线性代数第五章特征值与二次型第一节向量的内积第二节方阵的特征值和特征向量第三节相似矩阵第四节化二次型为标准型第五节正定二次型
第一节 向量的内积 第五章 特征值与二次型 第二节 方阵的特征值和特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
线性代数5.1向量的内积定义1设有n维向量XiJiJ2x=..Xnn称[x,J]=xiJ+x,J+….+x,yn为x与y的内积内积是向量的一种运算用矩阵形式可表为x,=xy返回贝
5.1 向量的内积 返回 上一页 下一页
线性代数例计算x,l,其中x,y如下:(1)x =(0,1,5,-2), V =(-2,0,-1,3);(2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4)解(1) [x,J = 0·(-2)+1.0+5.(-1)+(-2)-3=-11(2)[x, y]= (-2).3+1.(-6)+0.8+3.4= 0若x,y,z为n维实向量,a为实数,内积的性质为(i)[x,y]=[y,x],(ii)[ax, y]= a[x,y](ii)[x+ y,z]=[x,z]+[y,z]返回贝7贝
返回 上一页 下一页
线性代数定义2称x=/x·x=x+x +.+x为向量x的长度(或范数),当x=1时,称x为单位向量基本性质：(i)非负性：当x±0时,x>0,当x=0时=0(ii)齐次性: [2x=[2lxl(ii)三角不等式:x+J≤+Cauchy-Schwarz不等式:[x,y} ≤[xy(iv)返回贝7贝
返回 上一页 下一页
线性代数由C一S不等式可得[x,y]≤1 (x-±0),[: 1 /于是定义,当x≠0,川±0时,称[x,y]为x与y的夹角0 = arccos/x1 /l当[x,以]=0时,称x与y正交n维零向量与任意维向量正交称一组两两正交的非向量组为正交向量组返回市7
返回 上一页 下一页
线性代数定理若n维非零向量α,α2α为正交向量组则它们为线性无关向量组证设有,…,使=0,i-1分别用α,与上式两端作内积k=1,2,,r)即得[α,α] =[α,0] = 0因α ± 0,故[αr,α] =αk ± 0,从而 =0,k =1,2,,r,于是α,αz,,α,线性无关返回市贝
返回 上一页 下一页 . 1 , , , , 1 2 则它们为线性无关向量组 定理 若n维非零向量a a L a r为正交向量组
线性代数定理2若α,αz,,α,是正交向量组,且r<n,则必存在n维非零向量x,使αi,αz，,α,,x也为正交向量组证x应该满足α'x=0,α,x=0,,α'x=0，即0αi,α.10αd22X记A=x=LO]α.αr则R(A)= r<n,故齐次线性方程组Ax =0必有非零解此非零解即为所求返回贝
返回 上一页 下一页 . , , , , , 2 , , , , , 1 2 1 2 也为正交向量组 则必存在 维非零向量 使 定理 若 是正交向量组 且 x n x r n r r a a a a a a L L < , . ( ) , 0 , , , , 0 0 0 , , , 0, 0 , 0 2 1 2 1 1 2 非零解 此非零解即为所求 则 故齐次线性方程组 必有 记 证 应该满足 ， ，即 = < = × = = = = = R A r n Ax x A x x x x r r r a a a a a a a a a M M L
线性代数推论r个(rkn)两两正交的n维非零向量总可以扩充成R"的一个正交基例 已知αi =(1,1,1),α, =(1,-2,1)正交,试求一个非零向量α3,使α,αz,α,两两正交解解方程组xX22X3得基础解系为 0|,取α3=1,则α,即为所求0返回市
返回 上一页 下一页
线性代数定义3设n维向量ej,e2,…,e,是向量空间V(VC R")的一个基如果ei,e2,,e,两两正交且都是单位向量则称之为V的一个正交规范基标准正交基若ej,e2,,e,是V的一个正规范基则V中任一向量α可由ei,e2,,e,唯一线性表示设aα=ae +e, +...a,er则由e,'α=,e;e;=;得; =e;'α=[e;,α], 2,唯一确定,i=1,2,返回顶T贝
返回 上一页 下一页
线性代数将向量空间V(V R")的任一基αi,α2,,αr转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法其具体步骤如下[Bi,α, ]取β=α1,β, =α,B[β,β,][βr,α?[βr,α, ][βr-1,αRβ,β, = αr-[βr, β,][β,-1, βr-1[β2, β,]容易验证β,β2，,β,两两正交非零,将它们单位化即令ββ.β2012=TB.I则ei,e2,",e,就是V的一个正交规范基返回顶贝
返回 上一页 下一页