第五讲三重积分 及其在直角坐标系下的计算
第五讲 三重积分 及其在直角坐标系下的计算
三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直确坐标系下的计算
三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算
三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的慨念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算
三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算
一、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义
一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义
、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义
一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义
非均匀物体的质量 f(x,y,=) >分割：把2分为△y1,△y2,△y,△vm >取近似：△M≈f(5,7k,5)Av △Vk >求和：M~∑f5n,)Av k (5k,nk,5a) >取极限：M=∑f5,n,S)A, →0
非均匀物体的质量 ( , , ) k k kk v f ( x , y , z ) ➢分割： i n v , v , , v , , v 把 Ω分为 1 2 ➢取近似： k k k k k M f ( , , ) v ➢求和： k k k k n k M f v = ( , , ) 1 ➢取极限： k k k k n k M = f v = → lim ( , , ) 1 0
、三重积分的概念 (一)31例 (二)三重积分的定义
一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义
一、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义
一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义
>定义设f(x,y,z)是有界闭区域上的有界函数将闭区域2 任意分成n个小闭区域△y,△y2,.,△yn,其中△y,表示第个小闭 闭区域，也表示它的体积.在每个△y,上任取一点(5，5)》 作乘积f(5,7,5)△y,(i=1,2,n井作和∑f(5,n,5)△，如果 i=l 当各小闭区域直径中的最大值入→0时这和的极限总存在， 且与闭区域的分法及点(5，几，5，的取法无关，那么称此极限 为函数f(x,y,)在闭区域2上的三重积分，记作2f(化，y,z)d业， 即j2fx,)dv=m∑/5，n,5Av 2-→0 i=1 ●注(I)dy称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdyd=. (2)三重积分的物理意义：不均匀物体的质量(x,y,2)≥0)
➢定义 ⚫注 (1) dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz. (2) 三重积分的物理意义: 不均匀物体的质量(f(x,y,z)≥0) ( , , )d lim ( , , ) . 1 0 = → = n i i i i i Ω f x y z v f v 设 是有界闭区域上的有界函数.将闭区域Ω 闭区域,也表示它的体积.在每个 任意分成 n 个小闭区域 当各小闭区域直径中的最大值 为函数 f (x, y,z) , , , , 1 2 n v v v 其中 i v 表示第i个小闭 i v 上任取一点 ( , , ), i i i 作乘积 f ( , , ) v (i 1 ,2, ,n), i i i i = 并作和 ( , , ) . 1 = n i i i i i f v 如果 → 0 时这和的极限总存在, f (x, y,z) 在闭区域Ω上的三重积分, 记作 ( , , )d , Ω f x y z v 即 且与闭区域的分法及点 ( , , ) i i i 的取法无关,那么称此极限
三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直确坐标系下的计算
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