它是由( )分布派生出来 的。 4.如果第一自由度 1 k 或第二自由度 2 k 的 F 分布没有列在表中,但邻近的第一自由度 或第二自由度的 F 分布已列在表中,对于 Fα( 1 k , 2 k )的值可以用( )插值法得到。 5.( )分布具有一定程度的反对称性。 6.( )分布主要用于列联表的检验。 7.( )分布用于解决连续体中的孤立事件。 8. 2 分布的图形随着自由度的增加而渐趋( )。 9.当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时( ) 可采用二项分布来近似。 10.( )事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1.已知离散性随机变量 x 服从参数为λ=2 的泊松分布,则概率 P(3;λ)=( )。 A 4/3e2 B 3/3e2 C 4/3e3 D 3/3e3
2.当群体的规模逐渐增大,以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时,() 分布可以用二项分布来近似 At分布BF分布Cx2分布D超几何分布 3.研究连续体中的孤立事件发生次数的分布,如某时间段内电话机被呼叫的次数的概 率分布,应选择()。 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布 4.对于一个样本容量n较大及成功事件概率p较小的二项分布,都可以用()来 近似 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布。 5.与Fa(k1,k2)的值等价的是( A Fl-a(k, k) B Fi-a(k2, k, C 1/Fa(k,, k2) D1/F1-a(k2,k1) 6、只与一个自由度有关的是 x2分布B超几何分布C泊松分布DF分布 三、多项选择 1.属于离散性变量概率分布的是()。 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布 2.属于连续性变量的概率分布的是() x2分布B超几何分布C泊松分布DF分布 3.下列近似计算概率的正确方法是( A用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E用正态分布的概率近似计算F分布的概率 4.x2分布具有的性质是() A恒为正值 B非对称性 C反对称性 D随机变量非负性 E可加性 5.F分布具有的性质是( A恒为正值 B非对称性 C反对称性 D随机变量非负性 E可加性 6.一般地,用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是() AnN≤0.1 Bn≥10 2
2 2.当群体的规模逐渐增大,以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时,( ) 分布可以用二项分布来近似。 A t 分布 B F 分布 C 2 分布 D 超几何分布 3.研究连续体中的孤立事件发生次数的分布,如某时间段内电话机被呼叫的次数的概 率分布,应选择( )。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4.对于一个样本容量 n 较大及成功事件概率 p 较小的二项分布,都可以用( )来 近似。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5.与 Fα( 1 k , 2 k )的值等价的是( )。 A F1-α( 1 k , 2 k ) B F1-α( 2 k , 1 k ) C 1/Fα( 1 k , 2 k ) D 1/F1-α( 2 k , 1 k ) 6、只与一个自由度有关的是( ) A 2 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1.属于离散性变量概率分布的是( )。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2.属于连续性变量的概率分布的是( )。 A 2 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3.下列近似计算概率的正确方法是( )。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 4. 2 分布具有的性质是( )。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 5.F 分布具有的性质是( )。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 6.一般地,用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是( )。 A n/N ≤0.1 B n≥10
C Dk≥30 Ek2>2 四、名词解释 1.超几何分布 2.泊松分布 3.卡方分布 4.F分布 五、判断题 1.在研究对象为小群体时,二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。() 2.成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素 3.泊松分布的数学期望和方差是相等的 4.在计算F分布的概率时,只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以 了 5.k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 6.卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。 ((( )))) 7.相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为F分布的变量 8.当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时泊松分布可 采用二项分布来近似。 9.泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。 10.F分布具有一定程度的反对称性 六、计算题 1.某社区要选派8名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。申请者为12 名女性居民和8名男性居民。社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子 里,并从中抽取8个。试问,抽出4名女性居民的概率是多少? 2.有16名二年级学生和14名三年级学生选修了社区管理课。假设所有学生都会来教 室上课,而且是随机进入教室的。试问,当一名学生进入教室时,恰逢已在教室就坐的 位都是三年级的概率是多少? 3.某区进行卫生大检查,现对区内全部40个单位进行卫生合格验收。检查团随机抽查 个单位,只要有1个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。如果该区确有10%的单位卫 生不合格,试问 (1)抽查的4个单位中有1个单位是不合格单位的概率是多少? (2)经抽查,该区没被取消评先资格的概率是多少? (3)计算分布的期望值和方差。 4.设在填写选民证时,1000个选民证中共有300个错字被发现。问在一张选民证上有 一个错字的概率是多少?
3 C p≤0.1 D k≥30 E k2>2 四、名词解释 1.超几何分布 2.泊松分布 3.卡方分布 4.F 分布 五、判断题 1.在研究对象为小群体时,二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。( ) 2.成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素。 ( ) 3.泊松分布的数学期望和方差是相等的。 ( ) 4.在计算 F 分布的概率时,只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以 了。 ( ) 5.k 个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布。 ( ) 6.卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。 ( ) 7.相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为 F 分布的变量。 ( ) 8. 当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时泊松分布可 采用二项分布来近似。 ( ) 9. 泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。 ( ) 10. F 分布具有一定程度的反对称性。 ( ) 六、计算题 1.某社区要选派 8 名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。申请者为 12 名女性居民和 8 名男性居民。社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子 里,并从中抽取 8 个。试问,抽出 4 名女性居民的概率是多少? 2.有 16 名二年级学生和 14 名三年级学生选修了社区管理课。假设所有学生都会来教 室上课,而且是随机进入教室的。试问,当一名学生进入教室时,恰逢已在教室就坐的 5 位都是三年级的概率是多少? 3.某区进行卫生大检查,现对区内全部 40 个单位进行卫生合格验收。检查团随机抽查 4 个单位,只要有 1 个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。如果该区确有 10%的单位卫 生不合格,试问: (1)抽查的 4 个单位中有 1 个单位是不合格单位的概率是多少? (2)经抽查,该区没被取消评先资格的概率是多少? (3)计算分布的期望值和方差。 4.设在填写选民证时,1000 个选民证中共有 300 个错字被发现。问在一张选民证上有 一个错字的概率是多少?
5.某社区对失业者进行某项培训,参加培训的共有100人。根据以前的培训经验,项 目负责人估计有4%的培训者不能掌握这门技术。问在参加培训的100名失业者中至少有5 人为未掌握这项技术的概率是多少 6.每小时有30个老人穿过一条人行道。在5分钟内,没有老人穿过该人行道的概率是 多少? 7.从一正态总体中抽出一个容量为20的样本。已知总体的方差为5。求样本的方差在 3.5到75之间的概率。 8.查表求Fs(15,7)的值。 9.已知Z01=1.64。求1(1)的值 10.已知Fo.o(120.12)=1.88,F.0(∞,12)=1.85。求F.01(150.12)的值 页书上印刷错误的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为A(2>0)的 泊松分布,一本书共400页,有20个印刷错误,求: 1)任取1页书上没有印刷错误的概率 (2)任取4页书上都没有印刷错误的概率 12.某种产品表面上疵点的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为A=-的泊 松分布,规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品,求产品的合格率 13.每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数X是一个离散型随机变量,它从参数为 λ(λ>0)的泊松分布,已知每10分钟内收到3次呼唤与收到4次呼唤的可能性相同,求: (1)平均每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数 (2)任意10分钟内电话交换台收到2次呼唤的概率 14.设离散型随机变量X服从参数为λ(>0)的泊松分布,且已知概率 3 P{X=1}=,求 (1)参数λ值 (2)概率P{1<X≤3} (3)数学期望E(3X) (4)方差D(3X) 七、问答题 1.简述卡方分布的性质 简述F分布的性质
4 5.某社区对失业者进行某项培训,参加培训的共有 100 人。根据以前的培训经验,项 目负责人估计有 4%的培训者不能掌握这门技术。问在参加培训的 100 名失业者中至少有 5 人为未掌握这项技术的概率是多少? 6.每小时有 30 个老人穿过一条人行道。在 5 分钟内,没有老人穿过该人行道的概率是 多少? 7.从一正态总体中抽出一个容量为 20 的样本。已知总体的方差为 5。求样本的方差在 3.5 到 7.5 之间的概率。 8.查表求 F0.95(15,7)的值。 9.已知 Z0.1=1.64。求 2 0.1 (1)的值 。 10.已知 F0。01(120.12)=1.88,F0。01(∞,12)=1.85。求 F0。01(150.12)的值 。 11. 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量,它服从参数为 ( >0)的 泊松分布,一本书共 400 页,有 20 个印刷错误,求: (l)任取 l 页书上没有印刷错误的概率; (2)任取 4 页书上都没有印刷错误的概率. 12. 某种产品表面上疵点的个数 X 是一个离散型随机变量,它服从参数为 = 2 3 的泊 松分布,规定表面上疵点的个数不超过 2 个为合格品,求产品的合格率。 13. 每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数 X 是一个离散型随机变量,它从参数为 ( >0)的泊松分布,已知每 10 分钟内收到 3 次呼唤与收到 4 次呼唤的可能性相同,求: (1)平均每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数; (2)任意 10 分钟内电话交换台收到 2 次呼唤的概率. 14. 设离 散型随 机变量 X 服从参 数为 ( >0)的泊 松分布 ,且已 知概率 P{X = 1}= 3 3 e ,求: (l)参数 值; (2)概率 P {1< X ≤3}; (3)数学期望 E(3X ) ; (4)方差 D(3X ) . 七、问答题 1.简述卡方分布的性质。 2.简述 F 分布的性质
参考答案 填空 1.0.12.λ3.连续,正态4.调和5F6.x27.泊松8.对称9 超几何分布10.稀有 二、单项选择 1.A2.D3.C4.C5.D6.A 三、多项选择 1. AbC 2.. AF ACDE 4. abe 5. AbC 6. BC 四、名词解释 1.超几何分布 超几何分布以样本内的成功事件的个数x为随机变量。若总体单位数为N,其中成功类 共有K个,设从中抽取n个为一样本,则样本中成功类个数x的超几何概率分布为 P(x)=H(x: N, n, K) CKC 式中:x≤K,0≤x≤n,0≤K≤N 超几何分布的数学期望 A’方差a2m(N-n)(N-k)k N(N-1) 2.泊松分布 泊松分布为离散型随机变量的概率分布,随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为 成功次数的期望值,假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少,超过5次的成功概 率可忽不计,那么稀有事件出现的次数x的泊松概率分布为 P(x)=P(x;λ) 泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。 3.卡方分布 设随机变量Ⅺ1,,…Xk,相互独立,且都服从同一的正态分布N(,2)。那么, 我们可以先把它们变为标准正态变量Z1,Z2,…Zk,k个独立标准正态变量的平方和被定义 为卡方分布(x2分布)的随机变量x2
5 参考答案 一、填空 1. 0.1 2.λ 3.连续 ,正态 4.调和 5. F 6. 2 7.泊松 8. 对称 9. 超几何分布 10. 稀有 二、单项选择 1.A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 三、多项选择 1.ABC 2..AF 3.ACDE 4.ABE 5.ABC 6.BC 四、名词解释 1.超几何分布 超几何分布以样本内的成功事件的个数 x 为随机变量。若总体单位数为 N,其中成功类 共有 K 个,设从中抽取 n 个为一样本,则样本中成功类个数 x 的超几何概率分布为 P(x)=H(x:N,n,K)= n N n x N K x K C C C − − 式中:x≤K,0≤x≤n,0≤K≤N。 超几何分布的数学期望μ= N nK ,方差σ 2= ( 1) ( )( ) − − − N N n N n N K K 2.泊松分布 泊松分布为离散型随机变量的概率分布,随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为 成功次数的期望值,假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少,超过 5 次的成功概 率可忽不计,那么稀有事件出现的次数 x 的泊松概率分布为 P(x)=P(x;λ)= − e x x ! 泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。 3.卡方分布 设随机变量 X1,X2,…Xk,相互独立,且都服从同一的正态分布 N (μ,σ2 )。那么, 我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1,Z2,…Zk,k 个独立标准正态变量的平方和被定义 为卡方分布( 2 分布)的随机变量 2
(k)=( ∑(X1-1)2=∑Z2 其中k为卡方分布的自由度,它表示定义式中独立变量的个数 x2分布的期望值是自由度k,方差值为自由度的2倍。 4.F分布 F分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。设x2(k1)和x2(k2)相互 独立,那么随机变量 F(k,,k=x(,)/k, k2)/k 服从自由度为(k1,k2)的F分布。其中,分子上的自由度k叫做第一自由度,分母上 的自由度k2叫做第二自由度。 五、判断题 六、计算题 1.0.275 2.0.0140 3.解:抽到不合格单位数量x服从№=40、n=4的超几何分布 (1)K=1时P(x=1) C4C364×7140 913900.3125 (2)K=0时P(x=0)=-436= 1×58905 =0.6445 91390 (3)K=4,№=40、n=4 nK4×4 ECx N d=D()=(N-n)-K)K4×(40-4)×(40-4)×4 =0.3323 40×(40-1) 4.λ=0.3,P(1:λ)=0.2222
6 2 ( k )=( X1 − ) 2 + ( X2 − ) 2 + … + ( Xk − ) 2 = = − k i Xi 1 2 2 ( ) 1 == k i Zi 1 2 其中 k 为卡方分布的自由度,它表示定义式中独立变量的个数。 2 分布的期望值是自由度 k,方差值为自由度的 2 倍。 4.F 分布 F 分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。设 2 ( 1 k )和 2 ( 2 k )相互 独立,那么随机变量 F( 1 k , 2 k )= 2 2 2 1 1 2 ( )/ ( )/ k k k k 服从自由度为( 1 k , 2 k )的 F 分布。其中,分子上的自由度 1 k 叫做第一自由度,分母上 的自由度 2 k 叫做第二自由度。 五、判断题 1.( × ) 2.( √ ) 3.( √ ) 4.( × ) 5.( √ ) 6.( √ ) 7.( √ ) 8.( × ) 9.( √ ) 10.( √ ) 六、计算题 1.0.275 2.0.0140 3.解:抽到不合格单位数量 x 服从 N=40、n=4 的超几何分布 (1) K=1 时 P(x=1)= 4 40 3 36 1 4 C C C = 91390 4 7140 =0.3125 (2) K=0 时 P(x=0)= 4 40 4 36 0 4 C C C = 91390 158905 =0.6445 (3)K=4,N=40、n=4 μ=E(x)= N nK = 40 4 4 = 0.1 σ 2=D (x)= ( 1) ( )( ) 2 − − − N N n N n N K K = 40 (40 1) 4 (40 4) (40 4) 4 2 − − − = 0.3323 4.λ= 0.3,P(1;λ)=0.2222
5.提示:用泊松分布近似二项分布:P(x≥5;A)=1P(1:A)一P(2;A) (3;λ)-P(4:λ)=0.371 6.0.0821 7.≈0.75 8.0.369 9.2.69 10.1.874 七、问答题 1.答 (1)x2恒为正值,且「o(x2:k)dx2=1 (2)x2分布的期望值是自由度k,方差值为自由度的2倍,即对x2(k)有 E(x2)=k,D(x2)=2k 对k2时,F 分布则为钟形,当k→∞时,F分布趋于对称 (3)具有一定程度的反对称性,即F1-a和1/F交换,同时k也和k2交换,这不影响 相应的概率:F-a(k1,k2)= Fa(k,,k,)
7 5.提示:用泊松分布近似二项分布;P(x≥5;λ)=1—P(1;λ)—P(2;λ)—P (3;λ)—P(4;λ)=0.371 6. 0.0821 7. ≈0.75 8. 0.369 9. 2.69 10.1.874 七、问答题 1.答: (1) 2 恒为正值,且 + 0 2 2 ( ;k)d =1 (2) 2 分布的期望值是自由度 k,方差值为自由度的 2 倍,即对 2 ( k )有 E( 2 )=k , D( 2 )=2 k 对 k<2, 2 分布呈 L 形。 2 分布随自由度 k 的增加而渐趋对称。当 k→∞时, 2 分 布以正态分布为极限。 2.答: (1) 随机变量 F 和随机变量 2 一样,恒取正值,F 分布密度曲线下总面积亦为 1。 (2) F 分布也是一个连续的非对称分布。当 1 k ≤2 时.F 分布呈 L 形;当 2 k >2 时,F 分布则为钟形,当 1 k →∞时,F 分布趋于对称。 (3) 具有一定程度的反对称性,即 F1-α和 1/Fα交换,同时 1 k 也和 2 k 交换,这不影响 相应的概率: F1-α( 1 k , 2 k )= ( , ) 1 2 1 F k k