第八讲重积分的应用
第八讲 重积分的应用
>能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式 >确定积分元素的方法 以直代曲 在微小局部 以不变代变
➢能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 分布在有界闭域上的整体量 ➢ 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式 ➢ 确定积分元素的方法 在微小局部 以不变代变 以直代曲
重积分的应用 一、 曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 、 曲面面积 二、 质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
S:z=f(x,y),(x,y)∈D n 'r d4一M(x,y,2)处小切平面的面积 do一d4在D上的投影 n=(f(x,y),-f,(xy),) 一M(x,y,)处切平面的法向量 四do do=cosy.dA cosy= V1+x2(x,y)+f,2(x,y) ↑2 d4=+(x)+f2(x,y)do 4+2()+f2(x)do 曲面面积公式
M d A z d n x y z S o M (x, y,z) 处小切平面的面积 d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y M n d dA dσ dA在D上的投影 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y 曲面面积公式 M (x, y,z) 处切平面的法向量
类似可得 >若光滑曲面方程为x=g(y,),(y,2)∈Dy:, >若光滑曲面方程为y=h(2,x),(2,x)∈Dx, 4-∬n1+82+8Fddx
➢若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z Dy z z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + ➢若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x Dz x 类似可得
A=∬21+∫2(x)+2x,)dc ●注（可与弧长公式s=∫1+f(xdx对比记忆： (2)解题步骤： 明确（选择）曲面2的方程 明确（选择）曲面Σ的投影 求出曲面面积元素 ◆例1 计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R2 所截出的面积A. ◆例2计算半径为a的球的表面积
◆例1 被柱面 所截出的面积 A . 计算双曲抛物面 ◆例2 计算半径为 a 的球的表面积. 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y ⚫注 (1) 可与弧长公式 对比记忆! (2) 解题步骤: 明确(选择)曲面Σ的方程 明确(选择)曲面Σ的投影 求出曲面面积元素
重积分的应用 曲面面积 二、 质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 曲面面积 二、 质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
>质点系的质心 静矩 设平面有n个质点 ●M 第k个质点的位置 (x,y) 质量m D M=mky n=∑mx y.m-my 该质点系的质心坐标x k=1
设平面有n个质点 ( , ) k k x y mk 该质点系的质心坐标 , 1 1 = = = n k k n k k k m x m x , 1 1 = = = n k k n k k k m y m y 第k个质点的位置 ➢质点系的质心 质量 o x y k x k y M m x y k k = M m y x k k = 静矩 x y k n k k n k k x m m x = = = 1 1 k n k k n k k y m m y = = = 1 1