案例二十:没有披露的数据 、案例 某位统计专家曾经建议,在被告知某个调查的结果时,你需要做的就是反问 一句:“为了得出这个结论,你调查了多少名被访者?” 正如以前曾指出的那样,采用严重有偏的样本几乎能够产生任何人需要的任 何结果。只要样本容量足够小,或者你尝试足够多的次数,正确的随机样本也可 以达到上述效果。 用户反映使用多克斯( Doakes)牌牙膏将使蛀牙减少23%”,大字标题历 历在目。你希望减少23%的痛苦,于是接着往下读。你发现这些结论出自一家信 誉良好的"独立″实验室,并且还经过了注册会计师的证实。有了这些,你还想知 道什么呢? 然而,如果你不是特别容易轻信他人,或者不是一个盲目乐观的人,经验将 告诉你:一种牙膏很难比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎样制造了上述结论? 如果是说谎,但用大字标题报道这些谎言,他们又如何能够逃避责任呢?事实是, 他们根本无需说谎,下面便是简单而有效的方法。 这里的主要把戏是不充分的样本一统计角度的不充分。但对于多克斯公司来 说已经足够了。只有当你读小字体的文字时才会发现:被测试的用户仅由12人 组成。单凭这点,你便不得不佩服多克斯公司,它留给你一个可能知道全部情况 的机会。有的广告商索性将类似的文字都略去,留给读者一即便他是一个老练的 统计专家—一个猜想:这里面到底玩了什么把戏?从这个角度来说,多克斯公司 由12个人组成的样本还不算太坏。几年前,一种叫做可尼斯博士(Dr. Cornish) 的牙粉上市了,并宣传"在治疗龋齿方面获得了极大成功”,因为该牙粉中含有尿 素,而经过实验室的证明,尿素对于治疗龋齿是有益的。然而,由于实验室的工 作只是刚刚起步,仅仅建立在6个案例之上,毫无疑问这个结论是缺乏意义的。 下面,让我们再回头看看,多克斯公司是怎样轻易地获得一个不存在漏洞并 经得起检验的标题。让规模不大的一组人连续记录6个月的蛀牙数,接着使用多 克斯牙膏。之后一定会发生以下的其中一种结果:蛀牙明显增多,蛀牙明显减少, 或者蛀牙数量无显著变化。如果是第一或者第三种结果,多克斯公司编档保存好
1 案例二十：没有披露的数据 一、案例 某位统计专家曾经建议，在被告知某个调查的结果时，你需要做的就是反问 一句：“为了得出这个结论，你调查了多少名被访者？” 正如以前曾指出的那样，采用严重有偏的样本几乎能够产生任何人需要的任 何结果。只要样本容量足够小，或者你尝试足够多的次数，正确的随机样本也可 以达到上述效果。 “用户反映使用多克斯（Doakes）牌牙膏将使蛀牙减少 23%”，大字标题历 历在目。你希望减少 23%的痛苦，于是接着往下读。你发现这些结论出自一家信 誉良好的"独立"实验室，并且还经过了注册会计师的证实。有了这些，你还想知 道什么呢？ 然而，如果你不是特别容易轻信他人，或者不是一个盲目乐观的人，经验将 告诉你：一种牙膏很难比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎样制造了上述结论？ 如果是说谎，但用大字标题报道这些谎言，他们又如何能够逃避责任呢？事实是， 他们根本无需说谎，下面便是简单而有效的方法。 这里的主要把戏是不充分的样本--统计角度的不充分。但对于多克斯公司来 说已经足够了。只有当你读小字体的文字时才会发现：被测试的用户仅由 12 人 组成。单凭这点，你便不得不佩服多克斯公司，它留给你一个可能知道全部情况 的机会。有的广告商索性将类似的文字都略去，留给读者--即便他是一个老练的 统计专家--一个猜想：这里面到底玩了什么把戏？从这个角度来说，多克斯公司 由 12 个人组成的样本还不算太坏。几年前，一种叫做可尼斯博士（Dr. Cornish） 的牙粉上市了，并宣传"在治疗龋齿方面获得了极大成功"，因为该牙粉中含有尿 素，而经过实验室的证明，尿素对于治疗龋齿是有益的。然而，由于实验室的工 作只是刚刚起步，仅仅建立在 6 个案例之上，毫无疑问这个结论是缺乏意义的。 下面，让我们再回头看看，多克斯公司是怎样轻易地获得一个不存在漏洞并 经得起检验的标题。让规模不大的一组人连续记录 6 个月的蛀牙数，接着使用多 克斯牙膏。之后一定会发生以下的其中一种结果：蛀牙明显增多，蛀牙明显减少， 或者蛀牙数量无显著变化。如果是第一或者第三种结果，多克斯公司编档保存好
当然最好是藏在别人找不到的地方,然后重新实验。由于机遇的作用,迟早有 组被测试者将证明有很好的效果,并且这个结果足以好到作为标题直至引发一场 广告战。事实上,不管实验者使用的是多克斯牙膏,还是发酵粉,或者还是继续 使用原来的品牌,上述结果都会发生 任何由于机遇产生的差异,在大样本的使用中都是微不足道的,不足以作为 广告标题。例如,蛀牙减少%将不会对销量有多大的提升作用。这更显示了使 用小样本的优势。 给定一个足够小的样本,怎样才能完全依靠机遇形成毫无指导性的结论呢? 这个事儿你自己也可以试试,而且几乎不费劲。让我们开始抛一枚便士,有多少 次是头像朝上的呢?当然是一半的次数,这谁都知道 好,让我们检验一下……我刚刚抛了10次,有8次头像朝上,实践证明头 像朝上的概率为80%。那么,关于牙膏的数据也一样。现在,你自己试一下,也 许你会得到50对50的结果,但更有可能是别的结果。你我的结论以相同的可能 性偏离50对50的比例。不过,如果你有足够的耐心,抛上1000次,你基本上 (虽然不一定)能得到一个接近半数的结果,它才代表了真实的概率。只有在进 行了足够多次的实验后,平均数定律才是一种有用的描述,并可用来预测。 那么,多少才算够呢?这又是个棘手的问题。它取决于其他的因素,即你采 用抽样方式所研究的总体容量有多大、变动程度有多大。值得一提的是,有时样 本的规模与看上去的并不一致 这里有一个典型的案例:几年前,有个小儿麻痹症疫苗实验。一个社区中有 450名儿童接种了疫苗,而680名儿童作为对照组没有接种疫苗。看上去,这是 个极大规模的医学实验。不久,该区域感染了流行病,在接种疫苗的儿童中,所 有人都没有患上小儿麻痹症。对照组的儿童也没有发生。这是怎么了?其实在设 计实验时,实验人员忽略了或者没能真正了解到该病的低发生率。一般情况下, 这种规模的小组预计只会产生2名患者。因此,实验从一开始便注定是毫无意义 的。也许将规模扩大到15至20倍才能产生足以具有说服力的结果 许多伟大的医学发现一即使昙花一现一也都是同样地急急上马,“要快”医 生这些话归功于威廉·奥斯勒( William osler)爵士和爱德华·利文斯顿·特 鲁多( Edward Livingston Trudeau)。你可以随便选择一个,既然他们都是医
2 当然最好是藏在别人找不到的地方，然后重新实验。由于机遇的作用，迟早有一 组被测试者将证明有很好的效果，并且这个结果足以好到作为标题直至引发一场 广告战。事实上，不管实验者使用的是多克斯牙膏，还是发酵粉，或者还是继续 使用原来的品牌，上述结果都会发生。 任何由于机遇产生的差异，在大样本的使用中都是微不足道的，不足以作为 广告标题。例如，蛀牙减少 2%将不会对销量有多大的提升作用。这更显示了使 用小样本的优势。 给定一个足够小的样本，怎样才能完全依靠机遇形成毫无指导性的结论呢？ 这个事儿你自己也可以试试，而且几乎不费劲。让我们开始抛一枚便士，有多少 次是头像朝上的呢？当然是一半的次数，这谁都知道。 好，让我们检验一下……我刚刚抛了 10 次，有 8 次头像朝上，实践证明头 像朝上的概率为 80%。那么，关于牙膏的数据也一样。现在，你自己试一下，也 许你会得到 50 对 50 的结果，但更有可能是别的结果。你我的结论以相同的可能 性偏离 50 对 50 的比例。不过，如果你有足够的耐心，抛上 1000 次，你基本上 （虽然不一定）能得到一个接近半数的结果，它才代表了真实的概率。只有在进 行了足够多次的实验后，平均数定律才是一种有用的描述，并可用来预测。 那么，多少才算够呢？这又是个棘手的问题。它取决于其他的因素，即你采 用抽样方式所研究的总体容量有多大、变动程度有多大。值得一提的是，有时样 本的规模与看上去的并不一致。 这里有一个典型的案例：几年前，有个小儿麻痹症疫苗实验。一个社区中有 450 名儿童接种了疫苗，而 680 名儿童作为对照组没有接种疫苗。看上去，这是 个极大规模的医学实验。不久，该区域感染了流行病，在接种疫苗的儿童中，所 有人都没有患上小儿麻痹症。对照组的儿童也没有发生。这是怎么了?其实在设 计实验时，实验人员忽略了或者没能真正了解到该病的低发生率。一般情况下， 这种规模的小组预计只会产生 2 名患者。因此，实验从一开始便注定是毫无意义 的。也许将规模扩大到 15 至 20 倍才能产生足以具有说服力的结果。 许多伟大的医学发现--即使昙花一现--也都是同样地急急上马，“要快”医 生这些话归功于威廉·奥斯勒（William Osler）爵士和爱德华·利文斯顿·特 鲁多（Edward Livingston Trudeau）。你可以随便选择一个，既然他们都是医
生,而且对这个题目都很内行。也许他们都说过这句话,顶多一两个词不同。说, “在还来得及之前,尝试用新的治疗方法。” 我们不能总是只怪罪于医务职业者,有时公众压力和草率的舆论宣传,也会 促使没有经过证实的治疗方法匆匆上马,特别是当需求很大而统计背景又很模糊 时。这也是以前流行的感冒疫苗几年后卷土重来,从而导致近年来抗组织胺药越 来越多的原因。由于疾病的不确定性和缺乏逻辑的严密性,造成了许多不成功“治 疗方法”的流行。其实,只要有足够的时间,感冒会自行痊愈。 检验数据的方法 那么,你如何避免被不科学的结论所愚弄呢?是否每个人都必须成为自己的 统计专家,并亲自研究原始数据?情况并非那么糟。在这里,我们介绍一个易于 理解的显著性检验方法。简单地说,它是一种反映检验数据以多大的可能性代表 实际结论、而不是代表由于机遇产生的其他结论的方法。这便是那些没有透露的 数据一-假设你是个外行读者,你就不会明白其中的奥秘,但如果你掌握了这个方 法,你将理解其中的企图。如果某条信息的来源提供了显著性程度,你将对它有 更深的了解。显著性程度通常简单地用概率来表示,就像普查局以19/20的概率 保证他们的结果是正确的。大多数情况下,5%的显著性水平已经足够,但是如果 有更高的要求,就需要1%的显著性水平,这意味着以99%的概率保证该结果是真 实的,任何类似的事情"在实践上几乎是确定"的。还有另一类没有透露的数据, 它的遗漏也同样具有破坏性。这类数据表明了事物的变动范围以及与给定平均数 的偏离水平。通常情况下,单凭一个平均数来描述事物过于简单,起不到作用, 不管这个平均数是均值还是中位数,也不管平均数的具体类型是否已知。对实际 情况一无所知经常比获得错误的信息要好,也比知之甚少要安全。举个例子来说 为了满足统计出来的平均家庭,即3.6人的家庭,建造了过多的房子。3.6人的 家庭意味着家中有3或4个人,需要两个卧室的房子。虽然是″平均″规模,但是 实际上,这种规模的家庭只是所有家庭的少数。“我们为普通家庭建造平均规格 的房屋。”制造商这么说的同时,却忽略了占很大比例的、有更多人或更少人 的家庭。导致的后果是某些地区重复建造两个卧室的房子,而低估了更大或更小 规模家庭的需求。这是个由具有误导性的、信息不完全的统计数据而造成巨大浪 费的实例。对此,一家大型的公共健康团体指出:“当越过算术平均数,去分析
3 生，而且对这个题目都很内行。也许他们都说过这句话，顶多一两个词不同。说， “在还来得及之前，尝试用新的治疗方法。” 我们不能总是只怪罪于医务职业者，有时公众压力和草率的舆论宣传，也会 促使没有经过证实的治疗方法匆匆上马，特别是当需求很大而统计背景又很模糊 时。这也是以前流行的感冒疫苗几年后卷土重来，从而导致近年来抗组织胺药越 来越多的原因。由于疾病的不确定性和缺乏逻辑的严密性，造成了许多不成功“治 疗方法”的流行。其实，只要有足够的时间，感冒会自行痊愈。 二、检验数据的方法 那么，你如何避免被不科学的结论所愚弄呢？是否每个人都必须成为自己的 统计专家，并亲自研究原始数据？情况并非那么糟。在这里，我们介绍一个易于 理解的显著性检验方法。简单地说，它是一种反映检验数据以多大的可能性代表 实际结论、而不是代表由于机遇产生的其他结论的方法。这便是那些没有透露的 数据--假设你是个外行读者，你就不会明白其中的奥秘，但如果你掌握了这个方 法，你将理解其中的企图。如果某条信息的来源提供了显著性程度，你将对它有 更深的了解。显著性程度通常简单地用概率来表示，就像普查局以 19/20 的概率 保证他们的结果是正确的。大多数情况下，5%的显著性水平已经足够，但是如果 有更高的要求，就需要 1%的显著性水平，这意味着以 99%的概率保证该结果是真 实的，任何类似的事情"在实践上几乎是确定"的。还有另一类没有透露的数据， 它的遗漏也同样具有破坏性。这类数据表明了事物的变动范围以及与给定平均数 的偏离水平。通常情况下，单凭一个平均数来描述事物过于简单，起不到作用， 不管这个平均数是均值还是中位数，也不管平均数的具体类型是否已知。对实际 情况一无所知经常比获得错误的信息要好，也比知之甚少要安全。举个例子来说， 为了满足统计出来的平均家庭，即 3.6 人的家庭，建造了过多的房子。3.6 人的 家庭意味着家中有 3 或 4 个人，需要两个卧室的房子。虽然是"平均"规模，但是 实际上，这种规模的家庭只是所有家庭的少数。“我们为普通家庭建造平均规格 的房屋。” 制造商这么说的同时，却忽略了占很大比例的、有更多人或更少人 的家庭。导致的后果是某些地区重复建造两个卧室的房子，而低估了更大或更小 规模家庭的需求。这是个由具有误导性的、信息不完全的统计数据而造成巨大浪 费的实例。对此，一家大型的公共健康团体指出：“当越过算术平均数，去分析
实际的家庭人口范围时,我们发现3人或4人的家庭仅占全部家庭的45%,而35% 是1人或者2人,剩下的20%则多于4人。” 在如此精确而且具有权威性的3.6人面前,常识黯然失色。它莫名其妙地战 胜了人们通过观察便可发现的事实:许多家庭规模比之小,还有相当一部分比之 大 几乎以相同的方式,《格塞尔常模》( Gesells norms)中遗漏的数据给许 多父母带来了痛苦。让我们做这样的假设,就如同许多父母在阅读《星期天》 ( Sunday)报纸所做的一样,当一对父母读到"孩子"将在某月份学会坐直的内 容时,他们会立刻联想到自己的孩子。如果恰恰孩子在指定的月份还不能坐直, 他们一定会认为孩子智力迟钝、发育不正常,或者得出其他同样令人哀怨的结论。 既然一半的孩子在那时都还坐不直,那将会有很多家长为此苦恼。当然,从数学 的角度来说,这些不愉快将与另一半聪明孩子家长的喜悦相互平衡。但是,当不 开心的家长做出种种努力使孩子与标准一致时,将产生很大的伤害。 所有这些并不是为了责备阿诺德·格塞尔( Arnold gesell)博士或者他的 方法。错误出在向下传递信息的筛选过程。信息从研究者经过耸人听闻或所知不 多的作者,最后传递给读者,读者根本无法察觉这个过程中遗漏的信息。如果能 给常态或者平均数加上反映范围的指标,许多误会将消除。当发现自己的宝贝属 于正常范畴时,父母则不必为微小且无意义的差异而担心。几乎没有人能在所有 方面都恰好符合标准,就如同抛100次硬币,几乎不可能正好出现50个正面和 50个反面 将″正常的″与″期望的″混为一谈,导致事情变得更糟。格塞尔博士仅仅描述 了一些通过观察得到的事实,是那些阅读书和文章的父母错下结论:晚一天或晚 一个月学会走路的孩子是低能儿 由于将正常误解为好的、对的、应该如此的等价物,许多人对阿尔弗雷德·金 西博士的那篇著名报告作出了愚蠢的批评,虽然也许他们几乎没有认真读过这篇 报告。金西博土被指责有教唆年轻人的嫌疑,因为他向他们灌输某些观念,特别 是他将各种普遍存在却未经认可的性行为称为正常。实际上,金西博士只是指出 他发现这种行为很普遍,因此称之为正常,但是他并没有为这些行为贴上许可的 标记,这些行为是否符合规矩并不属于他的研究范围。只是他恰巧涉及了一个使
4 实际的家庭人口范围时，我们发现 3 人或 4 人的家庭仅占全部家庭的 45%，而 35% 是 1 人或者 2 人，剩下的 20%则多于 4 人。” 在如此精确而且具有权威性的 3.6 人面前，常识黯然失色。它莫名其妙地战 胜了人们通过观察便可发现的事实：许多家庭规模比之小，还有相当一部分比之 大。 几乎以相同的方式，《格塞尔常模》（Gesells norms）中遗漏的数据给许 多父母带来了痛苦。让我们做这样的假设，就如同许多父母在阅读《星期天》 （Sunday）报纸所做的一样，当一对父母读到 "孩子"将在某月份学会坐直的内 容时，他们会立刻联想到自己的孩子。如果恰恰孩子在指定的月份还不能坐直， 他们一定会认为孩子智力迟钝、发育不正常，或者得出其他同样令人哀怨的结论。 既然一半的孩子在那时都还坐不直，那将会有很多家长为此苦恼。当然，从数学 的角度来说，这些不愉快将与另一半聪明孩子家长的喜悦相互平衡。但是，当不 开心的家长做出种种努力使孩子与标准一致时，将产生很大的伤害。 所有这些并不是为了责备阿诺德·格塞尔（Arnold Gesell）博士或者他的 方法。错误出在向下传递信息的筛选过程。信息从研究者经过耸人听闻或所知不 多的作者，最后传递给读者，读者根本无法察觉这个过程中遗漏的信息。如果能 给常态或者平均数加上反映范围的指标，许多误会将消除。当发现自己的宝贝属 于正常范畴时，父母则不必为微小且无意义的差异而担心。几乎没有人能在所有 方面都恰好符合标准，就如同抛 100 次硬币，几乎不可能正好出现 50 个正面和 50 个反面。 将"正常的"与"期望的"混为一谈，导致事情变得更糟。格塞尔博士仅仅描述 了一些通过观察得到的事实，是那些阅读书和文章的父母错下结论：晚一天或晚 一个月学会走路的孩子是低能儿。 由于将正常误解为好的、对的、应该如此的等价物，许多人对阿尔弗雷德·金 西博士的那篇著名报告作出了愚蠢的批评，虽然也许他们几乎没有认真读过这篇 报告。金西博士被指责有教唆年轻人的嫌疑，因为他向他们灌输某些观念，特别 是他将各种普遍存在却未经认可的性行为称为正常。实际上，金西博士只是指出 他发现这种行为很普遍，因此称之为正常，但是他并没有为这些行为贴上许可的 标记，这些行为是否符合规矩并不属于他的研究范围。只是他恰巧涉及了一个使
许多人头疼的话题,涉及这样一个高度敏感的话题却不迅速表明你是支持或是反 对的态度,看来是十分危险的。 这些没有透露的数据,其欺骗性在于:人们经常忽略了它们是否存在。这当 然也是它取得成功的奥秘。报界批评家一-其作风与现在的批评家一样老练一一直 哀叹新闻工作者缺乏严谨的跑新闻的工作作风,并严厉地指责”椅子记者”一那些 缺乏批判意识、仅靠重写政府报道混日子的人。从新闻杂志《两星期》 Fortnight) 的”新的工业进步"栏目中挑选一条新闻:"来自西屋( Westinghouse)的消息: 一种能提高钢材硬度两倍的新冷轧槽已经发明。"从中可一窥报界的无所作为 听上去真是有了长足的进步,可是直到你要认真研究这到底意味着什么时,才会 发现:它实际上像水银球一样令人难以捉摸。是否这种新的冷轧槽使所有种类的 钢材硬度达到未处理前的三倍?又或者它能产生一种硬度是以前所有钢材三倍 的新钢材?它是如何做到的?看上去,记者仅仅只是写了一行文字,却并没有弄 清这些文字的真正含义,同时期待着读者抱着能学到某些东西的快乐幻觉下,毫 无批判精神地读这些文字。这容易使人联想起对采用讲课方式进行教学指导的古 老定义:这是一个将教师书中的内容在没有经过双方大脑的情况下,转化成学生 笔记的过程。 几分钟之前,当我查阅《时代》杂志关于金西博士的内容时,突然想到了另 则类似的报道,这些报道只要多看一眼,就会像危房一样坍塌。这是1948年 些电力公司联合推出的广告:"今天,超过3/4的美国农场接上了电……"听上 去真不错,这些公司真是尽职尽责。当然,如果你是挑剔的人,你还可以这样解 释:"将近1/4的美国农场还没接上电。"但真正的把戏却并不在此,而在于使用 ″接上"这个词。用了这个词,电力公司可以把事情描述成他们所希望的任何效果 很明显,"接上″并不意味着所有这些农场已接通了电,否则,广告上一定会如实 报道。据我所知,他们的"接上"只能说明电线从那些农场经过,或铺设在离开农 场几十或者上百英里的范围之内。 让我引用一篇文章的标题-《现在就来预测孩子将来长多高》( You Can tell Now HOW TALL YOUR CHILD WILL GROW),这篇文章刊登在一个大众化的杂志上。 文章中的两张表格特别抢眼,一张适用于男孩,另一张适用于女孩,这两张表给
5 许多人头疼的话题，涉及这样一个高度敏感的话题却不迅速表明你是支持或是反 对的态度，看来是十分危险的。 这些没有透露的数据，其欺骗性在于：人们经常忽略了它们是否存在。这当 然也是它取得成功的奥秘。报界批评家--其作风与现在的批评家一样老练--一直 哀叹新闻工作者缺乏严谨的跑新闻的工作作风，并严厉地指责"椅子记者"--那些 缺乏批判意识、仅靠重写政府报道混日子的人。从新闻杂志《两星期》（Fortnight） 的"新的工业进步"栏目中挑选一条新闻："来自西屋（Westinghouse）的消息： 一种能提高钢材硬度两倍的新冷轧槽已经发明。"从中可一窥报界的无所作为。 听上去真是有了长足的进步，可是直到你要认真研究这到底意味着什么时，才会 发现：它实际上像水银球一样令人难以捉摸。是否这种新的冷轧槽使所有种类的 钢材硬度达到未处理前的三倍？又或者它能产生一种硬度是以前所有钢材三倍 的新钢材？它是如何做到的？看上去，记者仅仅只是写了一行文字，却并没有弄 清这些文字的真正含义，同时期待着读者抱着能学到某些东西的快乐幻觉下，毫 无批判精神地读这些文字。这容易使人联想起对采用讲课方式进行教学指导的古 老定义：这是一个将教师书中的内容在没有经过双方大脑的情况下，转化成学生 笔记的过程。 几分钟之前，当我查阅《时代》杂志关于金西博士的内容时，突然想到了另 一则类似的报道，这些报道只要多看一眼，就会像危房一样坍塌。这是 1948 年 一些电力公司联合推出的广告："今天，超过 3/4 的美国农场接上了电……"听上 去真不错，这些公司真是尽职尽责。当然，如果你是挑剔的人，你还可以这样解 释："将近 1/4 的美国农场还没接上电。"但真正的把戏却并不在此，而在于使用 "接上"这个词。用了这个词，电力公司可以把事情描述成他们所希望的任何效果。 很明显，"接上"并不意味着所有这些农场已接通了电，否则，广告上一定会如实 报道。据我所知，他们的"接上"只能说明电线从那些农场经过，或铺设在离开农 场几十或者上百英里的范围之内。 让我引用一篇文章的标题--《现在就来预测孩子将来长多高》（You Can Tell Now HOW TALL YOUR CHILD WILL GROW），这篇文章刊登在一个大众化的杂志上。 文章中的两张表格特别抢眼，一张适用于男孩，另一张适用于女孩，这两张表给
出了每个年龄阶段孩子的身高与最终身高的比例。“预测孩子长大后的身高”标 题如是写道,“只需要利用现有的身高,再查表中的比例即可。” 可笑的是,只要你继续往下看,便会发现文章本身就指出了这些表格的致命 缺点。所有孩子的生长方式并不是完全一致的。有的一开始长得很慢,却突然长 高:有的暂时很高,然后速度趋缓;还有的人在整个过程中相对平稳地成长。这 两张表,正如你所疑惑的,是基于进行了大量测量之后所取的平均数。对于随机 抽取的100名年轻人,利用这两张表格预测他们未来的总身高或者平均身高,毫 无疑问是足够准确的。但是,家长感兴趣的只是一个孩子的具体高度,对于个体, 这两张表是没有价值的。如果真的想预测孩子未来的身高,父母及祖父、祖母的 身高或许更有用,尽管这种方法和上述表格一样并不科学,也不精确,但结果的 准确性至少相当 我很高兴地指出,在14岁到高中接受军训时,我站在最小班级的后排,利 用当时记录的身高做一个预测,我的最终净身高为5英尺8英寸,但是,现在我 已经有5英尺11英寸了。在人类身高中,3英寸的差距足以说明这是个差劲的 估计 在我面前有两盒葡萄坚果薄饼的包装纸。它们来自于不同的生产批次,这 点从产品鉴定上就可以看出。其中一个引用了双枪皮特( Two Gun pete)的形象 而另一个写道:“如果你想像霍皮(Hopy)一样……你就得像霍皮一样吃 它们都提供了说明图(“科学家证明是真实的!”)来证实这些薄饼“在2分钟 之内开始提供能量!”一张图被大量感叹句所包围,其纵轴标有数据:而另一张 图却遗漏了这些数据。既然没有关于这些数据的任何说明,有没有这些图都一样。 两张图都有一条急剧攀升的红色曲线,曲线代表着“能量释放”,但是其中一条 曲线开始于吃葡萄坚果薄饼一分钟后,而另一条却开始于两分钟后。一条曲线的 攀升速度看上去是另一条的两倍,这暗示着连制图者都不清楚这两张图能说明什 么问题。 当然,类似愚蠢的数据只会出现在青少年或者早晨疲倦不堪的父母眼前。没 有人会用这种统计废话来挑衅一个著名商人的智商……难道有人会这么做?让
6 出了每个年龄阶段孩子的身高与最终身高的比例。“预测孩子长大后的身高”标 题如是写道，“只需要利用现有的身高，再查表中的比例即可。” 可笑的是，只要你继续往下看，便会发现文章本身就指出了这些表格的致命 缺点。所有孩子的生长方式并不是完全一致的。有的一开始长得很慢，却突然长 高；有的暂时很高，然后速度趋缓；还有的人在整个过程中相对平稳地成长。这 两张表，正如你所疑惑的，是基于进行了大量测量之后所取的平均数。对于随机 抽取的 100 名年轻人，利用这两张表格预测他们未来的总身高或者平均身高，毫 无疑问是足够准确的。但是，家长感兴趣的只是一个孩子的具体高度，对于个体， 这两张表是没有价值的。如果真的想预测孩子未来的身高，父母及祖父、祖母的 身高或许更有用，尽管这种方法和上述表格一样并不科学，也不精确，但结果的 准确性至少相当。 我很高兴地指出，在 14 岁到高中接受军训时，我站在最小班级的后排，利 用当时记录的身高做一个预测，我的最终净身高为 5 英尺 8 英寸，但是，现在我 已经有 5 英尺 11 英寸了。在人类身高中，3 英寸的差距足以说明这是个差劲的 估计。 在我面前有两盒葡萄坚果薄饼的包装纸。它们来自于不同的生产批次，这一 点从产品鉴定上就可以看出。其中一个引用了双枪皮特（Two Gun Pete）的形象， 而另一个写道：“如果你想像霍皮（Hoppy）一样……你就得像霍皮一样吃。” 它们都提供了说明图（“科学家证明是真实的！”）来证实这些薄饼“在 2 分钟 之内开始提供能量！”一张图被大量感叹句所包围，其纵轴标有数据；而另一张 图却遗漏了这些数据。既然没有关于这些数据的任何说明，有没有这些图都一样。 两张图都有一条急剧攀升的红色曲线，曲线代表着“能量释放”，但是其中一条 曲线开始于吃葡萄坚果薄饼一分钟后，而另一条却开始于两分钟后。一条曲线的 攀升速度看上去是另一条的两倍，这暗示着连制图者都不清楚这两张图能说明什 么问题。 当然，类似愚蠢的数据只会出现在青少年或者早晨疲倦不堪的父母眼前。没 有人会用这种统计废话来挑衅一个著名商人的智商……难道有人会这么做？让
我给你看一个广告代理机构用于宣传自己的广告(我希望它不会让人感到疑惑不 解),它刊登在《财富》( Fortune)杂志的专栏中。图中曲线意欲向人们显示 这家广告公司年复一年惊人的发展趋势。但图中没有一个数字,这样一来,它既 可以代表一个骇人的发展速度,每年翻番或增长几百万美金,又可以意味着在年 十亿总收入的基础上,增加一美元或两美元相对稳定的蛇状爬行。但仅从图上看, 其发展速度让人印象深刻。 当遗漏了上述的重要数据时,我们需要对平均数、图表或者趋势保留一些怀 疑。否则,你会和一个仅仅根据平均气温选择野营地点的人一样盲目。也许你会 认为,61华氏度是个不错的年平均气温,而在加利福尼亚州,如果仅根据平均 气温,却忽略气温的波动范围,你可能会在内陆沙漠或者远离南海岸线的圣·尼 古拉斯群岛两者中进行选择,那么,你不是被烤焦就是被冻僵。因为圣·尼古拉 斯群岛气温的波动范围是47~87华氏度,而沙漠气温的波动范围是15~104华 氏度。根据以往60年的记录,俄克拉荷马城具有十分相似的平均温度:60.2华 氏度。但是,正如你从下图所看到的,这个舒适凉爽的数字遮盖了130华氏度的 气温波动范围
7 我给你看一个广告代理机构用于宣传自己的广告（我希望它不会让人感到疑惑不 解），它刊登在《财富》（Fortune）杂志的专栏中。图中曲线意欲向人们显示 这家广告公司年复一年惊人的发展趋势。但图中没有一个数字，这样一来，它既 可以代表一个骇人的发展速度，每年翻番或增长几百万美金，又可以意味着在年 十亿总收入的基础上，增加一美元或两美元相对稳定的蛇状爬行。但仅从图上看， 其发展速度让人印象深刻。 当遗漏了上述的重要数据时，我们需要对平均数、图表或者趋势保留一些怀 疑。否则，你会和一个仅仅根据平均气温选择野营地点的人一样盲目。也许你会 认为，61 华氏度是个不错的年平均气温，而在加利福尼亚州，如果仅根据平均 气温，却忽略气温的波动范围，你可能会在内陆沙漠或者远离南海岸线的圣·尼 古拉斯群岛两者中进行选择，那么，你不是被烤焦就是被冻僵。因为圣·尼古拉 斯群岛气温的波动范围是 47～87 华氏度，而沙漠气温的波动范围是 15～104 华 氏度。根据以往 60 年的记录，俄克拉荷马城具有十分相似的平均温度：60.2 华 氏度。但是，正如你从下图所看到的，这个舒适凉爽的数字遮盖了 130 华氏度的 气温波动范围
