《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分_第九节 斯托克斯公式 环流量与旋度_斯托克斯公式

第九讲 斯托克斯公式环流量与旋度

第九讲 斯托克斯公式 环流量与旋度

>对弧长的空间曲线积分 空间曲线弧的质量M=」f(化，J,)ds ds5)As Tx=p(t),y=y(t),z=o(t),(a≤t≤) Sfx.y.ds=S2f[v.+y+O >对坐标的空间曲线积分 变力沿空间曲线弧作功W-FdP心x+Q对+ T:x=p(t),y=w(t),z=@(t),(t:a->B) JrP(x,)dx+Q(xy,z)dy+R(x.y,z)dz -{P[)w()]+Q[().w().lv(+R[)w]Ja

➢对弧长的空间曲线积分 空间曲线弧的质量 M f x y z s ( , , )d  =  0 1 ( , , )d lim ( , , ) n i i i i i f x y z s f s     →  =  =   Γ： x t y t z t t = = =        ( ), ( ), ( ), ( )   222 f x y z s f t t t t t t t ( , , )d ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( )d          = + +    ➢对坐标的空间曲线积分 变力沿空间曲线弧作功 W F r P x Q y R z d d d d   =  = + +   Γ： x t y t z t t = = = →      ( ), ( ), ( ), ( : ) P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d  + +  P t t t t Q t t t t R t t t t t  ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) d         = + +              

斯托克斯公式环流量和旋度 斯托克斯公式 二、 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量和旋度 一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度

斯托克斯公式环流量和旋度 斯托克斯公式 二 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量和旋度 一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度

>定理 设为分片光滑的空间有向闭曲线，Σ是以为边界的分 片光滑的有向曲面，的正向与Σ的侧符合右手规则，若 函数PkJ,2)、Oc,z)与R(x,y,z在曲面Σ上（连同边界 刀具有一阶连续偏导数，则有 OR Op OR 2 OP dydz dzdx dxdy Bx a Ex Ox =◆Pdx+Ody+Rd 斯托克斯公式

设Γ为分片光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界的分 片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手规则,若 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在曲面Σ 上(连同边界 Γ)具有一阶连续偏导数,则有 ➢定理 斯托克斯公式     = + +           −    +        −   +           −   P x Q y R z x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R d d d d d d d d d

●注 (1)为便于记忆，斯托克斯公式可记为： dydz dzdx dxdy cosa cos B COS Y o ds 2 元R P 2 R =Pdx+Qdy+Rdz 0 OP OR dydz dzdx dxdy Ba Bx =Pdx+Ody+Rdz

    = + +           −    +        −   +           −   P x Q y R z x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R d d d d d d d d d (1) ⚫注 为便于记忆,斯托克斯公式可记为:      = + +       =       P x Q y R z S P Q R x y z P Q R x y z y z z x x y Σ d d d d d d d d d d cos cos  cos

●注 (2)在斯托克斯公式中，若Σ为xoy面上的闭区域D, Σ：z=0d=0dyd=0dzdx=0 斯托克斯公式 格林公式 Or 四 OP OR dydz d<dx drdy Oz Ex Pdx+Ody Rdz

    = + +           −    +        −   +           −   P x Q y R z x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R d d d d d d d d d (2) ⚫注 在斯托克斯公式中,若Σ为xoy面上的闭区域D,  = : 0 z d 0 z = d d 0 y z = d d 0 z x = 斯托克斯公式 格林公式 特 例 推 广     = +           −   x y P x Q y y P x Q d d d d

●注 (3)积分学中的四个基本公式 原函数增量 牛莱公式 计算公式 定积分 第一类（平面） 格林公式 第二类（平面） 重积分 计算公式 曲线积分 第一类 推 特 三 重积分 高斯公式 第二类（空间可引 曲面积分 第二类 斯托克斯公式 第二类（空间）

(3) ⚫注 积分学中的四个基本公式 定积分 三重积分 二重积分 第二类 第一类 第二类(平面) 第一类(平面) 第一类(空间) 第二类(空间) 推 广 特 例 曲 线 积 分 曲 面 积 分 高斯公式 斯托克斯公式 格林公式 计算公式 计算公式 牛 莱 公 式 原函数增量 推 广 特 例

●注 (4)斯托克斯公式沟通了曲面积分与曲线积分的联系！ cosa cos B a dS=∮Pd+dy+Rdz a Bx P Q R 曲面积分 曲线积分 (5)当Σ为平面时，为常向量，使用斯托克斯公式尤为方便

曲面积分 曲线积分 (4) 斯托克斯公式沟通了曲面积分与曲线积分的联系. ⚫注 (5)当Σ为平面时, n 为常向量,使用斯托克斯公式尤为方便.   =  + +       Σ Γ S P x Q y R z P Q R x y z d d d d cos cos  cos

◆例1计算zdx+xdy+Jyd, 其中为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形 的整个边界，它的正向与这个 三角形上侧的法向量之间符合右手规则 ◆例2计算y2-z2)dx+(a2-x2)dy+(x2-y2)d, 其中T是用平面x+y+=截立方体 {(x,y,2)0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1的表面 所得的截痕，若从ox轴的正向看去， 取逆时针方向

◆例1 ◆例2 o z y x 1 1 1 n  z y x 1 1 1 计算 其中Γ为平面 x y z + + =1 被三个坐标面所截成的三角形 的整个边界,它的正向与这个 三角形上侧的法向量之间符合右手规则 d d d ,   z x + x y + y z 计算 其中Γ是用平面 3 2 x y z + + = 截立方体 ( , , ) | 0 1,0 1,0 1 x y z x y z        的表面 所得的截痕,若从ox轴的正向看去, 取逆时针方向. ( )d ( )d ( )d , 2 2 2 2 2 2   y − z x + z − x y + x − y z