第六章非平稳时问序列分析时间家勿分娇
第六章 非平稳时间序列分析
对于非平稳的时间序列前面介绍了平稳性的单位根检验（DF或ADF检验），同时可以确定其单整阶数。进行适当的差分即可将其平稳化：对于具有季节波动的序列，可进行季节差分将其平稳化。然后建立ARMA模型。这时的时间序列模型即称为单整自回归移动平均模型。记为ARIMA
对于非平稳的时间序列， 前面介绍了平稳性的单位根检 验（DF或ADF检验），同时 可以确定其单整阶数，进行适 当的差分即可将其平稳化；对 于具有季节波动的序列，可进 行季节差分将其平稳化，然后 建立ARMA模型，这时的时间 序列模型即称为单整自回归移 动平均模型，记为ARIMA
一、ARIMA模型设时间序列X为d阶单整，则d阶差分可将其平稳化，用△"X,表示序列X,的d阶差分，若"X,适合于ARMA(n,m)模型,则原序列×适合的模型为ARIMA(n,d,m)模型，中间的参数是单整阶数，同时也是差分阶数，两边的阶数是自回归和移动平均阶数
一、ARIMA模型 设时间序列Xt为d阶单整， 则d阶差分可将其平稳化，用 表示序列Xt的d阶差分，若 适合于ARMA(n,m)模型， 则原序列Xt适合的模型为 ARIMA(n,d,m)模型，中间的参 数是单整阶数，同时也是差分阶 数，两边的阶数是自回归和移动 平均阶数。 t d X t d X
ARIMA(n,d,m)模型的算子表达式为：Φ(B)(△* X,) = @(B)a或Φ(B)(1- B) X, = @(B)a其中,BnΦ(B)=1-P,B-P,B? -..D一nBm@(B) =1-0,B -0,B? -...-Am
ARIMA(n,d,m)模型的算子表达 式为： 或 其中， t t d t t d B B X B a B X B a ( )(1 ) ( ) ( )( ) ( ) − = = m m n n B B B B B B B B = − − − − = − − − − 2 1 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1
1.ARIMA(0,1,1)模型比如序列X的1阶差分适合于MA(1)模型，贝则序列X适合于ARIMA(0,1,1)模型:(1-B)X, =(1-B)a其形式等价于X, - Xt-1 =a, -Qat-1这与ARMA(1,1)模型有点类似
1.ARIMA(0,1,1)模型: 比如序列Xt的1阶差分适合 于MA(1)模型，则序列Xt适合于 ARIMA(0,1,1)模型： 其形式等价于 这与ARMA(1,1)模型有点类似 B Xt B at (1 ) (1 ) − = −1 Xt − Xt−1 = at −1 at−1
ARMA(1,1)模型的形式为：X,-PX= a, -at-11-t-1当 } =1 时，与ARIMA(0,1,1)模型一致，然而，这二者是不同的主要区别在于ARMA(1,1)模型中的序列是平稳的，即の<1。而 ARIMA(O,1,1)模型中的序列是非平稳的，一阶差分之后才平稳
ARMA(1,1)模型的形式为： 当 时，与ARIMA(0,1,1) 模型一致，然而，这二者是不同的 ，主要区别在于ARMA(1,1)模型中 的序列是平稳的，即 。 而 ARIMA(0,1,1)模型中的序列是 非平稳的，一阶差分之后才平稳。 Xt −1 Xt−1 = at −1 at−1 1 =1 1 1
2.ARIMA(0,2,2)模型比如序列X的2阶差分适合于MA(2)模型，则序列X,适合于ARIMA(0,2,2)模型：(1-B)X, =(1-B -,B)a
2.ARIMA(0,2,2)模型: 比如序列Xt的2阶差分适合 于MA(2)模型，则序列Xt适合 于ARIMA(0,2,2)模型： B Xt B B at (1 ) (1 ) 2 1 2 2 − = − −
3. ARIMA(1,1,1)模型比如序列X的1阶差分适合于ARMA(1,1)模型，贝则序列X适合于ARIMA(1,1,1)模型(1-@,B)(1-B)X, =(1-B)a
3. ARIMA(1,1,1)模型: 比如序列Xt的1阶差分适合 于ARMA(1,1)模型，则序列Xt 适合于ARIMA(1,1,1)模型： B B Xt B at (1 )(1 ) (1 ) −1 − = −1
具有季节周期的ARIMA模型设时间序列的趋势变化为d阶单整，而同时又具有周期为s的季节波动，贝则用d阶普通差分及周期为s的季节差分可将其平稳化，用△（△"X）表示序列X的d阶普通差分及周期为s的季节差分，若其适合于ARMA(n,m)模型，则原序列X,适合的模型为ARIMA(n,d,m)模型，中间的参数是单整阶数，同时也是差分阶数，两边的阶数是自回归和移动平均阶数
具有季节周期的ARIMA模型 设时间序列Xt的趋势变化为d阶 单整，而同时又具有周期为s的季节 波动，则用d阶普通差分及周期为s 的季节差分可将其平稳化，用 表示序列Xt的d阶普通差 分及周期为s的季节差分，若其 适合于ARMA(n,m)模型，则原序列 Xt适合的模型为ARIMA(n,d,m)模型 ，中间的参数是单整阶数，同时也 是差分阶数，两边的阶数是自回归 和移动平均阶数。 ( ) t d s X
ARIMA(n,d,m)模型的算子表达式为：Φ(B)(△* X,) = @(B)a或Φ(B)(1- B) X, = @(B)a其中,BnΦ(B)=1-P,B-P,B? -..D一nBm@(B) =1-0,B -0,B? -...-Am
ARIMA(n,d,m)模型的算子表达 式为： 或 其中， t t d t t d B B X B a B X B a ( )(1 ) ( ) ( )( ) ( ) − = = m m n n B B B B B B B B = − − − − = − − − − 2 1 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1