第二讲 二重积分在直确坐标系下的计算
第二讲 二重积分在直角坐标系下的计算
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
>积分区域的表示 X型区域： D={(x,y川p,(x)≤y≤p2(x)a≤x≤b} y=92(x) y=02(x) y=0(x) y=0(x) b x y型区域：D={《x,yyy)sx≤y(y)c≤y≤d xV2(y x=V(00 x2(y)
➢积分区域的表示 X- 型区域: Y- 型区域: o x y a b ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o x y a b ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x y o x d c ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y y o x d c ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y D = ( x , y ) | ( x ) y ( x ) a x b 1 2 D = ( x , y ) | ( y ) x ( y ) c y d 1 2
>公式推导 若xy)≥0， f∬fx,Jy)dxdy=V y=02(x) 设曲顶柱体的底为 -w asxsb 任取x,∈[a,b],平面x=xo截柱体的截面积为 y=o(x) )=n 故曲顶柱体体积为 r-,o=4ax=fdy1ax
x b a [ ]d = 设曲顶柱体的底为 1 2 ( ) ( ) ( , ) x y x D x y a x b = 任取 平面 故曲顶柱体体积为 = D V f (x, y) d f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1 = b a A(x)d x 截柱体的截面积为 ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x 0 x z x y o a b D ➢公式推导 若f(x,y)≥0
同样，曲顶柱体的底为 D={(x,y)Ψ1(y)≤x≤w2(y),c≤y≤d} 则其体积可按如下两次积分计算 V-∬nfx,)do Ψ2(y） X= lay d,wd
y d c o x ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y y d c [ ]d = D = ( x, y) 1 ( y) x 2 ( y) , c y d 同样, 曲顶柱体的底为 则其体积可按如下两次积分计算 = D V f (x, y) d f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1 f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1 y
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、，计算公式 二、计算方法
二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法
◆例1计算 xydo其中 D是由直线y=1 x=3及y=x 围成的闭区域 0
x yo ◆ 例 1 计算 d D xy 其中 D 是由直线 y = 1 及 y x = 围成的闭区域
◆例1计算∫∬xdo其中 D是由直线y=1 x=3及y=x 围成的闭区域 0
x yo ◆ 例 1 计算 d D xy 其中 D 是由直线 y = 1 及 y x = 围成的闭区域