线性代数第四章线性方程组第一节消元法第二节线性方程组有解判别定理第三节线性方程组解的结构
第四章 线性方程组 第一节 消元法 第二节 线性方程组有解判别定理 第三节 线性方程组解的结构
线性代数消无法解一般线性方程组1. 引例解线性方程组2x -x, -3x, =1x1-3x2-2x=13x + 2x2 -5x, = 0解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得Xi - X2 - X = 22xi -X2 -3x = 13xj +2x, -5x, = 0第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程的3倍，得
1．引例 解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得 第二个方程减去第一个方程的2倍， 二、消元法解一般线性方程组 解线性方程组 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x − − = − − = + − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x − − = − − = + − = 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
线性代数- X2 -Xg =2X -x =-35x -2xg = -6第三个方程减去第二个方程的5倍，得Xi- X2 - X, = 2X2 - x, = -33x, = 9，得第三个方程乘以3Xi-X2 -X = 2X2 - Xg = -3=3
第三个方程减去第二个方程的5倍，得 1 2 3 2 3 2 3 2 3 5 2 6 x x x x x x x − − = − = − − = − 1 2 3 2 3 3 2 3 3 9 x x x x x x − − = − = − = 第三个方程乘以 ，得 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 x x x x x x − − = − = − =
线性代数第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得Xi-x =5x= 0X=3这样便求得原方程组的解为X=5x, = 0[X=3或 (5,0,3)
1 2 2 3 5 0 3 x x x x − = = = 第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为 1 2 3 5 0 3 x x x = = = 或 (5,0,3)
线性代数2.线性方程组的初等变换定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换①用一个非零的数乘某一个方程：②将一个方程的倍数加到另一个方程上；交换两个方程的位置
定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置． 2．线性方程组的初等变换
线性代数定理1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义1线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵.系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵。设线性方程组+a12x2+..+ainxn=ba1a21xi+a22x+...+a2nx=bamiXj +am2X, +...+amX,=b,m7返回贝?R
定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它 同解的线性方程组。 定义1 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方 程组的系数矩阵,系数及常数所组成的矩阵叫做增广 矩阵。 设线性方程组 返回 上一页 下一页
线性代数ai1a12dina21a22azn系数矩阵是Aam2amlammain b,ana12azn b,a21a22B=增广矩阵是...ambmLam1am2对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。返回贝?儿
系数矩阵是 增广矩阵是 对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初 等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初 等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化 简它的增广矩阵。 返回 上一页 下一页
线性代数$2线性方程组有解判别定理定理2设A是一个m行n列矩阵通过矩阵aa12ain的行初等a22a21a2nA变换能把A化为以下qamam2mm形式:000Cin1C1,r+10001C2nC2,r+1r≥0,r≤m,0001CACr,r+1r≤n0000返回贝名
§2 线性方程组有解判别定理 定理2 设A是一个m行n列矩阵 通过矩阵 的行初等 变换能把A 化为以下 形式: 返回 上一页 下一页
线性代数利用初等变换解一般线性方程组化阶梯方程组aXi +ai2X2 +...+ainxn =ba21x, + a22x, +...+ a2nx, = b,(1)11asixi +as2x2 +...+asx, =b先检查(1)中x,的系数，若α11,21,,s1全为零则x,没有任何限制，即xi可取任意值，从而方程组(1)可以看作是x,,,x,的方程组来解
利用初等变换解一般线性方程组 ——化阶梯方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 先检查(1)中 x1 的系数，若 a a a 11 21 1 , , , s 全为零， 则 x1 没有任何限制，即 x1 可取任意值，从而方程组 (1)可以看作是 x x 2 , , n 的方程组来解．
线性代数如果x的系数不全为零，不妨设，a≠0分别把第一个方程-"i的倍加到第i个方程(i=2,…s)a于是(1)就变成6+ainxnauxi + a2x +b2+a2nXna2X2 +二(3)=btax.xS2.Y其中 α,=aji=2,...,s,j=2,...,n.iau
如果 x1 的系数不全为零，不妨设， 11 a 0. 分别把第一个方程 1 的倍加 到第i个方程 ． 11 i a a − ( 2, , ) i s = (3) 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 2 2 n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b + + + = + + = + + = 于是(1)就变成 其中 1 11 1 , 2, , , 2, , . i a ij ij j a a a a i s j n = − = =