第三章ARMA模型的特性时间房测粉桥
第三章 ARMA模型的特性
本章主要研究ARMA模型的特性。不同形式的ARMA模型除了其形式不同之外。一定还有其他方面的差异，比如，什么样的时间序列适合用AR模型。什么样的时间序列适合用MA模型。本章将深入分析ARMA模型的特性，为进一步识别模型、估计参数找寻理论依据
本章主要研究ARMA模型 的特性。不同形式的ARMA模 型除了其形式不同之外，一定 还有其他方面的差异，比如， 什么样的时间序列适合用AR 模型 ，什么样的时间序列适 合用MA模型。本章将深入分 析ARMA模型的特性，为进一 步识别模型、估计参数找寻理 论依据
艾S3.1格林函数和平稳性一、线性常系数差分方程及其解的一般形式在非平稳序列的平稳化中我们介绍了差分，下面在时间序列的格林函数研究中要用到差分方程，下面介绍线性差分方程的一些知识
§3.1 格林函数和平稳性 一、线性常系数差分方程及其解的一 般形式 在非平稳序列的平稳化中我们介 绍了差分，下面在时间序列的格林函 数研究中要用到差分方程，下面介绍 线性差分方程的一些知识
(一)差分方程的定义假设 X,,t =0,±1,±2,为实数列，若X满足下列关系式：(1)X, -,X,-1 -...-PnX,-n = h(t)其中，P1,P2，,Pn 为实数，h(t)为t的已知实函数，则称（1）式为序列X,所满足的线性差分方程，特别地，当h(t)=0时，即：(2)X, -9X,-1 -...-PnX-n = 0
（一）差分方程的定义 假设 为实数列，若Xt满足下列关系式: 其中, 为实数， 为t的 已知实函数，则称（1）式为序列Xt所满 足的线性差分方程，特别地，当 时，即： {X ,t = 0,1,2, } t ( ) (1) 1 1 X X X h t t − t− −−n t−n = n , , , 1 2 h(t) h(t) = 0 0 (2) Xt −1 Xt−1 −−n Xt−n =
称式（2）为齐次线性差分方程。以上之所以称之为差分方程，是由于我们将形如：X, -oX,- -.-PnX,-n的式子称为序列的广义差分。比如,X, -0.75Xt-1称为一阶广义差分
称式（2）为齐次线性差分方 程。 以上之所以称之为差分方程， 是由于我们将形如： 的式子称为序列Xt的广义差分。比 如， 称为一阶广义差分。 Xt −1 Xt−1 −−n Xt−n 75 1 0. Xt − Xt−
X,-0.88Xt-1 + 0.68X2称为二阶广义差分，一般地PnXX,-PX一-n称为n阶广义差分
称为二阶广义差分，一般地， 称为n阶广义差分。 Xt −1 Xt−1 −−n Xt−n 1 68 2 0.88 0. Xt − Xt− + Xt−
为了简化线性差分方程的表达形式和计算，我们引进记号B，称B为后退算子(Back operator),福也称后移算子。后退算子是对序列的一种单项运算符，即BX,=X-1它满足以下性质：即B°X,=X(1) B° =1称B0为恒等算子
为了简化线性差分方程的表达 形式和计算，我们引进记号B，称 B为后退算子（Back operator）， 也称后移算子。后退算子是对序列 的一种单项运算符，即B Xt= Xt-1 。它满足以下性质： (1) 即 称B0为恒等算子； B Xt = Xt 0 1 0 B =
(1)B。= 1B°X, = X即称B为恒等算子；(2)若C是常数，则B(CX)= C(BX) = CX即常数可以拿到算子符号外面
(1) 即 称B0为恒等算子； (2) 若C是常数，则 即常数可以拿到算子符号外面； 1 ( ) ( ) B CXt = C BXt = CXt− B Xt = Xt 0 B0 =1
(3)对任意两个序列X和Y，有B(X, ±Y) = BX, ±BY, = X,-1 ±Y-1即两个序列的和或差的后退运算等于序列先后退运算之后的和或差(4)B" X, = Bn-1(BX,)= B"-I X=..=X-1tn即n次后退相当于序列滞后n期
(3)对任意两个序列Xt和Yt，有 即两个序列的和或差的后退运算等 于序列先后退运算之后的和或差； (4) 即n次后退相当于序列滞后n期。 1 1 ( ) B Xt Yt = BXt BYt = Xt− Yt− t t n n t n t n B X X B X B BX − − − − = = = = 1 1 1 ( )
(5)nn(ZC(B*)X, =ZC,B*xk=1k=1nZCkX,-kk=1即后退算子的线性表达式仍为后退算子，其后退结果等于序列各级后退的线性式。由以上算子表达式可知，上面的差分方程可以表示为:
(5) 即后退算子的线性表达式仍 为后退算子，其后退结果等于序 列各级后退的线性式。由以上算 子表达式可知,上面的差分方程可 以表示为: t k t k t k X B X B X − = = = = = n k 1 k n k 1 k n k 1 k C ( C ) C