《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分_第七节 高斯公式 通量与散度_高斯公式 通量与散度

第七讲 高斯公式通量与散度

第七讲 高斯公式 通量与散度

高斯公式通量和散度 、 高斯公式 二、通量与散度

高斯公式 通量和散度 一 、高斯公式 二 、通量与散度

高斯公式通量和散度 、高斯公式 二、通量与散度

高斯公式 通量和散度 一 、高斯公式 二 、通量与散度

>定理 设空间闭区域2是由分片光滑的闭曲面Σ围成，若函数 Pxz)、Q(c,z)与R(Ky,z)在2上具有一阶连续偏导数，则 有 dv=f月Pud+Qdzdx+-Rdd, 或 ++ dv-ff(Pcosa+QcosB+Reos/)dS, 这里Σ是2的整个边界曲面的外侧， C0sC,Cos阝，c0SY是Σ在点(c,y,z)处的法向量的方向余弦

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ围成,若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在Ω 上具有一阶连续偏导数,则 有 ➢定理 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧， 或 cos ,  cos ,  cos 是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦. d d d d d d d ,   = + +           +   +   Ω Σ v P y z Q z x R x y z R y Q x P d ( cos cos cos )d ,   = + +           +   +   Ω Σ v P Q R S z R y Q x P   

dv=月Purd+Qdzdx+Rdrd 2 三重积分 曲面积分 高斯公式沟通了三重积分与的曲面积分的联系 推 高斯公式： 特例格林公式

三重积分 曲面积分 高斯公式沟通了三重积分与的曲面积分的联系 高斯公式 格林公式 推 广 特 例  =   + +           +   +   Ω Σ v P y z Q z x R x y z R y Q x P d d d d d d d

◆例1计算f(c-y)ddy+(U-z)xddz, 其中为柱面x2+y2=1及平面 z=0,z=3围成的空间闭区域2 的整个边界曲面的外侧， ◆例2计算(x2cosa+y2cosB+z2cosy)dS 其中为锥面x2+y=介于平面 z=0,z=h(h>0)之间的部分的下侧 cosa&,cosB,CoSy是Σ在点(ky,z) 处的法向量的方向余弦

◆例1 ◆例2 x y z o 3 1 1 2 2 2 ( cos cos cos )d x y z S     + + 计算  其中Σ为锥面 2 2 2 x y z + = 介于平面 z z h h = =  0, ( 0) 之间的部分的下侧 cos ,  cos ,  cos 是Σ在点(x,y,z) 处的法向量的方向余弦. x y z o  1 计算 其中Σ为柱面 2 2 x y + =1 及平面 z z = = 0, 3 围成的空间闭区域Ω 的整个边界曲面的外侧. (x y)dxdy ( y z)xdydz, Σ  − + −

◆例3设函数u(k,y,z)和v(cy,z)在闭区域n上具有一阶及 二阶连续偏导数，证明 d-事r六as- Bu Ov ou Bv BuBv aax+可 dxdydz, ,0a 其中Σ是闭区域2的整个边界曲面，心 为函数vcy,2) On 沿Σ外法线方向的方向导数. △ ar2ta+ 称为拉普拉斯算子

◆例3 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及 二阶连续偏导数，证明 其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面， 为函数v(x,y,z) v n   沿Σ外法线方向的方向导数. 2 2 2 222 x y y     = + +    称为拉普拉斯算子. d d d d d d d ,                 +     +     −    = Ω Σ Ω x y z z v z u y v y u x v x u S n v u v x y z u

高斯公式通量和散度 一、高斯公式 二、通量与散度

高斯公式 通量和散度 一 、高斯公式 二 、通量与散度

高斯公式通量和散度 、高斯公式 二 通量与散度

高斯公式 通量和散度 一 、高斯公式 二 、通量与散度

>通量设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z) 其中P,2,R均具有一阶连续偏导数， Σ是场内的一片有向曲面，是Σ在点 (化，2)处的单位法向量，则积分 ∬Ads=∬A.ds=J∬Pdd+Oddc+Rdrd 称为向量场通过曲面Σ向着指定侧的通量（流量）， ◆例4求向量场A=zj+z穿过曲面∑流向上侧的流量， 其中∑为柱面y2+z2=1(z≥0)被平面x=0及x=1 截下的有限部分

➢通量 A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) = + + 设有向量场 则积分 o x y z  称为向量场通过曲面Σ向着指定侧的通量(流量). n 其中P,Q,R均具有一阶连续偏导数, Σ是场内的一片有向曲面, n  是Σ在点 (x,y,z)处的单位法向量,    =    =   + + Σ Σ Σ A ndS A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy     ◆例4 求向量场 A yz j z k    2 = + 穿过曲面  流向上侧的流量,  为柱面 1 ( 0) 2 2 y + z = z  被平面 x = 0 及 x = 1 截下的有限部分. 其中