第一讲对弧长的曲线积分
第一讲 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念 二、对弧长的曲线积分的性质 三、 对弧长的曲线积分的计算 四、对孤长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质 三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的慨念 二、对弧长的曲线积分的性质 三、对弧长的曲线积分的计算 四、 对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分 一 、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质 三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
对弧长的曲线积分的概念 (一)1例 (二) 对弧长的曲线积分的定义
一、 对弧长的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对弧长的曲线积分的定义
一、对弧长的曲线积分的概念 (一) 3引例 (二)对弧长的曲线积分的定义
一、 对弧长的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对弧长的曲线积分的定义
曲线形构件的质量 设有一曲线形构件 占有xoy面内一段曲线弧L (5,n M2 线密度p(x,y) A M Mi- 曲线形构件的质量？ >分割： M1,M2,Mm-1→ △S,△S2,AS >取近似：△M;≈p(5,7)△S >求和：。 ()As >取极限： M=∑P5,n)A
曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L ➢分割: 1 2 1 , , , M M Mn− i i i i M ( , )s ➢求和: = n i i i i M s 1 ( , ) ➢取极限: = → = n i i i i M s 1 0 lim ( , ) ➢取近似: 线密度 (x, y) 设有一曲线形构件 占有xoy面内一段曲线弧L 曲线形构件的质量 ? 1 2 , , , n s s s
一、对弧长的曲线积分的概念 (一) 3引例 (二) 对弧长的曲线积分的定义
一、 对弧长的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对弧长的曲线积分的定义
对弧长的曲线积分的概念 (一) 号引例 (二)对弧长的曲线积分的定义
一、 对弧长的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对弧长的曲线积分的定义
>定义 设为面内的一条光滑曲线弧，函数f(,y)在上有界. 在L上任意插入一点列M1,M2,Mm-把L分成n个小段. 设第个小段的长度为△S,又(5，：)为第i个小段上任意取定 的一点，作乘积f(5,7,)△s,(=1,2,m)并作和2f(5n,)△s, 如果当各小弧段的长度的最大值入时加 这和的极限总存在， 且与曲线弧L的分法及点(5：，的取法无关，那么称此极限为 函数孔x,)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分， 记作fx,y.即∫fx,d=m∑f5ns 其中飞，)叫做被积函数，L叫做积分弧段
➢定义 并作和 ( , ) , 1 = n i i i i f s 设 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数 f (x, y) 在 L 上有界. ,i 设第i 个小段的长度为 s 在L 上任意插入一点列 把L分成n个小段. 1 2 1 , , , M M Mn− 作乘积 f ( , ) s (i 1,2, ,n) i i i = 又 ( i ,i ) 为第i 个小段上任意取定 的一点, 如果当各小弧段的长度的最大值 时, 这和的极限总存在, 即 0 1 ( , )d lim ( , ) . n i i i L i f x y s f s → = = 函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, ( , )d . L f x y s 其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段. → 0 且与曲线弧L的分法及点 ( , 的取法无关，那么称此极限为 ) i i 记作
曲线形构件的质量：M=∫p(x,Jy)ds. ●注 (1)函数x)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为，f(化，y)d山s, (2)函数/)在光滑曲线弧L上连续时.∫fx,y)d存在 >函数x,y,z)在空间曲线弧厂上对孤长的曲线积分 Jfx,)k=∑f5n5)△
( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = → 曲线形构件的质量: ( , )d . = L M x y s ⚫注 (1) (2) 函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, ( , )d L f x y s 存在 ➢函数f(x,y,z)在空间曲线弧Γ上对弧长的曲线积分 函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 ( , )d . L f x y s