计算机问题求解一论题4-1 -群与循环群 2021年3月1日
计算机问题求解 – 论题4-1 - 群与循环群 2021年3月1日
问题1：什么是一个algebraic structures? Table 3.1.Multiplication table for Zs 012345 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 集合，及集合 1 2 4 5 6 7 上定义的若干 23 0 2 4 6 2 4 6 0 3 6 1 封闭的运算 2 5 4567 4 0 4 0 2 7 4 1 6 3 0 6 4 0 6 4 2 0 7 5 4 3 2 1 (Z8
问题1：什么是一个algebraic structures？ （Z8，•） 集合，及集合 上定义的若干 封闭的运算
运算及其性质 Proposition 3.1 Let Zn be the set of equivalence classes of the integers mod n and a,b,c∈Zn. 1.Addition and multiplication are commutative: 2.Addition and multiplication are associative: 3.There are both an additive and a multiplicative identity: 4.Multiplication distributes over addition: 5.For every integer a there is an additive inverse-a: 6.Let a be a nonzero integer.Then gcd(a,n)=1 if and only if there erists a multiplicative inverse b for a (mod n);that is,a nonzero integer b such that ab =1 (mod n)
运算及其性质
第二例： Figure 3.2.Symmetries of a triangle B identity B id= A Table 3.2.Symmetries of an equilateral triangle B id p2 1 2 3 rotation A B id id P1 3 P1= 2 B A P1 id 3 1 2 P2 p2 id 3 1 B 2 43 d P rotation P2= A 2 B 吗 1 2 P 话 内记 B B = A B 等边三角形的对称变换（函数） refection B 2= B 在函数复合运算上构成的代 4 数系统 refection B 3= B
第二例： 等边三角形的对称变换(函数) 在函数复合运算上构成的代 数系统
代数系统中的特定元素称谓 ·单位元：左单位元，右单位元 ·系统级的概念 ·零元：左零元，右零元 ·系统级的概念 ·逆元：左逆，右逆 ·依赖于单位元的存在 ·元素级的含义？ ·系统级的含义？
代数系统中的特定元素称谓 • 单位元：左单位元，右单位元 • 系统级的概念 • 零元：左零元，右零元 • 系统级的概念 • 逆元：左逆，右逆 • 依赖于单位元的存在 • 元素级的含义？ • 系统级的含义？
Table 3.4.Multiplication table for U(8) 3 1 5 7 1 1 3 57 3 3 175 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 在U(⑧)系统中，我们看到了结合律、单位元、看到了逆元，看到了群 代数系统 半群 独异点 群
在U(8)系统中，我们看到了结合律、单位元、看到了逆元，看到了群 代数系统 半群 独异点 群
Table 3.4.Multiplication table for U(8) 3 1 5 7 1 1 3 57 3 3 1 75 5 7 13 7 7 53 1 在U(8)系统中，我们看到了群，看到了这样的结构： 5 3
在U(8)系统中，我们看到了群，看到了这样的结构： 1 3 5 7
再看等边三角形变换系统 01 Table 3.2.Symmetries of an equilateral triangle id P1 P2 41 2 3 id P1 1 2 μ3 P1 id 3 1 2 P2 d P 2 3 1 U3 p 3 id P2 2 吗 a 3 a 2 也是一个群
再看等边三角形变换系统 id ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3 也是一个群
群-一种“公理化”定义的代数系统 The law of composition is associative.That is, 问题2：结合律 (aob)oc=ao(boc) 为什么会被放进 fora,b,c∈G. 群公理中？ There exists an element e G,called the identity element,such that for any element a EG eo a aoe a. For each element a G,there exists an inverse element in G, denoted by a-1,such that aoa-1=a-loa=e
群 – 一种“公理化”定义的代数系统 问题2：结合律 为什么会被放进 群公理中？
结合律的作用 Proposition 3.19.Let G be a group.If a,bEG,then (ab)-1=b-1a-1. PROOF.Leta,b∈G.The abb-la-1 aca-1 aa-1=e.Similarly,b-la-lab =e.But by the previous proposition,inverses are unique;hence,(ab)-1=b-la-1. 口 问题3：如果这 里的运算实例化 为加法，这个计 算过程如何重写？
结合律的作用 问题3：如果这 里的运算实例化 为加法，这个计 算过程如何重写？