规律表现在: (1)E正的和负的个数差不多,多个的平均近于零; (2)误差小的比误差大的多; (3)不同试验之间,误差的大小是不相关的,即E之间是彼此独立的 用一句话来说,c1是相互独立的随机变量。遵从正态分布N(∠,a2) 式(2-1-1)中和c都是未知的。而真值1可表达为 11=1+(41-)=+a1 式中 a1=11=1 p
3 ij ij ij i ij i i i i 1 1 N ( ) (2 1 2) 1 i p i i a p a = = + − = + − − = = 2 规律表现在： （） 正的和负的个数差不多，多个的平均近于零； （2）误差小的比误差大的多； （3）不同试验之间，误差的大小是不相关的，即 之间是彼此独立的。 用一句话来说， 是相互独立的随机变量。遵从正态分布 （ ， ） 式(2-1-1)中 和 都是未知的。而真值 可表达为： 式中 i − =i 1,2,......,p
μ称为一般平均。a1是对于的偏移,为A的水平效应或主效应。 所以把山理解为 般平均)+(A平均效应) H+a1+8 即:X=(一般平均)+(A平均效应)+(误差) 显然a}之间有关系∑ 2-1-4 a:表示水平A对试验结果产生的影响
4 i i i i i i i p i i i=1 i i a A A X a 1,2,......, (2 1 3) A a a 0 (2 1 4) a ____ A ij ij ij i p X = + + = − − = = − − 称为一般平均。 是 对于 的偏移，为 的水平效应或主效应。 所以把 理解为： （一般平均）＋（ 平均效应） 即： （一般平均）＋（ 平均效应）＋（误差） 显然{ }之间有关系 表示水平 对试验结果产生的影响
方差分析的数学模型的几条假定 (1)X 0=1+a1+E 0 (3)E是相互独立且遵从正态分布N(,a2) 由这三条建立的模型叫做线性模型 建立数学模型后,统计分析需要解决两个问题 (1)参数估计 (2)统计检验
5 i p i i=1 ij X a 1,2,......, j 1,2,......,r 2 a 0 3 N ij ij i p = + + = = = 2 方差分析的数学模型的几条假定 （1） （ ） （ ） 是相互独立且遵从正态分布 （ ， ） 由这三条建立的模型叫做线性模型 建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题 （1）参数估计 （2）统计检验
二)参数估计 参数估计即通过子样(样本,一组试验数据)算出统计量, 用这些统计量和{a;},它们的估计量用和a;表示。 根据子样平均值的定义 x1=∑x=∑(4+a+6)=4+a1+6 (2-1-5) ∑∑(+a+n)=+E(2-1-6) por i=l j=1 式中:61=∑6 P
6 ⚫ （二）参数估计 i _ 1 1 _ 1 1 1 1 1 1 a 1 1 ( ) (2 1 5) 1 1 ( ) (2 1 6) 1 1 r r ij i ij i i j j p p r r ij i ij i j i j r p ij j i x a a r r x a p r p r r p r = = = = = = = = = = + + = + + − − = = + + = + − − • • = = • i _ i _ _ _ i 参数估计即通过子样（样本，一组试验数据）算出统计量， 用这些统计量 和{a }，它们的估计量用 和 表示。 根据子样平均值的定义 x x 式中： 1 (2 1 7) r ij j= − −
x是的一个无偏估计量,记作=x (2-1-8) a的无偏估计是x-x即 2-1-9) 于是(2-1-3)可以改写为:x1=+a1+l 式中反映了误差 根据(2-1-10)对试验数据进行分解,通过数据的分解可看出 水平效应和误差大小
7 _ _ _ _ _ _ i 2 1 8 a (2 1 9) (2 1 10) i i i i ij ij x x x x a x x a l l = − = − − − ij = + + − − 是 的一个无偏估计量，记作 （ －－ ） 的无偏估计是 即 于是(2-1-3)可以改写为： x 式中 反映了误差 根据(2-1-10)对试验数据进行分解，通过数据的分解可看出 水平效应和误差大小
例2一1考察温度对一化工产品的得率的影响,选了五种不同 的温度,同一温度做了三次试验,结果如下: 表2-1测定结果 Al A2 A3 A4 A5 温度(℃)60 70 75 得 90 97 84 84 83 86 88 88 平均得率90 94 95 85 84 总平均x=896
8 ⚫ 例2－1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同 的温度，同一温度做了三次试验，结果如下： A A1 A2 A3 A4 A5 温度(℃) 60 65 70 75 80 得 率 (%) 平均得率 90 97 96 84 84 92 93 96 83 86 88 92 93 88 82 90 94 95 85 84 表2－1测定结果 _ 总平均x = 89.6
总平均x=896 依(2-1-10)式有: =x=89.6 1=x1-4-a1=90896-0.4=0 =90-896=0.4 2=x12-4-a1=92-896-0.4=2 a2=x2-x=94-896=4413=x13-4-a1=88-896-04=-2 x=95-89.6=54 这样x,就可以分解成三个数之和: X1=896+04+0 4=x4-x=85-89.6=-46 89.6+04+2 a5=x5-x=84-896=-56X13=896+04-2
9 _ _ _ _ 1 1 _ _ 2 2 _ _ 3 3 _ _ 4 4 _ _ 5 5 89.6 89.6 90 89.6 0.4 94 89.6 4.4 95 89.6 5.4 85 89.6 4.6 84 89.6 5.6 x x a x x a x x a x x a x x a x x = = = = − = − = = − = − = = − = − = = − = − = − = − = − = − 总平均 11 11 1 12 12 1 13 13 1 90 89.6 0.4 0 92 89.6 0.4 2 88 89.6 0.4 2 89.6 0.4 0 89.6 0.4 2 89.6 0.4 2 ij l x a l x a l x a x = − − = − − = = − − = − − = = − − = − − = − = + + = + + = + − 11 12 13 依(2-1-10)式有： 这样 就可以分解成三个数之和： x x x
对其它数据也进行类似分解,通过对数据 的分解,可以看到分组因素(温度)影响的大 小和试验误差的大小 因: xij=u+a+li 即 +(x:-x 移项: +(x-x 上式说明,测量值与总平均的变差,是组平均值与总平均值 之变差已经测量值与组平均值之变差的和 10
10 ⚫ 对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据 的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大 小和试验误差的大小。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 11) ij ij i ij i i i ij x a l x x x x x x x x x x x x = + + = + − + − − = − + − − − ij ij ij 因： 即： 移项： 上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值 之变差已经测量值与组平均值之变差的和
方差分析的基本方程式(即方差和的加和性原理) (x1-x)的加和=(x1-x)2的加和+(x1-x)2的加和 即总差方和=组间差方和+组内差方和 式中,组内差方和表征分组因素效应的大小 组内差方和表征试验误差的大小
11 _ _ _ _ _ 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 1 12) i i ij x x x x x x − = − + − − − ij 方差分析的基本方程式（即方差和的加和性原理）： 的加和 的加和 的加和 即 总差方和＝组间差方和＋组内差方和 式中，组内差方和____表征分组因素效应的大小 组内差方和____表征试验误差的大小
(三)统计检验 如果统计假设是对的,即因素A对测量指标没有影响,则效应 a1}全为零。设为统计假设H 1、组内变差平方和的平均值 ∑( 组内平方和 组内差方和的平均值 e=Se/p(r-1) 2-1-14 e又称为组内均方
12 ⚫ （三）统计检验 _ 2 1 1 _ _ A H ( ) (2 1 13) _____ / ( 1) (2 1 14) p r ij i i j x x Se p r = = = − − − = − − − i 0 如果统计假设是对的，即因素 对测量指标没有影响，则效应 {a }全为零。设为统计假设 1、组内变差平方和的平均值： Se Se 组内平方和 组内差方和的平均值 Se Se又称为组内均方