第十章重积分及曲线积分计算愿及答案 1,改变下列各积分的积分次序 fofro.n a「海 afofo.no o后 2.计算下列各二重积分. ∬e" (1) ,其中D是由可+川所围成区城 ∬cosx+h (2 ,其中D是由不=0，y=,y■不所围的三角形区 域 小(x2+y (3) ,其中D是由曲线y=x,x=少所围成区 城. ∬-x2-y (4) ,其中D是圆域x+y≤1在第一象限部 分 ∬a>0) 5)6V2a-x ,其中D是由圆心在(a,a),半径为 ā，与坐标轴相切的较短和坐标轴所围成的区域 3。用极坐标变换计算下列二重积分. ∬x2+y2d (1)0 ，其中0为圆域x2+y2≤2m a+r+yt ，其中D为四分之一圆域
第十章 重积分及曲线积分计算题及答案 1．改变下列各积分的积分次序. (1) dy f x y dx y y ( , ) 0 1 (2) − − 2 1 2 2 2 ( , ) x x x dx f x y dy (3) dx f x y dy e x ( , ) ln 1 0 (4) − − − 1 1 1 1 2 2 ( , ) x x dx f x y dy － 2．计算下列各二重积分． (1) e dxdy x y D + ，其中 D 是由 x + y 1 所围成区域． (2) cos(x y)dxdy D + ，其中 D 是由 x = 0，y = x，y = 所围的三角形区 域． (3) + D (x y)dxdy 2 ，其中 D 是 由 曲 线 2 2 y = x , x = y 所围成区 域． (4) 1 2 2 − − x y dxdy D ，其中 D 是圆域 x y 2 2 + 1 在第一 象限部 分． (5) dxdy a x a D 2 0 − （ ） ，其中 D 是由圆心在 (a,a) ，半径为 a ，与坐标轴相切的较短弧和坐标轴所围成的区域． 3．用极坐标变换计算下列二重积分． (1) (x y )dxdy D 2 2 + ，其中 D 为圆域 x y 2ax 2 2 + ． (2) + + D ln(1 x y )dxdy 2 2 ，其中 D 为四分之一圆域
x2+y2≤1.x20y20 ∬sinv+y 3 ,其中D为圈环≤x2+y2≤4x2 ∬fx,d 4.把二重积分 在极坐标系中化为二次积分，其中： ()D是由之+少-4之+少-9y-,y=5x所围成在第一象刷内的区 ②)D是由x+y≤4.x+y≥2x,y之0.x之0所围成的. 5.计算下列三重积分 ∬本小b是由：-y-x-0,xa (1 所围成的区域 在dt (2) ”0+x+少+了，y是由x+y+:1与三个坐标平面所围成的区 川ycosx+-d y=√x,y=0,:=0,x+:= 3 ,P是由 所调的空同 立体区城。 6.利用柱坐标或球坐标变换计算下列各积分. 项+yhk0e=2+r:=2调我 (1) ∬at (2) y是由+y=:=0,=1所围成 dxdhd,V:sx+y+:s4x' (3) x+y+ ∬(x2+y2+2t,y2+x2s2,x2+y2+2sR2,:20 (40 7,这择适当的坐标变换计算
1, 0, 0 2 2 x + y x y ． (3) sin x y dxdy D 2 2 + ，其中 D 为圆环 2 2 2 2 x + y 4 ． 4．把二重积分 f x y dxdy D ( , ) 在极坐标系中化为二次积分，其中： (1) D 是由 x y 4 x y 9 y x y 3x 2 2 2 2 + = ， + = ， = ， = 所围成在第一象限内的区 域． (2) D 是由 4 2 2 x + y , 2 , 0, 0 2 2 x + y x y x 所围成的． 5．计算下列三重积分． (1) xyzdxdydz V z y y x z x a V = = = = ， 是由 , , 0, 所围成的区域． (2) dxdydz x y z V (1 ) 3 + + + ，V 是由 x + y + z = 1 与三个坐标平面所围成的区 域． (3) y x z dxdydz V cos( + ) ，V 是由 y = x，y = 0，z = 0，x + z = 2 所围的空间 立体区域． 6．利用柱坐标或球坐标变换计算下列各积分． (1) + ：由 = ( + ), = 2围成 2 1 ( ) , 2 2 2 2 x y dxdydz z x y z ． (2) xyzdxdydz V ，V 是由 1 0 1 2 2 x + y = ，z = ，z = 所围成． (3) cos x y z x y z dxdydz V x y z V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 + + + + + + ， ： ． (4) (x y z )dxdydz V y x z x y z R z V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + 0 ， ： ， ， 7．选择适当的坐标变换计算
。-6 ∬时+b 8.计算 。+广-4h 9.计算 其中D为圆城：x产+y2≤16
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − + + c z b y a x dxdydz V c z b y a x V － ， ： ． 8．计算 ( x y )dxdy x y + + 1 9．计算 + − D x y 4 dxdy, 2 2 其中 D 为圆域： 16 2 2 x + y ． 10．计算 + 1 2 1 2 1 4 1 2 1 y y x y y x y dy e dx dy e dx
答案 L答案：a/财 e〔低a 8f达 w[昭+=fa 2答案：(1)e-e (2》-2 33 (3)140 (4)6 (5) 5-8 3 d答案：1) h4-) 答案：(2)4 容案：(3)-6x2 值do8, 4.答案：(1》 管：2)d0reas0 sin Dnadr a 5答案：(1》48
答案 1. 答案：（1） 1 0 2 ( , ) x x dx f x y dy （2） + − − 1 0 1 1 2 2 ( , ) y y dy f x y dx （3） 1 0 ( , ) e e y dy f x y dx （4） dy f x y dx dy f x y dx y y y − y − − − − − − + 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 ( , ) ( , ) 2. 答案：（1） −1 e − e （2）－2 （3） 140 33 （4） 6 （5） 2 3 ) 3 8 (2 2 − a 3. 答案：（1） 4 2 3 a 答案：（2） (ln 4 1) 4 − 答案：（3） 2 − 6 4. 答案：（1） 3 4 3 2 ( cos , sin ) d f r r rdr 答案：（2） 2 0 2 2cos ( cos , sin ) d f r r rdr 5. 答案：（1） 48 6 a
答案：(2)2 h2- 答多，)不 答案：(3)8x x'abe 7.答案：4 8答案，3 9.答案：80m
答案：（2） ) 8 5 (ln 2 2 1 − 6. 答案：（1） 3 16 答案：（3） 8 7. 答案： 4 2 abc 8. 答案： 3 4 9. 答案： 80 10. 答案： e e 2 1 8 3 − ．