线性代数第三章向量与向量空间n维向量第一节第二节线性相关与线性无关第三节线性相关性的判别定理第四节向量组的秩第五节向量空间
第三章 向量与向量空间 第一节 n维向量 第二节 线性相关与线性无关 第三节 线性相关性的判别定理 第四节 向量组的秩 第五节 向量空间
线性代数$1n维向量定义1n个数组成的有序数组(a,ay...,a行向量aiaz或→列向量an称为一个n维向量，简称向量。用小写的粗黑体字母来表示向量。I页返回上贝
§1 n维向量 定义1 n个数组成的有序数组（a1 ,a2 ,.,an） 称为一个n维向量，简称向量。 用小写的粗黑体字母来表示向量 。 行向量 列向量 返回 上一页 下一页
线性代数数a,a.,a,称为这个向量的分量。a称为这个向量的第个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。设k和为两个任意的常数，α，β,为任意的n维向量,其中 α=(ar,a2,",an)β=(βi,β2,,βn)Y=(1,Y2,,Yn)返回页-
数a1 ,a2 ,.,an称为这个向量的分量。ai称为这个 向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量 称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常 看成n×1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， 为任意的n维向 量，其中 返回 上一页 下一页
线性代数定义2如果α和β对应的分量都相等，即a,=b, i-l,2,..,n就称这两个向量相等，记为α=β。定义3向量(a,+bpa,+b2...,an+bn)称为α与β的和，记为α+β。称向量(ka,ka....kan)为α与k的数量乘积，简称数乘，记为kα。广一顶返回
定义2 如果 和 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,.,n 就称这两个向量相等，记为 。 定义3 向量 （a1+b1 ,a2+b2 ,.,an+bn） 称为 与 的和，记为 。称向量 （ka1 ,ka2 ,.,kan） 为 与k的数量乘积，简称数乘，记为 。 返回 上一页 下一页
线性代数定义4分量全为零的向量(0, 0, ..., 0)称为零向量，记为0。α与-1的数乘(-1) α = (-aj,-a2...,-an称为α的负向量，记为一α。向量的减法定义为 α-β=α+(-β)向量的加法与数乘具有下列性质：(1)交换律α+β=β+α(2)结合律(α+)+=α+(β+y)返回上一A?贝
定义4 分量全为零的向量 （0，0，.，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1 ,-a2 ,.,-an） 称为 的负向量，记为 。 向量的减法定义为 向量的加法与数乘具有下列性质 ： 返回 上一页 下一页
线性代数(3)α + 0 = α(4)α +(-α) = 0(5)k(α + β) = kα +kβ满足（1）一（8）的(6)(k +l)α = kα + lα运算称为线性运算。(7)k(lα) = (kl)α(8)1α =α(9)0α = 0(10)k0 = 0(11)如果k0且α0,那么kα0返回一页
满足（1）—（8）的 运算称为线性运算。 返回 上一页 下一页
线性代数例1设α =(1,1,0) ,α =(0,1,1) ,α,=(3,4,0) ,求3α +2α2 -α 解3α + 2α, -α, = 3(1,1,0) +2(0, 1,1) -(3, 4, 0)=(3,3,0) +(0,2,2) -(3,4,0) =(0,1,2)
例1 设 α1 = (1,1,0) , , , α2 = (0,1,1) ( ) 求 . 3 = 3, 4,0 1 2 3 3 2 + − 解 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 2 3 1,1,0 2 0,1,1 3, 4,0 + − = + − = + − = (3,3,0 0, 2, 2 3, 4,0 0,1, 2 ) ( ) ( ) ( )
线性代数$2线性相关与线性无关矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组α,α,α,可以排列成一个s×n分块矩阵αi其中α为由A的第行形成的子块α2αi,αz,α,称为A的行向量组。αn维列向量组β,ββ,可以排成一个nXs矩阵其中β,为由B的第形成的子块B=(βi,βz,"..β,)βi,βz,…·β，称为B的列向量组。返回上一页下一
§2 线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系： 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行 向量组 可以排列成一个s×n分块矩阵 其中 为由A的第i行形成的子块， 称为A的行向量组。 n维列向量组 可以排成一个n×s矩阵 其中 为由B的第j列形成的子块， 称为B的列向量组。 返回 上一页 下一页
线性代数定义5向量组α,α2,α称为线性相关的，如果有不全为零的数kj,k2.,k，使Zk,α, = kαi +k,a, +.+k,a, =0反之，如果只有在k,=k,=.….=k,=0时上式才成立，就称α1,α2.-α线性无关。当α1,α2α是行向量组时，它们线性相关就是指有非αi零的1×s矩阵（kj,k2..,k,）使d2(ki,k,,..k,)0aα返回一A
定义5 向量组 称为线性相关的，如果有 不全为零的数k1 ,k2 ,.,ks，使 反之，如果只有在k1=k2=.=ks=0时上式才成立，就 称 线性无关。 当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非 零的1×s矩阵（k1 ,k2 ,.,ks）使 返回 上一页 下一页
线性代数当αi,α2,…α,为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵(kj,kz,..k,)，使kk20一页返回
当 为列向量时，它们线性相关就是指有非 零的s×1矩阵 ，使 返回 上一页 下一页