第四章线性方程组S1消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是道元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解例1解线性方程组2x, +2x, +3x = 3,-2x, +4x +5x, =-7,4x, +7x2 +7x =1.解将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得2x +2x +3x,=3,6x, +8x, = -4,3x, + x, = -5在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得2x +2x, +3x, = 3,3x, +x = -5,6x, =6.再回代，得x=1,x=-2,x=2分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1）我们对方程施行了三种变换：①交换两个方程的位置；②用一个不等于0的数乘某个方程；③用一个数乘某一个方程加到另一个方程上我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换，由初等代数可知，以下定理成立。定理1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组（2）线性方程组有没有解，以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项定义1我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数项所组成的矩阵叫做增广短阵设线性方程组1
1 第四章 线性方程组 §1 消元法 在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是 消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过 程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解. 例 1 解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 3, 2 4 5 7, 4 7 7 1. x x x x x x x x x + + = − + + = − + + = 解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3, 6 8 4, 3 5. x x x x x x x + + = + = − + = − 在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2 加到第三个方程得 1 2 3 2 3 3 2 2 3 3, 3 5, 6 6. x x x x x x + + = + = − = 再回代,得 3 2 1 x ,x ,x = = − = 1 2 2 . 分析上述例子，我们可以得出两个结论： （1） 我们对方程施行了三种变换： ① 交换两个方程的位置； ② 用一个不等于 0 的数乘某个方程； ③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上. 我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换. 由初等代数可知，以下定理成立. 定理 1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组. （2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我 们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项. 定义 1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及 常数项所组成的矩阵叫做增广矩阵. 设线性方程组
aux+a2x,+...+anx,=ba2i,+a2x+...+a2nx,=b,(4-1)am+am2X2++ammX,=bm则其系数矩阵是[aai2ain...a21a2nan2...A=:::[aml...ammam2增广矩阵是br[aai2an.b2aana21a22..A=:::bmamm[amlam2.再令Xb2x2b=x.*...[bm][x,则（4-1)式可以写成矩阵形式：Ax=b.满足（4-1)的一个n元有序数组称为n元线性方程组（4-1)的一个解，一般用列向量形式=（k,kz，,k）表示，因此也陈是方程组（4-1)的一个解向当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的蟹或一般解，显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出。例2解线性方程组11++#*+=1,35x+3x=3x, +-S4[2+++ x, =2. 解增广矩阵是2
2 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b , a x a x a x b , a x a x a x b . + + + = + + + = + + + = (4 1− ) 则其系数矩阵是 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A 增广矩阵是 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b A = 再令 1 2 n x x x x = ， 1 2 m b b b b = ， 则 (4 1− ) 式可以写成矩阵形式： Ax b = . 满足 (4 1− ) 的一个 n 元有序数组称为 n 元线性方程组 (4 1− ) 的一个解，一般用列向量形 式 (k k k 1 2 , , , n ) = 表示，因此也陈 是方程组 (4 1− ) 的一个解向量. 当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的通解或一般解. 显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广 矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵， 这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩 阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. 例 2 解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 3 5 3 3 3 4 2 5 2 3 x x x , x x x , x x x . + + = + + = + + = 解 增广矩阵是
11211135A=133342523交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再2把第二行乘以（-2)得513推33A=01110 -2 -1 -4在A中将第二行乘以2加到第三行得53313A =01110012相应的方程组变为三角形（阶梯形）方程组：5*+号* +3x, =3,X +x, =1,x = -2.回代得x,=-2,x=3,x=4S2丝线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组a+a2x+.+anxn=ba,+a22,+..+anx,=b,,[amx+am2x+..+a,=bm这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程3
3 1 1 1 1 2 3 5 1 3 3 3 4 2 5 2 3 = A , 交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以 1 2 − 和(-2)加到第二行和第三行，再 把第二行乘以(-2)得 1 5 1 3 3 3 0 1 1 1 0 2 1 4 = − − − A , 在 A1 中将第二行乘以 2 加到第三行得 2 5 1 3 3 3 0 1 1 1 0 0 1 2 = − A , 相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组： 1 2 3 2 3 3 5 3 3 3 1 2 x x x , x x , x . + + = + = = − 回代得 3 2 1 x ,x ,x = − = = 2 3 4. §2 线性方程组有解判别定理 上一节我们讨论了用消元法解方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b , a x a x a x b , a x a x a x b , + + + = + + + = + + + = 这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程
组（4-1）在什么时候无解?在什么时候有解？有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答，首先，由第二章的定理2，我们有下述定理定理2设A是一个m行n列矩阵[ajCina12aaia2..aznA=：::[amlam2amr...通过矩阵的行初等变换能把A化为以下形式[1000...Cur+lCin..0010...C2,r+1C2n.....+0001...Ct,r+1Cm...00...........00...这里r≥0，r≤m,r≤n.注意以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式。由定理2，我们可以把线性方程组（4-1)的增广矩阵进行行初等变换化为：<>00d,..CLr+1Cin...010d,...C2.r+l...C2n......001d,(4-3)Cm-Crr+l...0dr+0.........+0dmJLO......+·....与矩阵（4-3)相应的线性方程组为：[X +Cirr++..+CinX,=d,X, +C2I +..+cnX, =d.,X,+Cr+++.+cmX,=d(4-4)0=dr+1[0=dm由定理1知：方程组（4-1)与方程组（4-4)是同解方程组，要研究方程组（4.1)的解，4
4 组(4-1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予 以解答. 首先，由第二章的定理 2，我们有下述定理 定理 2 设 A 是一个 m 行 n 列矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A ， 通过矩阵的 行 初等变换能把 A 化为以下形式 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,r n ,r n r ,r rn c c c c c c , + + + 这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ. 注意 以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式. 由定理 2，我们可以把线性方程组(4-1)的增广矩阵进行 行 初等变换化为： 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ,r n ,r n r ,r rn r r m c c d c c d c c d . d d + + + + （4-3） 与矩阵(4-3)相应的线性方程组为： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 0 ,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n r r m x c x c x d , x c x c x d , x c x c x d d , d + + + + + + + + + + = + + + = + + + = = = （4-4） 由定理 1 知：方程组(4-1)与方程组(4-4)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解
就变为研究方程组(4-4)的解.④若dr+1，d+2，*，d中有一个不为0，方程组（4-4)无解，那么方程组（4-1)也无解.②若dr+i，dr+2，***，dm全为0，则方程组（4-4)有解，那么方程组（4-1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理定理3（线性方程组有解的判别定理）线性方程组（4-1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.①当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解：②当r<n时，方程组有无穷多解线性方程组（4-1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：X, =d, -Cir+IXr+I--..-CinX,X, =d, -C2,r+1XrI-..-C2nXn,X,=d,-Cr++X+I-...-CmXn.其中x+1,x+2.,x,是自由未知量，若给一组数1,l2,ln,就得到方程组的一组解X, =d, -Ci.+h --..-c.n-r'X, =d, -C2-+ -..-C2n'n-r,+++X, =d, -c.r+lf ---cmn-rXr+1 =l,Xr+2 =12,+...x, = ln-r.例3研究线性方程组X -x2 +3x, -x4 =1,2x-x-+4x=2,3x-2x2+2x+3x=3[x -4x, +5x4 =-1解写出增广矩阵[1 -]3-112-1 -42A=-2233310-45-1对A进行初等行变换可化为5
5 就变为研究方程组(4-4)的解. ① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，.，ｄｍ中有一个不为 0，方程组(4-4)无解，那么方程组(4- 1)也无解. ② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，.，ｄｍ全为 0，则方程组(4-4)有解，那么方程组(4-1)也有 解. 对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系 数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理. 定理 3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4-1）有解的充分必要条件是系数矩 阵与增广矩阵有相同．．的秩．r. ① 当 r 等于方程组所含未知量个数 n 时，方程组有惟一的解； ② 当 r＜ｎ时，方程组有无穷多解. 线性方程组（4-1）无解的充分必要条件是：系数矩阵 A 的秩与增广矩阵 B 的秩不相等. 在方程组有无穷多解的情况下，方程组有 n-r 个自由未知量，其解如下： 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 ,r r n n ,r r n n r r r ,r r m n x d c x c x , x d c x c x , x d c x c x . + + + + + + = − − − = − − − = − − − 其中 r r , n 1 2 x ,x ,x + + 是自由未知量，若给一组数 1 2 n r l ,l , ,l − 就得到方程组的一组解 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 ,r n n r ,r n n r r r r ,r rn n r r r n n r x d c l c l , x d c l c l , x d c l c l , x l , x l , x l . + − + − + − + + − = − − − = − − − = − − − = = = 例 3 研究线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 3 1 2 4 2 3 2 2 3 3 4 5 1 x x x x , x x x x , x x x x , x x x − + − = − − + = − + + = − + = − 解 写出增广矩阵 1 1 3 1 1 2 1 1 4 2 3 2 2 3 3 1 0 4 5 1 . − − − − = − − − A 对 A 进行初等行变换可化为
1.13-110601-7000000-2000由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解例4在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表所示产品（公斤）总成本生产批次IVIIIIII（元）50120010010029002500250200100705003100402013604180160604005500试求每种产品的单位成本，解军设I、II、IⅡI、IV四种产品的单位成本分别为x，x2,x,x4，由题意得方程组：200x,+100x,+100x,+50x=2900500x,+250x,+200x,+100x,=7050100x +40x,+40x,+20x=1360400x, +180x,+160x,+60x=5500化简，得4x+2x,+2x+x4=5810x+50x+4x,+2x=1415x +2x2 +2x +x4=6820x+9x,+8x,+3x=275写出增广矩阵2215841054214152 2168209833275对其进行初等行变换，化为000101100500103000012由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：x =10,x, =5,x = 3,x =2例5解线性方程组6
6 1 1 3 1 1 0 1 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 . − − − − 由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解. 例 4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表所示. 生产批次 产品（公斤） 总成本 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ （元） 1 200 100 100 50 2900 2 500 250 200 100 7050 3 100 40 0 20 1360 4 400 180 160 60 5500 试求每种产品的单位成本. 解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为 1 2 3 4 x ,x ,x ,x ，由题意得方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 200 100 100 50 2900 500 250 200 100 7050 100 40 40 20 1360 400 180 160 60 5500 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = + + + = 化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 2 58 10 50 4 2 141 5 2 2 68 20 9 8 3 275 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = + + + = 写出增广矩阵 4 2 2 1 58 10 5 4 2 141 5 2 2 1 68 20 9 8 3 275 对其进行初等行变换，化为 1 0 0 0 10 0 1 0 0 5 0 0 1 0 3 0 0 0 1 2 由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程 组有唯一解： 1 2 3 4 x ,x ,x ,x . = = = = 10 5 3 2 例 5 解线性方程组
[X +2x, +3x, +x4 = 5,2x, +2x -2x4 = 2,-x -2x, +3x +2x4 =8[x +2x,-9x,-5x=-21.解军这里的增广矩阵是S12312202-228-23-11-9-5-212对其进行初等行变换，化为3_71100-261110026113001260]Lo000由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，月所以方程组有解，对应的方程组是37Xi-2×4=-6211+*=-6113x+=x=62把x移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为73X =-+X4,6211X2 =64131X=64.给自由未知量一组固定值：x4=0，我们就得到方程组的一个解71135x=0Xi = -6=-6*=6事实上，在例5中，x也可作为自由未知量.我们同样可考察X，x2.7
7 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 2 2 2 2 2 3 2 8 2 9 5 21 x x x x , x x x , x x x x , x x x x . + + + = + − = − − + + = + − − = − 解 这里的增广矩阵是 1 2 3 1 5 2 0 2 2 2 1 2 3 2 8 1 2 9 5 21 , − − − − − − 对其进行初等行变换，化为 3 7 1 0 0 2 6 1 1 0 1 0 2 6 1 13 0 0 1 2 6 0 0 0 0 0 . − − − 由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是 1 4 2 4 3 4 3 7 2 6 1 1 2 6 1 13 2 6 x x , x x , x x . − = − + = − + = 把 4 x 移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为 1 4 2 4 3 4 7 3 6 2 1 1 6 2 13 1 6 2 x x , x x , x x . = − + = − − = − 给自由未知量一组固定值： 4 x = 0 ，我们就得到方程组的一个解. 1 2 3 4 7 1 13 0 6 6 6 x ,x ,x ,x , = − = − = = 事实上，在例 5 中， 3 x 也可作为自由未知量.我们同样可考察 1 2 x ,x