高等数学（下册)考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、:=√log.(x2+y2)(a>0)的定义域为D= 2、二重积分厂Mx2+y2)的符号为_ 3、由曲线y=nx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示 为 一，其值为 4、设曲线L的参数方程表示为=) (a≤x≤B),则弧长元素dk= y=v() 5、设曲面∑为x2+y2=9介于：=0及z=3间的部分的外侧，则 ∬ax+y2+1d= 。 7、方程y-4y=0的通解为 +的和为 8、级数了1 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数：=f(x,y)在(x,)处可微的充分条件是() (A)f(x)在(0)处连续： (B)f(x,),(x,)在(xo6)的某邻域内存在： (C)△上-f(x)△x-(xy)Ay当V(Ax)2+(△y)2→0时是无穷小： D马-%A-y=0. V(△x)2+(4y) 2、设=+其中/其南骑连埃号数，则密票爷于（) (A)x+y:(B)x:(C)y: (D0. 102
102 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 z = log ( )( 0) 2 2 a x + y a 的定义域为 D= 。 2、二重积分 + + | | | | 1 2 2 ln( ) x y x y dxdy 的符号为 。 3、由曲线 y = ln x 及直线 x + y = e +1 ， y = 1 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为 ( ), ( ) ( ) = = x y t x t 则弧长元素 ds = 。 5 、设曲面 ∑ 为 9 2 2 x + y = 介 于 z = 0 及 z = 3 间的部分的外侧，则 + + = x y 1)ds （ 2 2 。 6、微分方程 x y x y dx dy = + tan 的通解为 。 7、方程 4 0 (4) y − y = 的通解为 。 8、级数 =1 ( +1) 1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微的充分条件是（ ） （A） f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续； （B） f (x, y) x ， f (x, y) y 在 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内存在； （C） z f x y x f x y y − x ( 0 , 0 ) − y ( 0 , 0 ) 当 ( ) ( ) 0 x 2 + y 2 → 时是无穷小； （D） 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 = + − − → → x y z f x y x f x y y x y y x 。 2、设 ( ) ( ), x y xf y x u = yf + 其中 f 具有二阶连续导数，则 2 2 2 2 y u y x u x + 等于（ ） （A） x + y ； （B） x ； (C) y ； (D)0
3、设0：x2+y2+2≤1，：20，则三重积分1=川：dW等于（) (A)4∫d0 dosin co:(B)∫d0dor2 sin oxr: (c)∫a0ido0r'sin cos:(D)∫dodor'si。 4、球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2am所围成的立体体积V=（) ()4a0m4a-rd:(B)4后a0r4-rd。 (c)8ea0aor4a2-r:(D)j且d0amr4a-rdh。 5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,以，Q(x,y)在D上 具有一阶连续偏导数，则Pk+Q=() w小S是：⑧小号-盟： 心小袋黑：o架器 6、下列说法中错误的是( (A)方程”"+2y”+x2y=0是三阶微分方程 ®)方程)密+：交-少油是一骨成性微分方是 (C)方程(x2+2xy)+(y2+3x2y2)=0是全微分方程： 7、已知曲线y=(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x+y+6=0平行，而y(x) 满足微分方程y”-2y+5y=0,则曲线的方程为y=( (A)-e'sin 2x: (B)e(sin 2x-cos2x);
103 3、设 ： 1, 0, 2 2 2 x + y + z z 则三重积分 I = zdV 等于（ ） （A）4 2 0 2 0 1 0 3 sin cos d d r dr ；（B） 2 0 0 1 0 2 sin d d r dr ； （C） 2 0 2 0 1 0 3 d d r sin cos dr ；（D） 2 0 0 1 0 3 d d r sin cos dr 。 4、球面 2 2 2 2 x + y + z = 4a 与柱面 x y 2ax 2 2 + = 所围成的立体体积 V=（ ） （A） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d a r dr ；（B） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d r a r dr ； （C） − 2 0 2 cos 0 2 2 8 4 a d r a r dr ；（D） − − 2 2 2 cos 0 2 2 4 a d r a r dr 。 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上 具有一阶连续偏导数，则 + = L Pdx Qdy ( ) （A） − D dxdy x Q y P ( ) ； （B） − D dxdy x P y Q ( ) ； （C） − D dxdy y Q x P ( ) ； （D） − D dxdy y P x Q ( ) 。 6、下列说法中错误的是（ ） （A） 方程 2 0 2 xy + y + x y = 是三阶微分方程； （B） 方程 y x dx dy x dx dy y + = sin 是一阶线性微分方程； （C） 方程 ( 2 ) ( 3 ) 0 2 3 2 2 2 x + xy dx + y + x y dy = 是全微分方程； （D） 方程 x y x dx dy 2 2 1 + = 是伯努利方程。 7、已知曲线 y = y(x) 经过原点，且在原点处的切线与直线 2x + y + 6 = 0 平行，而 y(x) 满足微分方程 y − 2y + 5y = 0 ，则曲线的方程为 y = （ ） （A） e x x − sin 2 ； （B） e (sin 2x cos 2x) x − ；
(C)e*(cos2x-sin 2x): (D)e'sin2x。 8、设m.=0,则∑4。( (A)收敛：(B)发散： (C)不一定： (D)绝对收敛 三、求解下列问题（共计5分） 1、(7分)设∫，g均为连续可微函数。u=f(x,xy),v=g(x+y), 0 28分)设x)=fet,求0， ax'at 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算1=∫e少。(7分) 2、计算1=[(x2+y2)dW,其中Ω是由x2+y2=22,z=1及z=2所围成的空间闭 区域(8分)。 五。（13分》计1=手沙：些，其中L是0面上的E一条无重点且分段光滑不经过源 点O(0.0)的封闭曲线的逆时针方向。 六.分)对任意网满是方+功-且了0溶在，求 七、8分)求级数2-少-2)" 2n+1的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二） 一、填空题（每小题3分，共计24分） k设2x42y-=42y-3,会+-一 2马3+ xy 104
104 （C） e (cos 2x sin 2x) x − ； （D） e x x sin 2 。 8、设 lim = 0 → n n nu , 则 n=1 n u （ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（7 分）设 f , g 均为连续可微函数。 u = f (x, xy),v = g(x + xy)， 求 y u x u , 。 2、（8 分）设 + − = x t x t u(x,t) f (z)dz ，求 t u x u , 。 四、求解下列问题（共计 15 分）。 1、 计算 I = − 2 0 2 2 x y dx e dy 。（7 分） 2、 计算 I = (x + y )dV 2 2 ，其中 是由 x 2 , 1 2 2 2 +y = z z = 及z = 所围成的空间闭 区域（8 分）。 五、（13 分）计算 + + − = L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原 点 O(0,0) 的封闭曲线的逆时针方向。 六、（9 分）设对任意 x, y, f (x) 满足方程 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y f x f y f x y − + + = ，且 f (0) 存在，求 f (x) 。 七、（8 分）求级数 = + + − − 1 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n x 的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 2sin( x + 2y − 3z) = x + 2y − 3z ，则 = + y z x z 。 2、 = − + → → xy xy y x 3 9 lim 0 0
3、设1=∫df(x,y)d,交换积分次序后，1=_ 4设四为可微通数。且/0=0则立F+产da= 5、设L为取正向的圆周x2+y2=4,则曲线积分 f,0e*+10d+(2e-x)d=_ 6、设A=(x2+）)i+0y2+x)j+(e2+x9k,则dnA= 7、通解为y=ce+c,e2的微分方程是 .an- 一x≤x12: (D)不能比较。 4、设2是由曲面：=xyy=x,x=1及：=0所围成的空间区域，则川xy2:dk小止= 105
105 3、设 = 2 0 2 ( , ) x x I dx f x y dy ，交换积分次序后， I = 。 4、设 f (u) 为可微函数，且 f (0) = 0, 则 + → + = + 2 2 2 ( ) 1 lim 2 2 3 0 x y t t f x y d t 。 5、设 L 为取正向的圆周 4 2 2 x + y = ，则曲线积分 + + − = L x x y( ye 1)dx (2ye x)dy 。 6、设 → → → A = (x + yz) i + (y + x z) j+ (z + x y) k 2 2 2 ，则 divA = 。 7、通解为 x x y c e c e 2 1 2 − = + 的微分方程是 。 8、设 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) ，则它的 Fourier 展开式中的 an = 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。 1、设函数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y x y f x y ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设 u(x, y) 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 0 2 x y u 及 + 2 2 x u 0 2 2 = y u ， 则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D：( 2) ( 1) 1 2 2 x − + y − ，若 = + D I x y d 2 1 ( ) ， = + D I x y d 3 2 ( ) 则有（ ） （A） 1 2 I I ； （B） 1 2 I = I ； （C） 1 2 I I ； （D）不能比较。 4、设 是由曲面 z = xy, y = x, x = 1 及 z = 0 所围成的空间区域，则 xy z dxdydz 2 3 =
5、设f化)在画线苏L上有定义且连续，L的参数方程为：=0 (y=v(t) (as1≤B), 其中()，y)在[a,]上具有一阶连续导数，且p2()+w2()≠0，则曲线积分 ∫，fx,y)d=( ()∫f(o,w)d:(B)∫fp(0,wNp'2)+w20d: (C)+d:Dfvdt. 6、设Σ是取外侧的单位球面x2+y2+z2=1,则曲面积分 f川xt+td本+zdkd=(） (A)0:(B)2π：(Cπ：(D)4π。 7、下列方程中，设，少是它的解，可以推知乃+y也是它的解的方程是() (A)y'+p(x)y+q(x)=0: (B)y"+p(x)y'+q(x)y=0: (C)y"+p(x)y'+q(x)y=f(x):(D)y"+p(x)y'+q(x)=0. 8、设级数∑a,为一交错级数，则( (A)该级数必收敛： (B)该级数必发散 (C该级数可能收敛也可能发散：(D)若a。→0(n→0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、(8分)求函数u=nx+√y2+z2)在点A(1,0,1)沿A指向点B(3,2,2) 的方向的方向导数。 2、(7分)求函数f(x,y)=x24-x-y)在由直线x+y=6,y=0,x=0所围成的闭区 域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分）
106 （ ） （A） 361 1 ； （B） 362 1 ； （C） 363 1 ； （D） 364 1 。 5、设 f (x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t ( t ) ， 其中 (t),(t) 在 [, ] 上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 t + t ， 则曲线积分 = L f (x, y)ds （ ） (A) f ((t), (t))dt ； (B) + f ((t), (t)) (t) (t)dt 2 2 ； (C) + f ((t),(t)) (t) (t)dt 2 2 ； (D) f ((t),(t))dt 。 6、设 是取外侧的单位球面 1 2 2 2 x + y + z = ， 则曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy =（ ） (A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D) 4 。 7、下列方程中，设 1 2 y , y 是它的解，可以推知 1 2 y + y 也是它的解的方程是（ ） (A) y + p(x) y + q(x) = 0 ； (B) y + p(x) y + q(x) y = 0 ； (C) y + p(x) y + q(x) y = f (x) ； (D) y + p(x) y + q(x) = 0。 8、设级数 n=1 n a 为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若 a → 0 (n → 0) n ，则必收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（8 分）求函数 ln( ) 2 2 u = x + y + z 在点 A（1，0，1）沿 A 指向点 B（3，-2，2） 的方向的方向导数。 2、（7 分）求函数 ( , ) (4 ) 2 f x y = x y − x − y 在由直线 x + y = 6, y = 0, x = 0 所围成的闭区 域 D 上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分）
1分H1=a+中+种n是由=0y=0:=0及+y+:1所 围成的立体域。 2、(8分)设x)为连续函数，定义F)=川2+fx2+y2, 其中n=《x以训0≤：≤h2+少≤r}求亚 t 五、求解下列问题(15分) 1、(8分)求I=∫(e'siny-myd+(e'cosy-m),其中L是从A(a,0)经 y=Vam-x2到0(0,0)的弧。 2、(7分)计算1=∬x2t+y止dt+2,其中2是x2+y2=2(0≤：≤)）的 外侧。 六、(15分)设函数(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分 ∫，[Bp'(x)-20(x)+xe产]t+p'(x)d与路径无关，求函数p(x). 高等数学（下册）考试试卷（三） 一、填空愿（每小题3分，共计24分） 、设u-e山，则密 2、函数f(x,y)=xy+sx+2)在点(0,0)处沿1=(1,2)的方向导数 3、设Ω为曲面：=1-x2-y2,:=0所围成的立体，如果将三重积分 I=川(x,以)化为先对：再对y最后对x三次积分，则= 4、设f川为连线函数，则I=册红6= ,其中 D:x2+y2≤12。 5、f(x2+y2)d达= ,其中L:x2+y2=a2。 107
107 1、（7 分）计算 + + + = 3 (1 x y z) dv I ，其中 是由 x = 0, y = 0,z = 0 及 x + y + z = 1 所 围成的立体域。 2、（8 分）设 f (x) 为连续函数，定义 F(t) = [z + f (x + y )]dv 2 2 2 ， 其中 2 2 2 = (x, y,z) | 0 z h, x + y t ，求 dt dF 。 五、求解下列问题（15 分） 1、（8 分）求 = − + − L x x I (e sin y my)dx (e cos y m)dy ，其中 L 是从 A（a，0）经 2 y = ax − x 到 O（0，0）的弧。 2、（7 分）计算 I = x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 ，其中 是 (0 ) 2 2 2 x + y = z z a 的 外侧。 六、（15 分）设函数 (x) 具有连续的二阶导数，并使曲线积分 − + + L x [3 (x) 2 (x) x e ]ydx (x)dy 2 与路径无关，求函数 (x) 。 高等数学（下册）考试试卷（三） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 = yz xz t u e dt 2 ， 则 = z u 。 2、函数 f (x, y) = xy + sin( x + 2y) 在点（0，0）处沿 l = (1,2) 的方向导数 (0,0) l f = 。 3 、 设 为曲面 1 , 0 2 2 z = − x − y z = 所 围 成 的 立 体 ， 如 果 将 三 重 积 分 I = f (x, y,z)dv 化为先对 z 再对 y 最后对 x 三次积分，则 I= 。 4、设 f (x, y) 为连 续函数 ，则 I = = → + D t f x y d t ( , ) 1 lim 2 0 ，其中 2 2 2 D : x + y t 。 5、 + = L (x y )ds 2 2 ，其中 2 2 2 L : x + y = a
6、设Q是一空间有界区域，其边界曲面2是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函 数P(x,y,),Q(x,y,）,(x,y,)在2上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第 型曲面积分之间有关系式： ,该关系式称为 公式。 7、微分方程y”-6y+9y=x2-6x+9的特解可设为y=】 福空发版制p 二、选择题（每小题2分，共计16分） 小设a创存在，则吗+a创a-xb创.() (A)fa,:(B)0:(c)2fa,b:(D)7fa,. 2、设：=x,结论正确的是() w的脂0m高胎 心需：o器器0 3、若f(xy)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D,D2,f(x,y) 在D上连续，则∬fx,do=（ (A)0:(B)2j∬fx,y)do:(C)4∬fx,y)do:D2∬f(x,y)do 4、设2：x2+y2+z2≤R2,则川(x2+y2)t=（) (A)((C)(D)I. 5、设在x0y面内有一分布者质量的曲线L,在点(x,y)处的线密度为P(x,y),则曲线弧 L的重心的x坐标x为( ) )aa:@国ah 108
108 6、设 是一空间有界区域，其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函 数 P(x, y,z) ，Q(x, y,z)，R(x, y,z) 在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二 型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程 6 9 6 9 2 y − y + y = x − x + 的特解可设为 = * y 。 8、若级数 = − − 1 1 ( 1) n p n n 发散，则 p 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、设 f (a,b) x 存在，则 x f x a b f a x b x ( , ) ( , ) lim 0 + − − → =（ ） （A） f (a,b) x ；（B）0；（C）2 f (a,b) x ；（D） 2 1 f (a,b) x 。 2、设 2 y z = x ，结论正确的是（ ） （A） 0 2 2 − y x z x y z ； （B） 0 2 2 = − y x z x y z ； （C） 0 2 2 − y x z x y z ； （D） 0 2 2 − y x z x y z 。 3、若 f (x, y) 为关于 x 的奇函数，积分域 D 关于 y 轴对称，对称部分记为 1 2 D ,D ，f (x, y) 在 D 上连续，则 = D f (x, y)d （ ） （A）0；（B）2 1 ( , ) D f x y d ；（C）4 1 ( , ) D f x y d ； (D)2 2 ( , ) D f x y d 。 4、设 ： 2 2 2 2 x + y + z R ，则 (x + y )dxdydz 2 2 =（ ） （A） 5 3 8 R ； （B） 5 3 4 R ； （C） 5 15 8 R ； （D） 5 15 16 R 。 5、设在 xoy 面内有一分布着质量的曲线 L，在点 (x, y) 处的线密度为 (x, y) ，则曲线弧 Ｌ的重心的 x 坐标 x 为（ ） （Ａ） x = L x x y ds M ( , ) 1 ； （B） x = L x x y dx M ( , ) 1 ；
(C)x=[xp(x.y)ds: (D)=,x体，其中M为曲线弧L的质量 6、设Σ为柱面x2+y2=1和x=0,y=0,:=1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲 面积分开ydk+xd小t+x2dd=( (A)0: B)-子(c 24 (D 7、方程y”-2y=f(x)的特解可设为() (A)A,若fx)=1:(B)Ae,若fx)=e' (C)Ax'+Bx+Cx2+Dx+E,f(x)=x2-2x: (D)x(Asin5x+Bcos5x),若f(x)=sim5x。 0<≤元，则它的Foui展开式中的a,等于() -π≤x<0 w品-：@六o点 三、(12分)设y=fx,),1为由方程F(x,y,)=0确定的x,y的函数，其中∫，F具 有阶连续偏导数。求么 四、(8分)在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短。 五、(8分)求圆柱面x2+y2=2y被锥面：=√x2+y2和平面：=0割下部分的面积A。 六、(12分)计算1=川x,其中∑为球面x2+y2+:2=1的x20,y20部分 的外侧。 七（10分)设eos9=1+smx,求. d(cosx) 八、(10分)将函数f(x)=ln(1+x+x2+x3)展开成x的幂级数。 高等数学（下册）考试试卷（四） 一、填空题（每小题3分，共计24分）
109 （C） x = L x(x, y)ds ； （D） x = L xds M 1 , 其中 M 为曲线弧Ｌ的质量。 ６、设 为柱面 1 2 2 x + y = 和 x = 0, y = 0,z = 1 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲 面积分 y zdxdy + xzdydz + x ydxdz 2 2 ＝（ ） （A）0； （B） 4 − ； （C） 24 5 ； （D） 4 。 ７、方程 y − 2y = f (x) 的特解可设为（ ） （A） A ，若 f (x) = 1 ； （B） x Ae ，若 x f (x) = e ； （C） Ax + Bx + Cx + Dx + E 4 3 2 ，若 f (x) x 2x 2 = − ； （D） x(Asin 5x + Bcos5x) ，若 f (x) = sin 5x 。 ８、设 − − = x x f x 1 0 1, 0 ( ) ，则它的 Fourier 展开式中的 n a 等于（ ） （A） [1 ( 1) ] 2 n n − − ； （B）0； （C） n 1 ； （D） n 4 。 三、（１２分）设 y = f (x,t), t 为由方程 F(x, y,t) = 0 确定的 x, y 的函数，其中 f , F 具 有一阶连续偏导数，求 dx dy 。 四、（８分）在椭圆 4 4 2 2 x + y = 上求一点，使其到直线 2x + 3y − 6 = 0 的距离最短。 五、（８分）求圆柱面 x y 2y 2 2 + = 被锥面 2 2 z = x + y 和平面 z = 0 割下部分的面积Ａ。 六、（１２分）计算 I = xyzdxdy ，其中 为球面 1 2 2 2 x + y + z = 的 x 0, y 0 部分 的外侧。 七、（10 分）设 x d x df x 2 1 sin (cos ) (cos ) = + ，求 f (x) 。 八、（10 分）将函数 ( ) ln(1 ) 2 3 f x = + x + x + x 展开成 x 的幂级数。 高等数学（下册）考试试卷（四） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
1、由方程xz+√x2+y2+z2=√2所确定的隐函数：=(x,y)在点(1,0，-1)处的 全微分止=」 2、椭球面x2+2y2+3z2=6在点(1,1,1)处的切平面方程是 3、设D是由曲线y=x2,y=x+2所用成，则二重积分1=1+x2)k=一 4、设2是由x2+y2=4,:=0,:=4所围成的立体域，则三重积分 1=∬x+y= 5、设Σ是曲面：=Vx2+y2介于：=0，：=1之间的部分，则曲面积分 1=+yh= 6、 x2d6= rd 7、己知曲线y=(x)上点M0,4)处的切线垂直于直线x-2y+5-0,且x)满足微分 方程y”+2y'+y=0,则此曲线的方程是 &、设f(x)是周期T=2π的函数，则f(x)的Fourier系数为 二、选择题（每小题2分，共计16分） l、函数：=arcsin上+√的定义域是( (A)《x,y时s以x≠0：(B)《x,川≥以x≠0} (C)《xy川≥y20,x≠0U{x,y)川x≤y≤0，x≠0}： (D){《x,y)川x>0,y>0U《x,)lx<0,y<0}。 2、已知曲面：=4-x2-y2在点P处的切平面平行于平面2x+2y+-1=0,则点P 的坐标是( (A)(1,-1,2):(B)(-1,1,2:(C)(1,1,2):(D)(-1,-1,2)。 3、若积分域D是由曲线y=x2及y=2-x2所围成，则川fx,y)do=() 110
110 1、由方程 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 所确定的隐函数 z = z(x, y) 在点（1，0，-1）处的 全微分 dz = 。 2、椭球面 2 3 6 2 2 2 x + y + z = 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设 D 是由曲线 , 2 2 y = x y = x + 所围成，则二重积分 = + = D I (1 x )dxdy 2 。 4、设 是由 4, 0, 4 2 2 x + y = z = z = 所围成的立体域，则三重积分 I = (x + y )dv 2 2 = 。 5、设 是曲面 2 2 z = x + y 介于 z = 0,z = 1 之间的部分，则曲面积分 I = (x +y )ds = 2 2 。 6、 + + = + + = = 0 2 2 2 2 2 x y z x y z a x ds 。 7、已知曲线 y = y(x) 上点 M(0,4)处的切线垂直于直线 x − 2y + 5 = 0 ，且 y(x) 满足微分 方程 y + 2y + y = 0 ，则此曲线的方程是 。 8、设 f (x) 是周期 T= 2 的函数，则 f (x) 的 Fourier 系数为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、函数 xy x y z = arcsin + 的定义域是（ ） （A） (x, y) | x y , x 0 ； （B） (x, y) | x y , x 0 ； （C） (x, y) | x y 0, x 0(x, y)| x y 0, x 0 ； （D） (x, y)| x 0, y 0(x, y)| x 0, y 0 。 2、已知曲面 2 2 z = 4 − x − y 在点 P 处的切平面平行于平面 2x + 2y + z −1 = 0 ，则点 P 的坐标是（ ） （A）（1，-1，2）； （B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）； （D）（-1，-1，2）。 3、若积分域 D 是由曲线 2 y = x 及 2 y = 2 − x 所围成，则 D f (x, y)d =（ ）
∫fcd:(B)f: (c)。Ex:Dj时ifxd 4、设21：x2+y2+22≤R2,:20,22x2+y2+z2≤R2,x≥0，y20,:20,则 有( (A)f∬xd=4xd: (B)[ffydv=4fffydv: (c)∬h=4∬： D川h=4∬h. 5、设Σ为由曲面：=√x2+少2及平面：=1所围成的立体的表面，则曲面积分 ∬x2+y2d=( (B):(C) (D)0。 6、设工是球面x2+y2+:2=a2表面外侧，则曲面积分 ∬rt+yt本+：d=( 7、一酸注小且在先指线上任一点M列的法线器率长=图生 曲线方程为( (A)y=+():(B)y= (C)y=ex+xIn(In x): D)y=王+hhx. 8、蒂级数∑a+”的收敛区间为（） (A)(-1,1):(B)(-0,+∞)：(C)(-l,1)片(D1,1 三、(10分)已知函数u=/白+xg的，其中了，g具有二阶连续导数，求 111
111 （A） − − 2 2 1 2 1 ( , ) x x dx f x y dy ； （B） − − 2 2 2 1 1 ( , ) x x dx f x y dy ； （C） − y y dy f x y dx 2 1 0 ( , ) ； （D） − − 1 1 2 ( , ) 2 2 dy f x y dx x x 。 4、设 : , 0; 2 2 2 2 1 x + y + z R z : , 0, 0, 0 2 2 2 2 2 x + y + z R x y z ， 则 有（ ） （A） = 1 2 xdv 4 xdv ； （B） = 1 2 ydv 4 ydv ； （C） = 1 2 xyzdv 4 xyzdv ； （D） = 1 2 zdv 4 zdv 。 5、设 为由曲面 2 2 z = x + y 及平面 z = 1 所围成的立体的表面，则曲面积分 (x + y )ds 2 2 =（ ） （A） 2 1+ 2 ； （B） 2 ； （C） 2 2 ； （D）0 。 ６、设 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 表面外侧，则曲面积分 x dydz + y dzdx + z dxdy 3 3 3 ＝（ ） （A） 3 5 12 a ； （B） 5 5 12 a ； （C） 5 5 4 a ； （D） 5 5 12 − a 。 ７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点 M (x, y) 的法线斜率 x y x x x k ln ln + = − ，则此 曲线方程为（ ） （A） x ln(ln x) e x y = + ； （B） x x e x y = + ln ； （C） y = ex + x ln(ln x) ； （D） ln(ln x) e x y = + 。 ８、幂级数 = + 1 ( 1) n n n x 的收敛区间为（ ） （A）（-1，1）； （B） (−,+) ； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。 三、（１０分）已知函数 ( ) ( ) x y xg y x u = yf + ，其中 f , g 具有二阶连续导数，求