南京邮电大学：《量子物理》第十九章（19-8）量子力学简介

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 薛定谔( Erwin schr6 Dinger, 1887~1961)奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 量子力学建立于1923~1927年间,两个等 价的理论—矩阵力学和波动力学 相对论量子力学(1928年,狄拉克):描述高 速运动的粒子的波动方程

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 . 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 .

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 波函数概率密度 1)经典的波与波函数 机械波 y(x, t)=Acos 2T(vt- E(x, t)=eo cos 2t(v 电磁波 X H(, t)=Ho cos 2T(vt 经典波为实函数 -12丌(t-) y(x, t)=Rel ae

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 一 波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 ( , ) cos 2π ( ) 0   x E x t  E t  ( , ) cos 2π ( ) 0   x H x t  H t  电磁波 ( , ) cos 2π ( )   x 机械波 y x t  A t  ( , ) Re[ e ] i 2 π ( )   x t y x t A    经典波为实函数

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 2)量子力学波函数(复函数) 描述微观粒子运动的波函数(x,y,2z,t) E h 微观粒子的波粒二象性 自由粒子能量E和动量P是确定的,其德布罗 意频率和波长均不变,可认为它是一平面单色波 平面单色波波列无限长,根据不确定原理,粒子在 x方向上的位置完全不确定 自由粒子平面波函数 ( doG EI-bx)

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 2）量子力学波函数（复函数） ( ) 2 π i 0 ( , ) e Et px h Ψ x t   自由粒子平面波函  数 描述微观粒子运动的波函数 Ψ(x, y,z,t) h E   p h 微观粒子的波粒二象性   自由粒子能量 和动量 是确定的，其德布罗 意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不确定 . E p 

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 3)波函数的统计意义 概率密度表示在某处单位体积内粒子出现的概率 y正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元d中的粒子 的概率为 dv=y dv 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件∫四2dr=1(束缚态)

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子 的概率为 dV Ψ dV Ψ dV 2 *  Ψ d 1 2   归一化条件 Ψ V ( 束缚态 ) 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 3）波函数的统计意义 2 * Ψ  概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 正实数

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 二薛定谔方程(1925年) 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函 数= E 上式取x的二阶偏导数和t的一阶偏导数得 02y4p Oy12汇 Ey or h at h 自由粒子(0<<C)E=EkP 2=2mE k 维运动自由粒子 h ay h ay 的含时薛定谔方程872max2-2兀ot

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 二 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 ( ) 2 π i 0 ( , ) e Et px h Ψ x t   自由粒子平面波函数   上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得 Ψ h p x Ψ 2 2 2 2 2 4π     EΨ t h Ψ i2π     自由粒子 (v  c) E  Ek k 2 p  2mE t h Ψ x Ψ m h       2π i 8π 2 2 2 2 一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 若粒子在势能为E的势场中运动E=Ek+Ep ◆一维运动粒子的含时薛定谔方程 h ay h ap 8兀2max 2+ED(x, t)y 2兀Ot 质量为m的粒子在势场中运动的波函数y=f(x,t) 粒子在恒定势场中的运动Ep=ED(x) P(x, t)=y(xo(t)=yo(x)etEr ◆在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 d y &T m h (E=Ep(x)=0

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 t h Ψ E x t Ψ x Ψ m h        2π ( , ) i 8π 2 p 2 2 2 一维运动粒子的含时薛定谔方程 若粒子在势能为 Ep的势场中运动 E  Ek  Ep 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ Ψ(x,t) ( ) p p 粒子在恒定势场中的运动 E  E x Et h Ψ x t x t x i2 π / 0 ( , ) ( ) ( ) ( )e     在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 ( ) ( ) 0 8π d d 2 p 2 2 2  E  E x  h m x  

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 ◆在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 ay,o,oy,8π2m (E-E2)W=0 z h 2 拉普拉斯算子 2 2 2 2 oz 定态薛定谔方程 8兀4m √2xB2(E-Em=0 定态波函数

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 ( ) 0 8π 2 p 2 2 2 2 2 2 2                E E h m x y z 在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 拉普拉斯算子 2 2 2 2 2 2 2 x y z          ( ) 0 8π 2 p 2 2    E  E   h m 定态薛定谔方程 定态波函数 (x, y,z)

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 定态波函数性质 1)能量E不随时间变化; 2)概率密度W不随时间变化 ◆波函数的标准条件:单值的,有限的和连续的 v2 dxdydz=1可归一化; 00<x,y,z<00 2)V和Ov连续; ax av az 3)(x,y,z)为有限的、单值函数

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . d d d 1 , , 2    x y z 1）  x y z 可归一化 ;  x y z        2） 和 , , 连续 ; 3） (x, y,z) 为有限的、单值函数 . 1）能量 E 不随时间变化； 2）概率密度 不随时间变化 . 2  定态波函数性质

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 维势阱问题 Oo I O 粒子势能E。满足的边界条件 0.0,x≤0,x≥a O 意义 X 1)是固体物理金属中自由电子的简化模型; 2)数学运算简单,量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 d2u 薛定谔方程 V8汇2mE 2v(x)=0 h

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 三 一维势阱问题 Ep  E x x a x a       , 0, 0, 0 p 粒子势能 Ep 满足的边界条件  Ep  o a x 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 . 意义 ( ) 0 8π d d 2 2 2 2  x  h mE x   薛定谔方程

19-8量子力学简介 第十九章量子物理 E→>∞,x≤0,x2a.:=0,(x≤0,.x≥a) Ep =0.0<x<a dy time 0 d h 、82mEd2u Q+3×6 kv=0 O a x y(x=a sin kx t b cos kx 波函数的标准条件:单值、有限和连续 x=0, y=0,. b=0 y(x=asin kx

19 - 8 量子力学简介 第十九章 量子物理 E , x0, xa  0, (x0,xa)  p 2 2 8π h mE k  E 0, 0 x a p 0 8π d d 2 2 2 2     h mE x 0 d d 2 2 2     k x  ( x)  Asin kx  B cos kx 波函数的标准条件：单值、有限和连续 . x  0,   0, B  0 (x)  Asin kx  Ep  o a x