第二章 矩阵S1矩阵的定义在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵的概念线性方程组ax,+a2x+..+amx,=0,a2m,+a+...+a2nx=0...[am+a2x,++amx,=0的系数可排列成一个m行n列的矩形数表[a.an：：Lan..am这样的表叫做mxn短阵，我们用粗黑体字A等表示，a，叫做矩阵A的元素，它位于矩阵A的第i行、第j列的交叉处，一般情况下，有定义如下：定义1给出mxn个数，按一定顺序排成一个m行n列的矩形数表[aa2..ana21 a22.. a2n：….Laml am2 . amm此数表叫做m行n烈短阵，简称mxn短阵，上面的矩阵一般用大写字母A，B，C.表示，有时亦记为A=(a）mn，或A=(a,）或Amn在mxn矩阵A中，如果m=n，就称A为n阶方阵，如果矩阵A的元素α，全为实（复）数，就称A为实（复）矩阵，只有一行的矩阵A=(α az * a,)叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A=(a,a,",a).只有一列的矩阵1
1 第二章 矩阵 §1 矩阵的定义 在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵 的概念. 线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 的系数可排列成一个 m 行 n 列的矩形数表 11 1 1 n n nn a a a a 这样的表叫做 m n 矩阵，我们用粗黑体字 A 等表示， ij a 叫做矩阵 A 的元素，它位于矩 阵 A 的第 i 行、第 j 列的交叉处，一般情况下，有定义如下： 定义 1 给出 m n 个数，按一定顺序排成一个 m 行 n 列的矩形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a ， 此数表叫做 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵.上面的矩阵一般用大写字母 A ， B ，C . 表示，有时亦记为 A ( )ij m n a = ,或 A = ( )ij a 或 A m n . 在 m n 矩阵 A 中，如果 m= n ，就称 A 为 n 阶方阵.如果矩阵 A 的元素 ij a 全为实(复) 数，就称 A 为实(复)矩阵.只有一行的矩阵 1 2 ( ) n A = a a a 叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 1 2 ( , , , ) n A = a a a . 只有一列的矩阵
bb(b叫做烈矩阵当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是型短阵.元素都是零的矩阵称为零短阵，记作0注意不同型的零矩阵是不同的在n阶方阵A=(a）中，位于相同行相同列交叉位置的元素a.(i=1,2,,n)称为方阵A的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵：1.三角矩阵如果n阶方阵A=(a,)中元素满足条件a,=0(i>j)(i,j=1,2,,n),即A的主对角线以下的元素全为零，则称A为n阶上三角矩阵.即(aa2.an0a21**2nA=：0oa..如果n阶方阵A=(a)中元素满足条件a,=0(i>j)(i,j=1,2,,n),即A的主对角以上的元素全为零，则称A为n阶下三角短阵。即00ait0..a21a22A=.：.anan.am）上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角短阵2.对角矩阵如果n阶方阵A=（a）中元素满足条件a,=0(i+j)，即A的主对角线以外的元素全为零，则称A为n阶对角矩阵，即0(a000a2...A=...(00..a...我们也记A=diag（ai,a22"",am）.显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵3.数量矩阵如果在n阶对角矩阵A=(a)中元素满足条件a.=a(i,j=1,2,,n),则称A为数量短2
2 1 2 n b b b B = 叫做列矩阵. 当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.元素都是零的矩阵称为零 矩阵，记作 O . 注意 不同型的零矩阵是不同的. 在 n 阶方阵 ( ij)n n A a = 中，位于相同行相同列交叉位置的元素 a i n ii ( =1,2, , ) 称为方 阵 A 的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵： 1.三角矩阵 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j i j n ij = = 0 , 1,2, , , ( )( ) 即 A 的主对角线 以下的元素全为零，则称 A 为 n 阶上三角矩阵.即 11 12 1 21 2 0 0 0 n n nn a a a a a A a = . 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j i j n ij = = 0 , 1,2, , , ( )( ) 即 A 的主对角 以上的元素全为零，则称 A 为 n 阶下三角矩阵.即 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a A a a a = . 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵. 2.对角矩阵 如果 n 阶方阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i j ij = 0 , ( ) 即 A 的主对角线以外的元素全为 零，则称 A 为 n 阶对角矩阵.即 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a A a = . 我们也记 A diag a a a = ( 11 22 , , , nn ) .显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵. 3.数量矩阵 如果在n阶对角矩阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a a i j n ii = = ( , 1,2, , ,) 则称 A 为数量矩
阵.即00a0qA=..00.a4.单位矩阵如果在n阶对角矩阵A=(a）中元素满足条件a=1(i=1,2,,n),则称A为n阶单位矩阵，记为E，.即10.001...0E. =:1：(00..1在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说钢铁，有s个产地A,A，A和n个销地B,B,，,B，那么一个调运方案就可用一个矩阵[aa2. aa21a2..a2n...Last ast asn来表示，其中a，表示由产地A运到销地B，的数量在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量J,J2，,Jm可由变量X，2，，X，线性表示，即y=ai+ax+*+anxny2=a2,+a222+..+a2nn...ym=amlj+am2X2++ammXn称这种由变量x,2，,x，到变量y,J2,y的变换为线性变换，它的系数构成一矩阵(a，）mxn（称为系数矩阵)是确定的.反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定了.从这个意义上讲，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换例1线性变换3
3 阵.即 0 0 0 0 0 0 a a A a = . 4.单位矩阵 如果在 n 阶对角矩阵 A a = ( ij) 中元素满足条件 a i n ii = = 1 1,2, , , ( ) 则称 A 为 n 阶单位 矩阵，记为 E n .即 1 0 0 0 1 0 0 0 1 En = . 在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说 钢铁，有 s 个产地 1 2 , , , A A A s 和 n 个销地 1 2 , , , B B B s ，那么一个调运方案就可用一个矩 阵 11 12 1 21 22 2 1 1 n n s s sn a a a a a a a a a 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量 1 2 , , , m y y y 可由变量 1 2 , , , n x x x 线性表示，即 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + + + = + + + = + + + 称这种由变量 1 2 , , , n x x x 到变量 1 2 , , , m y y y 的变换为线性变换，它的系数构成一矩阵 ( )ij m n a (称为系数矩阵)是确定的.反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线 性变换也就确定了.从这个意义上讲，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以 利用矩阵来研究线性变换. 例 1 线性变换
y=Mn,y2=x2y, =A,xn对应n阶方阵M0.0020A=.**..+100.s2矩阵的运算一、矩阵的加法首先，我们给出两个矩阵相等的概念，如果两同型矩阵A与B的对应元素都相等，则称这两个短阵相等，记为A=B.定义2设有两个mxn矩阵A=（a），B=(b），那么A与B的和记为A+B，规定为[au+biai2+bi2an+bina2i+b21a22+b22..a2n+b2nA+B=:：..Laml+bmlam2+bm2..amm+bmm注意，只有当两个矩阵同型时，才能进行加法运算由于矩阵的加法归结为他们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证加法满足运算规律：(1)A+B=B+A（交换律）(2)（A+B)+C=A+(B+C).（结合律）数与矩阵相乘二、定义3数入与矩阵A的乘积记做入A，规定为[AaAai2.. JanNa2iNa2.. NanΛA=:：".amlam..Ja数乘矩阵满足下列运算规律：(1) (μ)A=A(μA) :(2)(+μ)A=AA+μA:4
4 1 1 1 2 2 2 , , n n n y x y x y x = = = 对应 n 阶方阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n = A . §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 首先，我们给出两个矩阵相等的概念，如果两同型矩阵 A 与 B 的对应元素都相等，则称 这两个矩阵相等，记为 A B = . 定义 2 设有两个 m n 矩阵 ( )ij A = a ， ( )ij B = b ，那么 A 与 B 的和记为 A + B ，规定 为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + + A+ B = . 注意，只有当两个矩阵同型时，才能进行加法运算. 由于矩阵的加法归结为他们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证加法满足 运算规律： (1) A+ B = B + A ；(交换律) (2) ( ) + ( ) A+ B C = A+ B + C .(结合律) 二、 数与矩阵相乘 定义 3 数 与矩阵 A 的乘积记做 A ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A 数乘矩阵满足下列运算规律： (1) ( ) ( ) A A = ; (2) ( ) + = + A A A ；
(3)(A+B)=A+B设矩阵A=(a)，记-A=(-1)·A=(-1·a,）=(-a,），-A称为A的负短阵，显然有A+(-A)=0.其中0为各元素均为0的同型矩阵.由此规定A-B=A+(-B).三、矩阵与矩阵相乘定义4设A=（a,）mxs，B=(b,）sn，那么规定矩阵A与B的乘积是C=(c, )mn"其中C,=atb,+azb,+.+a.b,-Zaubyk=1(i=1,2,.,m, j=1,2,..,n),并把此乘积记作C=AB.记号AB常读作A左乘B或B右乘A(b)b,特别地，当行矩阵aαi2a）与列矩阵相乘时，即.bs(b,)bij(a,aj2=(a,bu,+a,bzi+...+a.b)as...（bg）就是一个数c，这表明c,就是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和，注意：只有当第一个矩阵（左矩阵)的列数与第二个矩阵（右矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘.例 2 [a 0][o00]A:0B=bI[abc]0Lc求AB和BA.[o00]007000解AB：BA0aa,+bb,+cc0005
5 (3) ( ) A+ B A+ B = . 设矩阵 ( )ij A = a ，记 ( 1) ( 1 ) ( ) ij ij − − = − = − A = A a a ,- A 称为 A 的负矩阵，显然有 A+ A = ( ) 0 − . 其中 O 为各元素均为 0 的同型矩阵.由此规定 A B = A B − − + ( ) . 三、 矩阵与矩阵相乘 定义 4 设 ( )ij m s a A = , ( )ij s n b B = ，那么规定矩阵 A 与 B 的乘积是 ( )ij m n c C = ， 其中 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + = ( 1,2, , ; 1,2, , ) i m j n = = ， 并把此乘积记作 C = AB.记号 AB 常读作 A 左乘 B 或 B 右乘 A . 特别地，当行矩阵 1 2 ( ) i i is a a a 与列矩阵 1 2 j j sj b b b 相乘时，即 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b = + + + 就是一个数 ij c ，这表明 ij c 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积之和. 注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数与第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时，两个矩 阵才能相乘. 例 2 0 0 0 a b c A = ， 1 1 1 0 0 0 a b c B = 求 AB 和 BA. 解 1 1 1 0 0 aa bb cc 0 + + AB = , 000 000 000 BA =
例3设A，B分别是nx1和1×n矩阵，且[a]a2A=B=(b b, ... b,),:[an]计算AB和BA解ab ab,.. ab.aa,ba,b.a,bnazAB=bb.)=：..Lanabab,..abh[a]a2BA=(b b, ..b.)=ab +a,b, ++a,bn：..La,]AB是n阶矩阵，BA是1阶矩阵（运算的最后结果为1阶矩阵时，可以把它与数等同看待，不必加矩阵符号，但是在运算过程中，一般不能把1阶矩阵看成数），例4如果A=（a,）xn是一齐次线性方程组的系数矩阵，而(0)x0X20=X=+:+ *(oX分别是两个nx1矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式Ax=0.注意：1.一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA.如例2和例3若AB=BA，则称A与B可交换2.当AB=0时，不一定有A=0或B=0.如例23.矩阵的乘法不满足消去律，即当AC=BC，且C≠0时，不一定有A=B(1 2)0,B=例如：A:C:04(03)00(12)(11AC=(66 )-(6)则-6 98 8-631BC=显然AC=BC.且C±0.但A±B.但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足下列运算律：6
6 例 3 设 A ， B 分别是 n1 和 1n 矩阵，且 1 2 n a a a A = ， B = (b b b 1 2 n ) , 计算 AB 和 BA. 解 ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b = AB = . ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n a a b b b a b a b a b a = + + + BA = . AB 是 n 阶矩阵, BA 是 1 阶矩阵(运算的最后结果为 1 阶矩阵时,可以把它与数等同看 待,不必加矩阵符号,但是在运算过程中,一般不能把 1 阶矩阵看成数). 例 4 如果 ( )ij n n a A = 是一齐次线性方程组的系数矩阵，而 1 2 n x x x x = , 0 0 0 0= 分别是两个 n1 矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式 Ax = 0. 注意：1.一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即 AB BA .如例 2 和例 3. 若 AB BA = ，则称 A 与 B 可交换. 2.当 AB o = 时，不一定有 A o = 或 B o = .如例 2. 3.矩阵的乘法不满足消去律，即当 AC BC = ，且 C 0 时，不一定有 A B = . 例如： 1 2 1 0 1 1 , , , 0 3 0 4 0 0 A B C = = = 则 1 2 1 1 1 1 , 0 3 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 , 0 4 0 0 0 0 AC BC = = = = 显然 AC BC = , 且 C 0, 但 A B . 但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足下列运算律：
(1)（AB)C=A(BC)：(结合律)(2）A(B+C)=AB+AC：（左分配律）(B+C)A=BA+CA：（右分配律)(3)(AB)=(A)B(其中为数).对于单位矩阵E，容易验证EmAmn =Amxn' AmxnE,=Amxn*运算律（1)中令A=B=C为方阵，则A(A·A)=A称为方阵E的3次幂.一般地，称A"=A·AA为方阵A的n次暴，规定n个A°=E.例5已知矩阵[2-1 24-24A=2-12求A".解1:A=22)21[1][1]][:.A? =2(2,-1,2)22-1 2)=2A,11],-2"-12"2"224+/..A" = 2"-|A=-2"2-12"2"四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置短阵，记作A'（或A），例如矩阵0007
7 (1) ( ) ( ) AB C = A BC ；(结合律) (2) A B + C = AB + AC ( ) ；(左分配律) ( ) B + C A = BA+ CA ；(右分配律) (3) ( ) ( ) AB = A B (其中 为数). 对于单位矩阵 E ，容易验证 E A = A m m n m n ， A E = A m n n m n . 运算律(1)中令 A = B = C 为方阵，则 3 A A A = A ( ) 称为方阵 E 的 3 次幂.一般地，称 n n 个 A = A A A 为方阵 A 的 n 次幂，规定 0 A = E . 例 5 已知矩阵 2 1 2 4 2 4 2 1 2 − = − − A 求 n A . 解 ∵ ( ) 1 2 2 1 2 1 − A = ∴ ( ) ( ) 2 1 1 2 2, 1, 2 2 2 1 2 2 1 1 − − = A = A , ∴ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n − − + + − − − − A = A = 四、 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成相应的列，得到的新矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 A （或 T A ），例如矩阵 0 0 0 a b c A =
的转置矩阵[oabA'=oc由矩阵的定义，易得如下运算律：(1) (A)'=A;(2) (A+B)= A'+B';(3)(^A)=A"同时可以证明(4) (AB)'= B'A', (A")=(A')".事实上，设A=(a,)ms，B=(b,)sn，记AB=C=(c,)mxn，B'A=D=(d,)mm，于是有ZatbuCfi=k=l而ajaj2bst)d,=(bbai>...buajkabrk=lk=l[as]所以d,=Cji(i=1,2,.,n,j=1,2,..,m),即C'=D，也就是(AB)=B'A"设A为n阶方阵，若A'=A，即(i,j=1,2,,n),a, =-aj那么，A称为对称矩阵：若A=-A，即(i, j=1,2,...,n),a,=aj那么，A称为反对称矩阵易知，对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等：而反对称矩阵的特点是：以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等，符号相反，且主对角线上各元素均为0.例6设8
8 的转置矩阵 0 0 0 a b c A = . 由矩阵的定义，易得如下运算律： (1) ( ) A = A ; (2) ( ) A+ B = A + B ; (3) ( ) A = A . 同时可以证明 (4) ( ) AB = B A , ( ) ( ) n n A = A . 事实上，设 ( )ij m s a A = ， ( )ij s n b B = ，记 ( )ij m n c AB = C = ， ( )ij n m d B A = D = ,于 是有 1 s ji jk ki k c a b = = . 而 ( ) 1 2 1 2 1 1 j s s j ij i i si ki jk jk ki k k js a a d b b b b a a b a = = = = = ， 所以 ij ji d c = ( 1,2, , ; 1,2, , ) i n j m = = ， 即 C = D ，也就是 ( ) AB = B A . 设 A 为 n 阶方阵，若 A = A ，即 ij ji a a = − ( , 1,2, , ) i j n = ， 那么， A 称为对称矩阵；若 A = A − ,即 ij ji a a = ( , 1,2, , ) i j n = , 那么， A 称为反对称矩阵. 易知，对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；而反对称矩阵的特 点是：以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等，符号相反，且主对角线上各元素均为 0. 例 6 设
L103B=2 -11[3 22-1那么567107AB=10 -5]1-237-1 0 2B'4-123-21005B'A'=(AB)675例7设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵证因为A=-A,B'=B(AB+BA)'=(AB)+(BA)'=B'A'+ A'B'= B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).所以结论成立五、方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式记作丨A|或detA设A，B为n阶方阵，入为实数，则有下列等式成立（证明略）：(1)IA"|=IAI;(2)IAI="IAI:(3)IABI=|AI:IBI.若A=(α）为n阶方阵.行列式丨A丨的各元素a,的代数余子式4,亦可构成如下方阵：[AA..AnA2 A2.. An2A"=[AnAn.. Am]称为A的伴随短阵，由行列式按行（列）展开公式，可验证AA=AA"=|AE.例8设A是n阶方阵，满足AA'=E，且|A|=-1，求|A+EI.解由于9
9 1 1 2 103 1 2 1 − − − A = , 1 1 2 1 3 2 − B = , 那么 5 6 10 7 0 5 − AB = ， 1 1 1 1 0 2 2 3 1 − − − A = , 1 2 3 1 1 2 − B = , 5 10 0 ( ) 6 7 5 = − B A = AB . 例 7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，证明 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵. 证 因为 A = A − , B = B ( ) ( ) ( ) AB + BA AB BA B A + A B = + = = − + − − B A A B = AB + BA ( ) ( ) ( ) . 所以结论成立. 五、 方阵的行列式 定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素构成的行列式(各元素位置不变)，称为方阵 A 的行列式， 记作｜ A ｜或 det A . 设 A , B 为 n 阶方阵， 为实数，则有下列等式成立(证明略)： (1) ｜ A ′｜=｜ A ｜； (2) ｜ A ｜= n ｜ A ｜； (3) ｜ A B ｜=｜ A ｜·｜ B ｜. 若 A = (aij) 为 n 阶方阵.行列式｜ A ｜的各元素 ij a 的代数余子式 Aij 亦可构成如下方阵： 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = ， 称为 A 的伴随矩阵，由行列式按行(列)展开公式，可验证 A A = AA A E = . 例 8 设 A 是 n 阶方阵，满足 AA = E ，且| A |=-1，求| A + E |. 解 由于
A+E|=A+AA=A(E+A)=A|(E+A)=-(E+A)=-[A+E],所以2|A+E|=0即1A+E |=083矩阵的逆定义7设A为n阶方阵，若丨A「=0，则称A为异短阵；否则，称A为非奇异短陈定义8对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，满足AB=BA=E,则称方阵A可遵，且把方阵B称为A的遵短阵如果A是可逆的，则A的逆矩阵惟一事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则一定有B= BE = B(AC)=(BA)C= EC =CA的逆矩阵记作A-I，即若AB=BA=E，则B=A-I定理1设A是n阶方阵，A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的1且A-l=A，其中A为A的伴随矩阵.[A证先证必要性.设A为非奇异矩阵，即「A「≠0：由伴随矩阵A的性质，有AA=AA=AE.因丨A|≠0，则[14] =E.AA即知A-1A说明A是可逆的[4]下面证充分性由于A是可逆的，即有A-"，使A"A=E，故丨A"A|=E「=1,即丨A-·！AI=1.所以IA「≠0，说明A是非奇异矩阵10
10 A+ E A+ AA A E + A = = ( ) = = − A E + A E + A ( ) ( ) = − A+ E , 所以 2| A + E |=0 即 | A + E |=0 §3 矩阵的逆 定义 7 设 A 为 n 阶方阵，若｜ A ｜=0，则称 A 为奇异矩阵；否则，称 A 为非奇异矩 阵. 定义 8 对于 n 阶方阵 A ,如果有一个 n 阶方阵 B ，满足 AB = BA = E ， 则称方阵 A 可逆，且把方阵 B 称为 A 的逆矩阵. 如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵惟一. 事实上，设 B 、C 都是 A 的逆矩阵，则一定有 B = BE B AC = BA C = EC = C = ( ) ( ) . A 的逆矩阵记作 −1 A ，即若 A B = B A = E ,则 B = −1 A . 定理 1 设 A 是 n 阶方阵， A 是非奇异矩阵的充分必要条件为 A 是可逆的. 且 − 1 1 A = A A ， 其中 A 为 A 的伴随矩阵. 证 先证必要性.设 A 为非奇异矩阵，即｜ A ｜≠0；由伴随矩阵 A 的性质，有 AA = A A A E = . 因｜ A ｜≠0，则 1 1 A A = A A = E A A . 即知 − 1 1 A = A A ，说明 A 是可逆的. 下面证充分性. 由于 A 是可逆的，即有 −1 A ，使 −1 A A = E ,故｜ −1 A A ｜=｜ E ｜=1,即｜ −1 A ｜·｜ A ｜=1.所以｜ A ｜≠0，说明 A 是非奇异矩阵