机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 第九章现代谱分析-建模与估计 一、谱分析方法概述 二、自回归滑动平均模型 三、自回归谱的建模与估计 四、谱估计综合举例 机械与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 第九章 现代谱分析-建模与估计 一、谱分析方法概述 二、自回归滑动平均模型 三、自回归谱的建模与估计 四、谱估计综合举例
SMEE 机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 基于傅里叶变换的频谱分析 观点1：通过频谱分析可以了解信号的频率分布情况。 观点2：周期信号：傅里叶级数变换得到离散的幅值谱。 非周期信号：傅里叶积分变换得到连续的幅值谱/相位谱、功率谱。 随机信号：通常用具有统计特征的功率谱密度分析。 观点3：频谱分析分为经典谱分析、现代谱分析。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 观点1：通过频谱分析可以了解信号的频率分布情况。 观点2：周期信号：傅里叶级数变换得到离散的幅值谱。 非周期信号：傅里叶积分变换得到连续的幅值谱/相位谱、功率谱。 随机信号：通常用具有统计特征的功率谱密度分析。 观点3：频谱分析分为经典谱分析、现代谱分析。 基于傅里叶变换的频谱分析
SMEE 机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 一、谱分析方法概述 (一)背景介绍 DFT/FFT是信号处理的重要工具，为现代谱分析打下基础。 ② 对设备运行状态检测，通过谱分析提供运行试验数据，检验设计效果， 寻找振源，开展故障预测与健康管理。 ③ 谱分析和谱估计方法的研究是信号处理技术一个很活跃的课题，特别 是近半个世纪以来，在功率谱估计方面涌现了许多新理论、新方法。 线性估计一 基于傅立叶变换的经典谱分析方法 ④功率谱估计 非线性估计一 基于参数模型的现代谱分析方法 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 一、谱分析方法概述 ① DFT/FFT是信号处理的重要工具，为现代谱分析打下基础。 ② 对设备运行状态检测，通过谱分析提供运行试验数据，检验设计效果， 寻找振源，开展故障预测与健康管理。 ③ 谱分析和谱估计方法的研究是信号处理技术一个很活跃的课题，特别 是近半个世纪以来，在功率谱估计方面涌现了许多新理论、新方法。 ④ 功率谱估计 （一）背景介绍 线性估计 ——基于傅立叶变换的经典谱分析方法 非线性估计 —— 基于参数模型的现代谱分析方法
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering (二)经典谱分析简介 相关函数法(BT法) 属于传统谱分析法，基于Fourier3变换 周期图法(CT法) (1)相关函数法 1958年Blackman和Tukey提出，又称BT法，它是通过统计分析， 在时域先求出有限个观测数据的自相关函数，再通过FFT变换得到 功率谱估计值。 在1965年Cooley:和Tukey提出FFT算法之前，BT法一直是最常 用的方法之一。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering （二）经典谱分析简介 属于传统谱分析法，基于Fourier变换 相关函数法(BT法) 周期图法(CT法) （1）相关函数法 1958年Blackman和Tukey提出，又称BT法，它是通过统计分析， 在时域先求出有限个观测数据的自相关函数，再通过FFT变换得到 功率谱估计值。 在1965年Cooley和Tukey提出FFT算法之前，BT法一直是最常 用的方法之一
SMEE 机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering (2)周期图法 在1965年Cooley和Tukey提出FFT算法之后出现的，它直接对 测试信号作FFT变换，再取幅值的平方，即可得到功率谱估计值。 x(t) FFT 一X(ω) CT法、 时 频 域 域 、BT法 Sx(@)= IX(ω)12 Rx()-FFT53() 维纳-辛钦公式 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering （2）周期图法 在1965年Cooley和Tukey提出FFT算法之后出现的，它直接对 测试信号作FFT变换，再取幅值的平方，即可得到功率谱估计值
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering (3) 经典谱分析的评价 ① 谱估计的模糊与失真 原因一：BT/CT法的本质都是把有限长的数据段，看成是无限长的取样序列给予 开窗截断后的结果。极限分辨力是观测时间的倒数，因而频谱分辨力不高。 原因二：无论是数据开窗还是自相关函数开窗，都将在频谱上产生“泄露”现象， 使功率谱主瓣内的能量泄漏到旁瓣内，这样弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣淹 没，造成谱估计的模糊与失真。 ②高分辨力与低旁瓣的矛盾 为了降低旁瓣，出现了一些窗口函数的形式和处理方法（如分段平均），但是所 有的旁瓣抑制技术，都是以牺牲谱分析分辨率为代价的，然而谱分辨力与低旁瓣都 是重要的性能指标。因此高分辨力与低旁瓣的矛盾成为了经典谱分析的一大难题。 ③传统谱分析，只有观测数据较长（采样点数多)，才能获得较高的谱估计精度， 这不仅增加了数据处理的工作量，又影响实时分析速度，同时对于工程上经常出现 的短记录数据或瞬态信号的分析处理就显得无能为力。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering （3）经典谱分析的评价 ① 谱估计的模糊与失真 原因一：BT/CT法的本质都是把有限长的数据段，看成是无限长的取样序列给予 开窗截断后的结果。极限分辨力是观测时间的倒数，因而频谱分辨力不高。 原因二：无论是数据开窗还是自相关函数开窗，都将在频谱上产生“泄露”现象， 使功率谱主瓣内的能量泄漏到旁瓣内，这样弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣淹 没，造成谱估计的模糊与失真。 ② 高分辨力与低旁瓣的矛盾 为了降低旁瓣，出现了一些窗口函数的形式和处理方法(如分段平均)，但是所 有的旁瓣抑制技术，都是以牺牲谱分析分辨率为代价的，然而谱分辨力与低旁瓣都 是重要的性能指标。因此高分辨力与低旁瓣的矛盾成为了经典谱分析的一大难题。 ③ 传统谱分析，只有观测数据较长（采样点数多），才能获得较高的谱估计精度， 这不仅增加了数据处理的工作量，又影响实时分析速度，同时对于工程上经常出现 的短记录数据或瞬态信号的分析处理就显得无能为力
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering (三)现代谱分析简介 (1)最大熵谱法 1967年Burg提出最大熵谱法(MEM,Maximum Entropy Method), 被认为是频谱分析的重大突破。 MEM不认为观测数据以外的数据全为0，没有固定的窗函数，而 是在时域上拟合差分方程并进行参数估计的形式，利用模型具有外推 预报的功能，最大限度利用数据点，从而克服传统谱分析的固有缺点 (暗中加窗引起的频率分辨力低、谱线泄露)。具有频率分辨力高、 能消除数据序列中的随机干扰、抗噪能力强等优点。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering （三）现代谱分析简介 （1）最大熵谱法 1967年Burg提出最大熵谱法（MEM，Maximum Entropy Method)， 被认为是频谱分析的重大突破。 MEM不认为观测数据以外的数据全为0，没有固定的窗函数，而 是在时域上拟合差分方程并进行参数估计的形式，利用模型具有外推 预报的功能，最大限度利用数据点，从而克服传统谱分析的固有缺点 （暗中加窗引起的频率分辨力低、谱线泄露）。具有频率分辨力高、 能消除数据序列中的随机干扰、抗噪能力强等优点
SME 机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 最大熵谱分析法的原理： “熵entropy”是信息论中对信息的数量进行描述的最基本量。 Bug把信息论中的最大熵技术用于短时间序列的功率谱估计， 中心思想是根据已知的数据信息，在不进行任何新的假设情况下， 合理地预测未知滞后上的自相关函数，也即用随机过程所对应的 概率函数之熵的最大值来把自相关函数外推。 由于是利用数据序列的非线性运算，因而得到的是与经典谱 分析不同的非线性功率谱，具有更高的频率分辨力，更接近真实 谱，特别适用于短时间记录数据序列的场合，是目前应用最广泛 的谱估计方法。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 最大熵谱分析法的原理： “熵 entropy”是信息论中对信息的数量进行描述的最基本量。 Burg把信息论中的最大熵技术用于短时间序列的功率谱估计， 中心思想是根据已知的数据信息，在不进行任何新的假设情况下， 合理地预测未知滞后上的自相关函数，也即用随机过程所对应的 概率函数之熵的最大值来把自相关函数外推。 由于是利用数据序列的非线性运算，因而得到的是与经典谱 分析不同的非线性功率谱，具有更高的频率分辨力，更接近真实 谱，特别适用于短时间记录数据序列的场合，是目前应用最广泛 的谱估计方法
SME 机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering (2)自回归谱Marple法 上世纪80年代初最大熵谱分析又有了新的开拓与推广， L.P.Marple提出无约束最小二乘法的递归算法，也称自回归谱 Marple法。 此方法计算量小于Burg的MEM,克服了MEM法的谱线分裂、 频率偏移缺陷，大大提高了谱估计的精度，频率分辨力进一步提 高，更适用于短时序数据处理。 此外，Gueguen(法)、Scharf(美)共同提出的ARMA(自回归 滑动平均模型)谱估计法，最小二乘估计(LSE),Yule Walker(YW)法、NMEM新最大熵谱法等。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering （2）自回归谱Marple法 上世纪80年代初最大熵谱分析又有了新的开拓与推广， L.P.Marple提出无约束最小二乘法的递归算法，也称自回归谱 Marple法。 此方法计算量小于Burg的MEM，克服了MEM法的谱线分裂、 频率偏移缺陷，大大提高了谱估计的精度，频率分辨力进一步提 高，更适用于短时序数据处理。 此外，Gueguen(法)、Scharf(美)共同提出的ARMA(自回归 滑 动 平 均 模 型 ） 谱 估 计 法 ， 最 小 二 乘 估 计 (LSE) ， YuleWalker(YW)法、NMEM新最大熵谱法等
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 二、自回归滑动平均模型 (一)ARMA模型 对平稳随机时间序列{x},可以建立一个线性、时间反演的时序模型： xk-1xk-1-2xk-2--omxk-M=ak +01ak-1++0Nak-N 式中：中1，…，中M一自回归系数 01,…,0M一滑动平均系数 M—一自回归部分的阶次 N一滑动平均部分的阶次 ak,ak-1…,ak-N 一N个相互独立的白噪声，且a;~NID(0,o2) 称为自由回归滑动平均模型ARMA(M,N)。 机越与电气工程学院
机械与电气工程学院 School of Machanical and Elcetrical Engineering 二、自回归滑动平均模型 对平稳随机时间序列 𝑥𝑘 ，可以建立一个线性、时间反演的时序模型： 𝑥𝑘 − 𝜙1𝑥𝑘−1 − 𝜙2𝑥𝑘−2 − ⋯ − 𝜙𝑀𝑥𝑘−𝑀 = 𝑎𝑘 + 𝜃1𝑎𝑘−1 + ⋯ + 𝜃𝑁𝑎𝑘−𝑁 式中： 𝜙1, ⋯ ,𝜙𝑀 —— 自回归系数 𝜃1, ⋯ , 𝜃𝑀 —— 滑动平均系数 𝑀 —— 自回归部分的阶次 𝑁 —— 滑动平均部分的阶次 𝑎𝑘, 𝑎𝑘−1 ⋯ , 𝑎𝑘−𝑁 —— 𝑁个相互独立的白噪声，且𝑎𝑖 ∼ NID 0, 𝜎𝑎 2 称为自由回归滑动平均模型 ARMA(M , N)。 （一）ARMA模型
