167量子力学对氢原子问题的处理 氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为: 其定态薛定谔方程为: wv+&7-meX4TGOr) 用球坐标(7O9)代替直角坐标(x=)
16.7 量子力学对氢原子问题的处理 一、氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为： 其定态薛定谔方程为 ： V = 4πε r e 2 o 用球坐标 ( r ,θ ,φ ) 代替直角坐标（x,y,z) ( ) 0 0 2 2 2 4 2 8 + + = r e h m E
x=rsing conp 电子 y=rsirg sin Z=rcos 原子核 (r:电子到核的距离) 在球坐标中的薛定谔方程为: y osm 6 y r2sin0 a8 06 ayt h 8m(E+ r-sin-0 d 4兀Ear
x y z θ φ r 电子 原子核 在球坐标中的薛定谔方程为： x =r sinθ cosφ y =r sinθ sinφ z = cosθ r ( r：电子到核的距离）
设波函数为:y(r)=R(r)(yp() 代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解 在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然 地(而不是作为假设条件提出)得出了量子化的结果 dR、.2m 1e2、l(l+1) 121 (r2)+[2(E dr dr 4兀o 2]R=0 (Sin 8 o +[(+1) Q=0 sine de d sine
设波函数为: 代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解. 在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然 地(而不是作为假设条件提出) 得出了量子化的结果. 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) [ ( ) ] 0 4 1 (sin ) [ ( 1) ] 0 sin sin l d dR m e l l r E R r dr dr r r d d m l l d d + + + − = + + =
方位角满足的方程dΦ2 +mΦ=0 其通解: Φn1()=Aem,m=0,±1,+2, 由于波函数必须是单值的em=Aem(+2x) A由归一化条件 求出:
方位角满足的方程 其通解: 由于波函数必须是单值的 A 由归一化条件 求出： 1 2 A =
二、三个量子数 能量量子化和主量子数 求解波函数的径向部分方程,得到 1 me4 En=n2861 13.6e,n=1.2.3. h n:主量子数 角动量量子化和角量子数 求解波函数的角函数方程和径向方程,得到
二 、三个量子数 1、能量量子化和主量子数 求解波函数的径向部分方程，得到 n:主量子数 2、角动量量子化和角量子数 求解波函数的角函数方程和径向方程 ，得到 4 2 2 2 2 0 1 1 ( ) 13.6 , 1,2,3,.... 8 n me E eV n n h n = − = − =
L=√(1+ h 2兀 =0,123…(n-1) 角动量量子数 3、空间量子化和磁量子数 求解波函数的角函数部分方程,发现角动量做为 个矢量在空间的方位也是量子化的 h mu2兀 m1=0,+1,±2,…±(磁量子数)
角动量量子数 3、空间量子化和磁量子数 求解波函数的角函数部分方程 ，发现角动量做为 一个 矢量在空间的方位也是量子化的 (磁量子数 )
空间量子化的实验证明:1896年,塞曼发现在磁场 中谱线分裂的现象正常塞曼效应 无磁场弱磁场 [=1 p 无磁场时的谱线 l=0s 在磁场中谱线的分裂 U U
空间量子化的实验证明 ∶ 1896年 ，塞曼发现在磁场 中谱线 分裂的现象- 正常塞曼效应 无磁场时的谱线 在磁场中谱线的分裂 ν 0 p s l =1 l = 0 无磁场 ν 0 1 1 0 弱磁场 ml
氢原子内电子的状态 1=0L=1L=2l=3l=4l=5 (s)(p)(d)(f)(g)(h) 几=11s n=2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n=4 4s 4p 4d 4f n=5 5s 5p 5d 5f 5g n=6 6s 6p 6d 6f6 96h
氢原子内电子的状态 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 n =6 l = 0 l =1 l = 2 l = 3 l = 4 l = 5 ( s ) ( p ) ( d ) ( f ) ( g ) ( h ) 1s 5s 5p 5d 5f 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2s 2p
五、氢原子的电子云 氢原子定态的波函数为: yn,lmr d )=Rn, I(rO i,m0) mo) 对于由n,m决定的定态,电子出现的几率 密度为: Pn,Imro xo) 其中Rn,()给出不同处的几率密度。 O;m,)给出不同处的几率密度。 ④m2)-给出不同o处的几率密度
氢原子定态的波函数为： ψ n l m（r,θ ,φ ）=R (r)Θ (θ )Φ (φ , , l n l ml , l ml , ) 其中 Rn (r) ,l 2 给出不同 r 处的几率密度。 Θ (θ ) l ml , 2 给出不同θ 处的几率密度。 Φ m (φl ) 2 给出不同φ 处的几率密度。 对于由 n , l , ml 决定的定态，电子出现的几率 ψ n , l , m（l r,θ ,φ ） 密度为： 2 五、氢原子的电子云
电子的R,1()2~图线 电子径向概率分布 Rn(r) Rn()2 1s 2S o 2a r o 3ao 6ao 9ao R() 3s 06a012a18ao
Rn(r) R 2 n(r) 2 2a0 3a0 6a0 9a0 a0 r r 0 0 1s 2s Rn(r) 2 6a0 12a0 18a0 r 0 3s 电子的 Rn,l (r) 图线 2 ~ r 电子径向概率分布
