《大学物理》第八章 习题答案

习题八 8-1电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系 解:如题8-1图示 (1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q'为负电荷 30° 4: 解得 q (2)与三角形边长无关 F 题8-1图 题8-2图 8-2两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电 量,静止时两线夹角为20,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计,求每个小球所带的电量. 解:如题8-2图示 Tcos6=mg Tsin 0=F 4rE0(2/sn) 解得q=2lsnO√4 TEomg tan 8

习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q  为负电荷 0 2 2 2 0 ) 3 3 ( 4π 1 cos30 4π 1 2 a qq a q   =   解得 q q 3 3  = − (2)与三角形边长无关． 题 8-1 图 题 8-2 图 8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电 量，静止时两线夹角为2  ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题 8-2 图示      = = = 2 2 0 4π (2 sin ) 1 sin cos     l q T F T mg e 解得 q = 2lsin  4 0mg tan

8-3根据点电荷场强公式E=9,当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解? 解:E=q,而仅对点电荷成立,当r→0时,带电体不能再视为点电 荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大 8-4在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分 别为+q和g·则这两板之间有相互作用力f,有人说∫=q2又有人 说,因为f=qE,E=q,所以∫=9,试间这两种说法对吗?为什么? 8s f到底应等于多少? 解:题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的,第二种说法把合场强E=9看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的.正确解答应为一个板的电场为E=4,另一板受它的作用 力∫=q9=9,这是两板间相互作用的电场力 2EoSeOs 8-5电偶极子的电矩为p=ql,场点到偶极子中心0点的距离为r,矢量 与l的夹角为,(见题8-5图),且r>>1.试证P点的场强E在r方向上的分 量E,和垂直于r的分量E分别为 今A3,E=Snb E=pcos

8-3 根据点电荷场强公式 2 4 0 r q E  = ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 2 0 4π 0 r r q E    = 仅对点电荷成立，当 r →0 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有 A ，B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ，其带电量分 别为+ q 和- q ．则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 2 0 2 4 d q  ,又有人 说，因为 f = qE , S q E 0  = ，所以 f = S q 0 2  ．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的，第二种说法把合场强 S q E 0  = 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 S q E 2 0  = ，另一板受它的作用 力 S q S q f q 0 2 2 0 2 = = ，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为 p ql   = ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r  与 l  的夹角为  ,(见题8-5图)，且 r  l ．试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 Er 和垂直于 r 的分量 E 分别为 Er = 3 2 0 cos r p   , E = 3 4 0 sin r p  

证:如题8-5所示,将p分解为与F平行的分量psiO和垂直于F的分量 .场点P在r方向场强分量 E pcos 垂直于r方向,即b方向场强分量 Eo 4 pcosB P sin 题8-5图 题8-6图 8-6长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度A=50x10C·m的 正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强 (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强 解:如题8-6图所示 (1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为 dE P AtEo(a-x) Ep=「 4: 4 2

证: 如题 8-5 所示，将 p  分解为与 r  平行的分量 p sin  和垂直于 r  的分量 p sin  ． ∵ r  l ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量 3 2π 0 cos r p Er   = 垂直于 r 方向，即  方向场强分量 3 0 0 4π sin r p E   = 题 8-5 图 题 8-6 图 8-6 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度  =5.0x10-9C·m -1 的 正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距 1 a =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2 d =5.0cm 处 Q 点的场强． 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为 2 0 ( ) d 4π 1 d a x x EP − =   2 2 0 2 ( ) d 4π d a x x E E l P P l − = =    −  ] 2 1 2 1 [ 4π 0 l a l a + − − =  

8o(4a 用l=15cm,4=50×10C·m-,a=125cm代入得 Ep=674×102N·C方 向水平向右 (2)同-4πE。x2+d2 方向如题8-6图所示 由于对称性[dEa=0,即E只有y分量, 4 +d2 vx2+d d1 以=50×10-C·cm-,1=15cm,d2=5cm代入得 Eo=Eo=1496×102N.C,方向沿y轴正向 8-7一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场 解:如8-7图在圆上取d=Rd 题8-7图

π (4 ) 2 2 0 a l l − =   用 l =15 cm， 9 5.0 10−  =  1 C m −  , a =12.5 cm 代入得 2 EP = 6.7410 1 N C −  方 向水平向右 (2)同理 2 2 2 0 d d 4π 1 d + = x x EQ   方向如题 8-6 图所示 由于对称性  = l dEQx 0 ，即 EQ  只有 y 分量， ∵ 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d 4π 1 d + + = x x x EQy   2 2 4π d d    = = l EQy EQy − + 2 2 2 3 2 2 2 ( d ) d l l x x 2 2 2 2π 0 + 4d = l l   以 9 5.0 10−  =  1 C cm−  , l =15 cm, d2 = 5 cm 代入得 2 EQ = EQy =14.9610 1 N C −  ，方向沿 y 轴正向 8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为  ,求环心处 O 点的场 强． 解: 如 8-7 图在圆上取 dl = Rd 题 8-7 图

dq=Adl=Rldg,它在O点产生场强大小为 de= 方向沿半径向外 4πE。R 则dE= de sin 4πEnR de,=dE cos(T-o)= cos dop 4丌E。R 积分E,= 4πEnR Tt8 E 4IE R oS do=0 E=En代,方向沿x轴正向 8-8均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.(1)求这正方形轴 线上离中心为r处的场强E:(2)证明:在r>>处,它相当于点电荷q产生 的场强E 解:如88图示,正方形一条边上电荷9在P点产生物强dE,方向如图,大 小为 de- a(cos0,-cos0,) 4兀E 6

dq = dl = Rd ，它在 O 点产生场强大小为 2 4π 0 d d R R E    = 方向沿半径向外 则      sin d 4π d d sin 0R Ex = E =       cos d 4π d d cos( ) 0R Ey E − = − = 积分 R R Ex 0 0 0 2π sin d 4π        = =  cos d 0 4π 0 0 = − =       R Ey ∴ R E Ex 2π 0   = = ，方向沿 x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r  l 处，它相当于点电荷 q 产生 的场强 E ． 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 4 q 在 P 点产生物强 EP  d 方向如图，大 小为 ( ) 4 4π cos cos d 2 2 0 1 2 l r EP + − =     ∵ 2 2 cos 2 2 1 l r l +  =

cos e cos e den= πEa1r+ dEp在垂直于平面上的分量dE1= dEp cos b de,= 12 4 d El 题8-8图 由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为 42r Ep=4×dE 4tE0( +P+2 q E 4: 41-方向沿O 8-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在 点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处,求: 通过圆平面的电通量.(a= arctan-)

2 1 cos = −cos ∴ 4 2 4π d 2 2 2 2 0 l r l l r EP + + =   EP  d 在垂直于平面上的分量 dE⊥ = dEP cos ∴ 4 2 4 4π d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E + + + ⊥ =   题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为 2 ) 4 4π ( 4 4 d 2 2 2 2 0 l r l r lr EP E + + =  ⊥ =   ∵ l q 4  = ∴ 2 ) 4 4π ( 2 2 2 2 0 l r l r qr EP + + =  方向沿 OP 8-9 (1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在 点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面． q 在该平面轴线上的 A 点处，求： 通过圆平面的电通量．( x R  = arctan )

解:(1)由高斯定理5Ed= 立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴各面电通量Φ=q 68 (2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的 立方体中心,则边长2a的正方形上电通量Φ=9 对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则。=9 如果它包含q所在顶点则Φ。=0 如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图 题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为√R2+x2的球冠面 的电通量,球冠面积* S=2m(R2+x2) R2+x2 40 9[1 E04x(R2+x2)2 *关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图

解: (1)由高斯定理 0 d  q E S s  =   立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 6 0  q e = ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使 q 处于边长 2a 的 立方体中心，则边长 2a 的正方形上电通量 6 0  q e = 对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 24 0  q e = ， 如果它包含 q 所在顶点则 e = 0． 如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图 题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图 (3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 2 2 R + x 的球冠面 的电通量，球冠面积* 2π( )[1 ] 2 2 2 2 R x x S R x + = + − ∴ 4π( ) 2 2 0 0 R x q S +  =  2 0  q = [ 2 2 1 R x x + − ] *关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图

2rsna·rd =2r2sna·d 2T(I-cosa) 8-10均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10-5C·m 求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强 解:高斯定理E·dS= ∑ ,E472= 当r=5cm时,∑q=0,E=0 r=8cm时 ∑ 4 ≈348×104N.C-1,方向沿半径向外 =12cm时 E 4.10×10N·C-沿半径向外 4πEr 8-11半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别 带有电量和-,试求:(1)r≤R1;(2)R1R2处各点 的场强 解:高斯定理「Ed=2q 取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2兀l 则 fE.dS=E2Trl

    =  0 S 2πrsin rd     =  0 2 2πr sin d 2π (1 cos ) 2 = r −  8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 5 10 − C·m -3 求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 0 d     = q E S s   , 0 2 4π   = q E r 当 r = 5 cm 时， q = 0 , E = 0  r = 8 cm 时， q 3 4π = p 3 (r ) 3 − r内 ∴ ( ) 2 0 3 2 4π 3 4π r r r E   − 内 = 4  3.4810 1 N C −  ， 方向沿半径向外． r = 12 cm 时, 3 4π q =  − 3 (r外 r内 3） ∴ ( ) 4 2 0 3 3 4.10 10 4π 3 4π   − = r r r E   外 内 1 N C −  沿半径向外. 8-11 半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别 带有电量  和-  ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点 的场强． 解: 高斯定理 0 d     = q E S s   取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2πrl 则 E S E rl S d = 2π   

对(1) R∑q=0,E=0 RR2∑q=0 E=0 题8-12图 8-12两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为G1和2 试求空间各处场强 解:如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与a2, 两面间,E=1 (o,-o2)n G1面外,E (1+2 面外,E=~(σ1+O2n 万:垂直于两平面由G1面指为G2面 8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为p,若在球内挖去一块半 径为r<R的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心O与O点的场强, 并证明小球空腔内的电场是均匀的 解:将此带电体看作带正电p的均匀球与带电-P的均匀小球的组合,见 题8-13图(a

对(1) R1 r  q = 0,E = 0 (2) 1 R2 R  r  q = l ∴ r E 2π 0   = 沿径向向外 (3) R2 r  q = 0 ∴ E = 0 题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为  1 和  2 ， 试求空间各处场强． 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为  1 与  2 ， 两面间， E n   ( ) 2 1 1 2 0    = −  1 面外， E n   ( ) 2 1 1 2 0    = − +  2 面外， E n   ( ) 2 1 1 2 0    = + n  ：垂直于两平面由  1 面指为  2 面． 8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为  ,若在球内挖去一块半 径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O 点的场强， 并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电  的均匀球与带电 −  的均匀小球的组合，见 题 8-13 图(a)．

(1)+p球在O点产生电场E0=0 p球在O点产生电场E2=3 4πEd O点电场E od (2)+p在O产生电场E=3 o0 P球在O产生电场E20=0 ∴O点电场 0—a 题8-13图(a) 题8-13图(b) (3)设空腔任一点P相对O的位矢为F,相对O点位矢为F(如题8-13(b) 则

(1) +  球在 O 点产生电场 E10 = 0  ， −  球在 O 点产生电场 ' 4π d π 3 4 3 0 3 20 OO r E   =  ∴ O 点电场 ' 3 d 3 0 3 0 OO r E   =  ； (2) +  在 O 产生电场 ' 4π d d 3 4 3 0 3 E10 OO     =  −  球在 O 产生电场 E20 = 0  ∴ O 点电场 0 0 3  E  =  OO' 题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) (3)设空腔任一点 P 相对 O 的位矢为 r   ，相对 O 点位矢为 r  (如题 8-13(b) 图) 则 3 0  r EPO   =