通信原理 第10章数字信号最佳接收 1
1 通信原理 第10章 数字信号最佳接收
第10章数字信号最佳接收 。10.1数字信号的统计特性 ·以二进制为例研究接收电压的统计特性。 ·假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其 单边功率谱密度为，；其发送概率分别为P(O)和P(1),则有 P(0)+P(1)=1 ·若此通信系统的基带截止频率小于H,则根据低通信号抽样 定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求 不小于其奈奎斯特速率2f。 ·设在一个码元持续时间Ts内以2f的速率抽样，共得到k个抽 样值：，则有k=2fTs。 2
2 第10章 数字信号最佳接收 ⚫ 10.1数字信号的统计特性 ◼ 以二进制为例研究接收电压的统计特性。 ◼ 假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其 单边功率谱密度为n0；其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有 P(0) + P(1) = 1 ◼ 若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样 定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求 不小于其奈奎斯特速率2fH。 ◼ 设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽 样值：，则有k ＝ 2fHTs
第10章数字信号最佳接收 由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维 概率密度可以写为 f(n)= exp √2π0m 2o2 式中，σ，-噪声的标准偏差； σ2~噪声的方差，即噪声平均功率； i=1,2,.,k。 ·设接收噪声电压(t)的个抽样值的维联合概率密度函数为 fk(n1,n2,.,nk） 3
3 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维 概率密度可以写为 式中，n － 噪声的标准偏差； n 2 － 噪声的方差，即噪声平均功率； i ＝1，2，.，k。 ◼ 设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 = − 2 2 2 exp 2 1 ( ) n i n i n f n ( , , , ) k n1 n2 nk f
第10章数字信号最佳接收 由于高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布 所以其k维联合概率密度函数可以表示为 fk(n,n2,.,nk)=f(n)f(n2).f(nk)= i ·当k很大时，在一个码元持续时间T内接收的噪声平均功率可 表示为： 或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成
4 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 由于高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布， 所以其k 维联合概率密度函数可以表示为 ◼ 当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可 表示为： 或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成 ( ) = = − = k i i n k n f k n n nk f n f n f nk n 1 2 1 2 1 2 2 2 1 exp 2 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) = = = k i i H s k i i n f T n k 1 2 1 2 2 1 1 = = k i i H s T s n f T n t dt T s 1 2 0 2 2 1 ( ) 1
第10章数字信号最佳接收 由于 则： fu-w 式中 f(m)=f(n,h,.,nx)=f(n)f(n).f(nk) n=(n1,n2,n)-k维矢量，表示一个码元内噪声的k个 抽样 ·注意，n)不是时间函数，虽然式中有时间函数(t),但是后者 在定积分内，积分后已经与时间变量无关。是一个维矢量， 它可以看作是k维空间中的一个点。 5
5 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 由于 则： 式中 n = (n1 , n2 , ., nk ) － k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个 抽样值。 ◼ 注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者 在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量， 它可以看作是k 维空间中的一个点。 n H n f 0 2 = ( ) = − Ts k n n t dt n f 0 2 0 ( ) 1 exp 2 1 ( ) n ( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) k 1 2 k 1 2 nk f n = f n n n = f n f n f
第10章数字信号最佳接收 在码元持续时间T、噪声单边功率谱密度和抽样数k（它和 系统带宽有关)给定后，)仅决定于该码元期间内噪声的能 量： n2(t)dr ■由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量 都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而 另一些侧无错。 6
6 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和 系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能 量： ◼ 由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量 都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而 另一些则无错。 Ts n t dt 0 2 ( )
第10章数字信号最佳接收 设接收电压(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和： (t)=s(t)+n(t) 则在发送码元确定之后，接收电压)的随机性将完全由噪声 决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为σ2，但是均值变为 s(①)。所以，当发送码元"0的信号波形为s(t)时，接收电压 (t)的维联合概率密度函数为 f(r)= 不-aojo 式中r=s+一k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值； 5-k维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值
7 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t) 则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声 决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n 2，但是均值变为 s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0 (t)时，接收电压 r(t)的k维联合概率密度函数为 式中 r = s + n — k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值； s － k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。 ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r
第10章数字信号最佳接收 同理，当发送码元“1的信号波形为s()时，接收电压(t)的k 维联合概率密度函数为 f(r)= 若通信系统传输的是M进制码元，即可能发送s1,S2, SM之一，当发送码元是s,时，接收电压的k维联合概 率密度函数为 f() aiarnwsoliw 注意：以上三式中的k维联合概率密度函数不是时间的函数， 并且是一个标量，而仍是维空间中的一个点，是一个矢量。 8
8 第10章 数字信号最佳接收 ◼ 同理，当发送码元“1“的信号波形为s1 (t)时，接收电压r(t)的k 维联合概率密度函数为 ◼ 若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1，s2，.， si，.，sM 之一，当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概 率密度函数为 注意：以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数， 并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。 ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) = − − r t s t dt n f Ts k i n i 2 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r
第10章数字信号最佳接收 10.2数字信号的最佳接收 ·“最佳”的准测：错误概率最小 ·产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论二 进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误慨率最小。 ·判决规则 设在一个二进制通信系统中发送码元“1的概率为P(1), 发送码元“0的慨率为P(0),则总误码率P等于 P。=P(I)P1+PO)Po 式中 Pe1=P0/1)-发送“1时，收到"0的条件概率； P0=P(1/0)·发送"0时，收到“1的条件概率； 上面这两个条件概率称为错误转移概率。 9
9 第10章 数字信号最佳接收 ⚫ 10.2 数字信号的最佳接收 ◼ “最佳”的准则：错误概率最小 ◼ 产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论二 进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。 ◼ 判决规则 设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)， 发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) － 发送“1”时，收到“0”的条件概率； Pe0 = P(1/0) － 发送“0”时，收到“1”的条件概率； 上面这两个条件概率称为错误转移概率。 1 0 (1) (0) Pe = P Pe + P Pe
第10章数字信号最佳接收 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f()和f()的曲线 (图中把r当作1维矢量画出。)： fo(r) f(r) PA1/0) PA/1) 可将此空间划分为两个区域4和A1,其边界是r。',并将判决 规则规定为： 若接收矢量落在区域A内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域41内，则判为发送码元是“1”。 10
10 第10章 数字信号最佳接收 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0 (r)和f1 (r)的曲线 （图中把r 当作1维矢量画出。）： 可将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0 ，并将判决 规则规定为： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 A0 A1 r f0 (r) f1 (r) r0 P(A0 /1) P(A1 /0)