第八章常用统计分布 第一节超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节卡方分布(分布) x2分布的数学形式·x2分布的性质、数学期望和方差·样本方差的抽样分 布 第四节F分布 F分布的数学形式·F分布的性质、数学期望和方差·F分布的近似 、填空 1.对于超几何分布,随着群体的规模逐渐增大,一般当一≤ )时,可采用二 项分布来近似。 2.泊松分布只有一个参数( ),只要知道了这个参数的值,泊松分布就确定了。 3.卡方分布是一种()型随机变量的概率分布,它是由()分布派生出来 的 如果第一自由度k或第二自由度k2的F分布没有列在表中,但邻近的第一自由度 或第二自由度的F分布已列在表中,对于F(k1,k2)的值可以用()插值法得到 )分布具有一定程度的反对称性 6.()分布主要用于列联表的检验 7.()分布用于解决连续体中的孤立事件 8.x2分布的图形随着自由度的增加而渐趋( 9.当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时( 可采用二项分布来近似 )事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1.已知离散性随机变量x服从参数为λ=2的泊松分布,则概率P(3:λ)=( A4/3e2B3/3e2C4/3e3 D3/3e3
1 第八章 常用统计分布 第一节 超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节 泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节 卡方分布( 2 分布) 2 分布的数学形式· 2 分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分 布 第四节 F 分布 F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似 一、填空 1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当 N n ≤（ ）时，可采用二 项分布来近似。 2．泊松分布只有一个参数（ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。 3．卡方分布是一种（ ）型随机变量的概率分布，它是由（ ）分布派生出来 的。 4．如果第一自由度 1 k 或第二自由度 2 k 的 F 分布没有列在表中，但邻近的第一自由度 或第二自由度的 F 分布已列在表中，对于 Fα( 1 k ， 2 k )的值可以用（ ）插值法得到。 5．（ ）分布具有一定程度的反对称性。 6．（ ）分布主要用于列联表的检验。 7．（ ）分布用于解决连续体中的孤立事件。 8． 2 分布的图形随着自由度的增加而渐趋（ ）。 9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（ ） 可采用二项分布来近似。 10．（ ）事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1．已知离散性随机变量 x 服从参数为λ=2 的泊松分布，则概率 P（3；λ）＝（ ）。 A 4/3e2 B 3/3e2 C 4/3e3 D 3/3e3
2.当群体的规模逐渐增大,以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时,() 分布可以用二项分布来近似 At分布BF分布Cx2分布D超几何分布 3.研究连续体中的孤立事件发生次数的分布,如某时间段内电话机被呼叫的次数的概 率分布,应选择()。 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布 4.对于一个样本容量n较大及成功事件概率p较小的二项分布,都可以用()来 近似 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布。 5.与Fa(k1,k2)的值等价的是( A Fl-a(k, k) B Fi-a(k2, k, C 1/Fa(k,, k2) D1/F1-a(k2,k1) 6、只与一个自由度有关的是 x2分布B超几何分布C泊松分布DF分布 三、多项选择 1.属于离散性变量概率分布的是()。 A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布 2.属于连续性变量的概率分布的是() x2分布B超几何分布C泊松分布DF分布 3.下列近似计算概率的正确方法是( A用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E用正态分布的概率近似计算F分布的概率 4.x2分布具有的性质是() A恒为正值 B非对称性 C反对称性 D随机变量非负性 E可加性 5.F分布具有的性质是( A恒为正值 B非对称性 C反对称性 D随机变量非负性 E可加性 6.一般地,用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是() AnN≤0.1 Bn≥10 2
2 2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ ） 分布可以用二项分布来近似。 A t 分布 B F 分布 C 2 分布 D 超几何分布 3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概 率分布，应选择（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4．对于一个样本容量 n 较大及成功事件概率 p 较小的二项分布，都可以用（ ）来 近似。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5．与 Fα（ 1 k ， 2 k ）的值等价的是（ ）。 A F1-α（ 1 k ， 2 k ） B F1-α（ 2 k ， 1 k ） C 1/Fα（ 1 k ， 2 k ） D 1/F1-α（ 2 k ， 1 k ） 6、只与一个自由度有关的是（ ） A 2 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。 A 2 分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 4． 2 分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 5．F 分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ ）。 A n/N ≤0.1 B n≥10
C Dk≥30 Ek2>2 四、名词解释 1.超几何分布 2.泊松分布 3.卡方分布 4.F分布 五、判断题 1.在研究对象为小群体时,二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。() 2.成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素 3.泊松分布的数学期望和方差是相等的 4.在计算F分布的概率时,只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以 了 5.k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 6.卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。 ((( )))) 7.相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为F分布的变量 8.当群体规模逐渐增大,以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理,这时泊松分布可 采用二项分布来近似。 9.泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。 10.F分布具有一定程度的反对称性 六、计算题 1.某社区要选派8名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。申请者为12 名女性居民和8名男性居民。社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子 里,并从中抽取8个。试问,抽出4名女性居民的概率是多少? 2.有16名二年级学生和14名三年级学生选修了社区管理课。假设所有学生都会来教 室上课,而且是随机进入教室的。试问,当一名学生进入教室时,恰逢已在教室就坐的 位都是三年级的概率是多少? 3.某区进行卫生大检查,现对区内全部40个单位进行卫生合格验收。检查团随机抽查 个单位,只要有1个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。如果该区确有10%的单位卫 生不合格,试问 (1)抽查的4个单位中有1个单位是不合格单位的概率是多少? (2)经抽查,该区没被取消评先资格的概率是多少? (3)计算分布的期望值和方差。 4.设在填写选民证时,1000个选民证中共有300个错字被发现。问在一张选民证上有 一个错字的概率是多少?
3 C p≤0.1 D k≥30 E k2>2 四、名词解释 1．超几何分布 2．泊松分布 3．卡方分布 4．F 分布 五、判断题 1．在研究对象为小群体时，二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。（ ） 2．成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素。 （ ） 3．泊松分布的数学期望和方差是相等的。 （ ） 4．在计算 F 分布的概率时，只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以 了。 （ ） 5．k 个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布。 （ ） 6．卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。 （ ） 7．相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为 F 分布的变量。 （ ） 8. 当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时泊松分布可 采用二项分布来近似。 （ ） 9. 泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。 （ ） 10. F 分布具有一定程度的反对称性。 （ ） 六、计算题 1．某社区要选派 8 名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。申请者为 12 名女性居民和 8 名男性居民。社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子 里，并从中抽取 8 个。试问，抽出 4 名女性居民的概率是多少？ 2．有 16 名二年级学生和 14 名三年级学生选修了社区管理课。假设所有学生都会来教 室上课，而且是随机进入教室的。试问，当一名学生进入教室时，恰逢已在教室就坐的 5 位都是三年级的概率是多少？ 3．某区进行卫生大检查，现对区内全部 40 个单位进行卫生合格验收。检查团随机抽查 4 个单位，只要有 1 个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。如果该区确有 10%的单位卫 生不合格，试问： （1）抽查的 4 个单位中有 1 个单位是不合格单位的概率是多少？ （2）经抽查，该区没被取消评先资格的概率是多少？ （3）计算分布的期望值和方差。 4．设在填写选民证时，1000 个选民证中共有 300 个错字被发现。问在一张选民证上有 一个错字的概率是多少？
5.某社区对失业者进行某项培训,参加培训的共有100人。根据以前的培训经验,项 目负责人估计有4%的培训者不能掌握这门技术。问在参加培训的100名失业者中至少有5 人为未掌握这项技术的概率是多少 6.每小时有30个老人穿过一条人行道。在5分钟内,没有老人穿过该人行道的概率是 多少? 7.从一正态总体中抽出一个容量为20的样本。已知总体的方差为5。求样本的方差在 3.5到75之间的概率。 8.查表求Fs(15,7)的值。 9.已知Z01=1.64。求1(1)的值 10.已知Fo.o(120.12)=1.88,F.0(∞,12)=1.85。求F.01(150.12)的值 页书上印刷错误的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为A(2>0)的 泊松分布,一本书共400页,有20个印刷错误,求: 1)任取1页书上没有印刷错误的概率 (2)任取4页书上都没有印刷错误的概率 12.某种产品表面上疵点的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为A=-的泊 松分布,规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品,求产品的合格率 13.每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数X是一个离散型随机变量,它从参数为 λ(λ>0)的泊松分布,已知每10分钟内收到3次呼唤与收到4次呼唤的可能性相同,求: (1)平均每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数 (2)任意10分钟内电话交换台收到2次呼唤的概率 14.设离散型随机变量X服从参数为λ(>0)的泊松分布,且已知概率 3 P{X=1}=,求 (1)参数λ值 (2)概率P{1<X≤3} (3)数学期望E(3X) (4)方差D(3X) 七、问答题 1.简述卡方分布的性质 简述F分布的性质
4 5．某社区对失业者进行某项培训，参加培训的共有 100 人。根据以前的培训经验，项 目负责人估计有 4%的培训者不能掌握这门技术。问在参加培训的 100 名失业者中至少有 5 人为未掌握这项技术的概率是多少？ 6．每小时有 30 个老人穿过一条人行道。在 5 分钟内，没有老人穿过该人行道的概率是 多少？ 7．从一正态总体中抽出一个容量为 20 的样本。已知总体的方差为 5。求样本的方差在 3.5 到 7.5 之间的概率。 8．查表求 F0.95(15，7)的值。 9．已知 Z0.1=1.64。求 2 0.1 (1)的值 。 10．已知 F0。01(120．12)＝1．88，F0。01(∞，12)＝1．85。求 F0。01(150．12)的值 。 11. 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数为 ( >0）的 泊松分布，一本书共 400 页，有 20 个印刷错误，求： (l）任取 l 页书上没有印刷错误的概率； (2)任取 4 页书上都没有印刷错误的概率． 12. 某种产品表面上疵点的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数为 = 2 3 的泊 松分布，规定表面上疵点的个数不超过 2 个为合格品，求产品的合格率。 13. 每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数 X 是一个离散型随机变量，它从参数为 ( >0）的泊松分布，已知每 10 分钟内收到 3 次呼唤与收到 4 次呼唤的可能性相同，求： (1）平均每 10 分钟内电话交换台收到呼唤的次数； (2)任意 10 分钟内电话交换台收到 2 次呼唤的概率． 14. 设离 散型随 机变量 X 服从参 数为 ( >0）的泊 松分布 ，且已 知概率 P{X = 1}= 3 3 e ，求： (l)参数 值； (2)概率 P {1< X ≤3}; (3)数学期望 E(3X ) ; (4)方差 D(3X ) . 七、问答题 1．简述卡方分布的性质。 2．简述 F 分布的性质
参考答案 填空 1.0.12.λ3.连续,正态4.调和5F6.x27.泊松8.对称9 超几何分布10.稀有 二、单项选择 1.A2.D3.C4.C5.D6.A 三、多项选择 1. AbC 2.. AF ACDE 4. abe 5. AbC 6. BC 四、名词解释 1.超几何分布 超几何分布以样本内的成功事件的个数x为随机变量。若总体单位数为N,其中成功类 共有K个,设从中抽取n个为一样本,则样本中成功类个数x的超几何概率分布为 P(x)=H(x: N, n, K) CKC 式中:x≤K,0≤x≤n,0≤K≤N 超几何分布的数学期望 A’方差a2m(N-n)(N-k)k N(N-1) 2.泊松分布 泊松分布为离散型随机变量的概率分布,随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为 成功次数的期望值,假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少,超过5次的成功概 率可忽不计,那么稀有事件出现的次数x的泊松概率分布为 P(x)=P(x;λ) 泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。 3.卡方分布 设随机变量Ⅺ1,,…Xk,相互独立,且都服从同一的正态分布N(,2)。那么, 我们可以先把它们变为标准正态变量Z1,Z2,…Zk,k个独立标准正态变量的平方和被定义 为卡方分布(x2分布)的随机变量x2
5 参考答案 一、填空 1． 0.1 2．λ 3．连续 ，正态 4．调和 5. F 6． 2 7．泊松 8. 对称 9. 超几何分布 10. 稀有 二、单项选择 1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 三、多项选择 1．ABC 2.．AF 3．ACDE 4．ABE 5．ABC 6．BC 四、名词解释 1．超几何分布 超几何分布以样本内的成功事件的个数 x 为随机变量。若总体单位数为 N，其中成功类 共有 K 个，设从中抽取 n 个为一样本，则样本中成功类个数 x 的超几何概率分布为 P（x）＝H（x：N，n，K）＝ n N n x N K x K C C C − − 式中：x≤K，0≤x≤n,0≤K≤N。 超几何分布的数学期望μ＝ N nK ，方差σ 2＝ ( 1) ( )( ) − − − N N n N n N K K 2．泊松分布 泊松分布为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为 成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过 5 次的成功概 率可忽不计，那么稀有事件出现的次数 x 的泊松概率分布为 P（x）＝P（x；λ）＝ − e x x ! 泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。 3．卡方分布 设随机变量 X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布 N (μ，σ2 )。那么， 我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1，Z2，…Zk，k 个独立标准正态变量的平方和被定义 为卡方分布（ 2 分布）的随机变量 2
(k)=( ∑(X1-1)2=∑Z2 其中k为卡方分布的自由度,它表示定义式中独立变量的个数 x2分布的期望值是自由度k,方差值为自由度的2倍。 4.F分布 F分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。设x2(k1)和x2(k2)相互 独立,那么随机变量 F(k,,k=x(,)/k, k2)/k 服从自由度为(k1,k2)的F分布。其中,分子上的自由度k叫做第一自由度,分母上 的自由度k2叫做第二自由度。 五、判断题 六、计算题 1.0.275 2.0.0140 3.解:抽到不合格单位数量x服从№=40、n=4的超几何分布 (1)K=1时P(x=1) C4C364×7140 913900.3125 (2)K=0时P(x=0)=-436= 1×58905 =0.6445 91390 (3)K=4,№=40、n=4 nK4×4 ECx N d=D()=(N-n)-K)K4×(40-4)×(40-4)×4 =0.3323 40×(40-1) 4.λ=0.3,P(1:λ)=0.2222
6 2 （ k ）＝（ X1 − ） 2 + （ X2 − ） 2 + … + （ Xk − ） 2 ＝ = − k i Xi 1 2 2 ( ) 1 ＝= k i Zi 1 2 其中 k 为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。 2 分布的期望值是自由度 k，方差值为自由度的 2 倍。 4．F 分布 F 分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。设 2 （ 1 k ）和 2 （ 2 k ）相互 独立，那么随机变量 F（ 1 k ， 2 k ）＝ 2 2 2 1 1 2 ( )/ ( )/ k k k k 服从自由度为( 1 k ， 2 k )的 F 分布。其中，分子上的自由度 1 k 叫做第一自由度，分母上 的自由度 2 k 叫做第二自由度。 五、判断题 1．（ × ） 2．（ √ ） 3．（ √ ） 4．（ × ） 5．（ √ ） 6．（ √ ） 7．（ √ ） 8.（ × ） 9.（ √ ） 10.（ √ ） 六、计算题 1．0.275 2．0.0140 3．解：抽到不合格单位数量 x 服从 N＝40、n＝4 的超几何分布 （1） K＝1 时 P（x＝1）＝ 4 40 3 36 1 4 C C C ＝ 91390 4 7140 ＝0．3125 （2） K＝0 时 P（x＝0）＝ 4 40 4 36 0 4 C C C ＝ 91390 158905 ＝0．6445 （3）K＝4，N＝40、n＝4 μ＝E(x)＝ N nK = 40 4 4 = 0.1 σ 2＝D (x)＝ ( 1) ( )( ) 2 − − − N N n N n N K K = 40 (40 1) 4 (40 4) (40 4) 4 2 − − − = 0.3323 4．λ＝ 0.3，P（1；λ）=0.2222
5.提示:用泊松分布近似二项分布:P(x≥5;A)=1P(1:A)一P(2;A) (3;λ)-P(4:λ)=0.371 6.0.0821 7.≈0.75 8.0.369 9.2.69 10.1.874 七、问答题 1.答 (1)x2恒为正值,且「o(x2:k)dx2=1 (2)x2分布的期望值是自由度k,方差值为自由度的2倍,即对x2(k)有 E(x2)=k,D(x2)=2k 对k2时,F 分布则为钟形,当k→∞时,F分布趋于对称 (3)具有一定程度的反对称性,即F1-a和1/F交换,同时k也和k2交换,这不影响 相应的概率:F-a(k1,k2)= Fa(k,,k,)
7 5．提示：用泊松分布近似二项分布；P（x≥5；λ）=1—P（1；λ）—P（2；λ）—P （3；λ）—P（4；λ）=0.371 6． 0.0821 7． ≈0.75 8． 0.369 9． 2.69 10．1.874 七、问答题 1．答： (1) 2 恒为正值，且 + 0 2 2 ( ;k)d ＝1 (2) 2 分布的期望值是自由度 k，方差值为自由度的 2 倍，即对 2 （ k ）有 E( 2 )＝k , D( 2 )＝2 k 对 k＜2， 2 分布呈 L 形。 2 分布随自由度 k 的增加而渐趋对称。当 k→∞时， 2 分 布以正态分布为极限。 2．答： (1) 随机变量 F 和随机变量 2 一样，恒取正值，F 分布密度曲线下总面积亦为 1。 (2) F 分布也是一个连续的非对称分布。当 1 k ≤2 时．F 分布呈 L 形；当 2 k ＞2 时，F 分布则为钟形，当 1 k →∞时，F 分布趋于对称。 (3) 具有一定程度的反对称性，即 F1-α和 1／Fα交换，同时 1 k 也和 2 k 交换，这不影响 相应的概率: F1-α（ 1 k ， 2 k ）＝ ( , ) 1 2 1 F k k
