线性代数第六章线性空间与线性变换第一节线性空间的定义与性质第二节维数、基与坐标第三节基变换与坐标变换第四节线性变换第五节线性变换的矩阵
第六章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的定义与性质 第二节 维数、基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 第四节 线性变换 第五节 线性变换的矩阵
线性代数6.1-线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素α,βEV，总有唯一的一个元素EV与之对应，称为 α,β的和，记作=α+β;对于任一个数kER与任一个元素αEV，总有唯一的一个元素sEV与之对应，称为k与α的积，记为=kα;两种运算满足以下八条运算规律(对任意α,β,E V, k,a ER) :(1)α+β=β+α(2) (α+β)+=α+(β+)返回市1
6.1 线性空间的定义与性质 定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任 意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与 之对应，称为 的和，记作 ；对于任一 个数k∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元 素 ∈V 与之对应，称为k与 的积，记为 ； , 两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 ∈ V , ∈R）： 返回 上一页 下一页
线性代数(3在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何αV,都有α+0=α;(4)对任何αEV，都有V中的元素β，使 α+β=0（β称为α的负元素）；(5) 1α = α(6) k(aα) =(ka)α(7) (k + a)α = kα +ka(8)k(α+β)=kα+kβV就称为（实数域R上的）向量空间（或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域)返回E一贝
V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元 素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域). (3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何 ∈V，都有 ； (4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ，使 （ 称为 的负元素）； 返回 上一页 下一页
线性代数凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）。向量不一定是有序数组；注意向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭：向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为P[xln, 即P[xn={anxn+...+a,x'+aolan an-1"...aj, aoER)对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间。返回贝?
凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线 性空间）。 •向量不一定是有序数组； •向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭； •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不 一定是有序数组的加法及数乘运算。 注 意 ： 例 实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为 P[x]n，即P[x]n ={an x n+.+a1 x 0+a0 |an , an-1 ,.a1 , a0∈R} 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间。 返回 上一页 下一页
线性代数例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W-{a,r+ an-rrn- +..+apx+aolan an-}...a, a,ER, 且a,+0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间。 因为0(a,xn+...+a,x+a)=0W，即W对数乘不封闭。例n个有序实数组成的数组的全体Sn={x=(x,X2..-x)I X2,..Xn ER)对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k(x.X2..x.)-(0,0,...0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律（5）返回E贝
例 实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即 W={an x n+ an-1 x n-1 +.+a1 x+a0 |an , an-1 ,.a1 , a0∈R，且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间。 因为0(an x n+.+a1 x 0+a0 )=0W，即 W对数乘不封闭。 例 n个有序实数组成的数组的全体 S n={x=(x1 ,x2 ,.xn )| x1 ,x2 ,.xn ∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k•(x1 ,x2 ,.xn )=(0,0,.0) 不构成R上的向量空间，因为1x=0 ，不满足运 算规律（5） 返回 上一页 下一页
线性代数性质1零元素是唯一的。假设0,,0,是线性空间V中的两个零元素，即对任何αEV，有α十0,=α，α十0,=α，于是特别有02+01=02，01+02=01故0,=01十02=02十01=0性质 2 任一元素的负元素是唯一的。（α的负元素记作一α）假设α有两个负元素β与，即α+β=0。于是β=β+0=β+(α+)=(β+α)+=0+=返回上一页下贝
性质１ 零元素是唯一的。 假设01 ,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何 ∈V，有 ＋01 ＝ ， ＋02＝ ，于是特别有 02＋01 ＝02，01＋02 ＝01 故 01 ＝01＋02 ＝02＋01 ＝02 性质２ 任一元素的负元素是唯一的。 （ 的负元素记作 ） 假设 有两个负元素 与 ，即 。于是 返回 上一页 下一页
线性代数性质 30α = 0, (-1)α =-α,k0 = 0.因为 α+0α=1α+0α=(1+0)α=1α=α所以 0α=0+0α=(-α+α)+0α=-α+(α +0α)= 0又因为 α+(-1)α=1α+(-1)α =[1 +(-1)]α = 0α =0所以 (-1)α=0+(-1)α =(-α+α)+(-1)α=-α+[α +(-1)α]=-α+0=-α而 k0 =k[α +(-1)α]=kα +(-k)α=[k +(-k)]α = 0α = 0返回上R贝
性质３ 因为 所以 又因为 所以而 返回 上一页 下一页
线性代数性质4如果kα=0,那么=0或者α=0。假设k≠0那么(·k)a=1(ka)= 10 =0kKW定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间」（简称子空间）。定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭返回E1贝1
定义2 R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V 的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的 线性子空间（简称子空间）。 定理1 线性空间V的非空子集W构成V的子空间的 充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。 性质4 如果 ,那么 或者 。假设 ， 那么 返回 上一页 下一页
线性代数6.2维数、基与坐标定义3在线性空间V中，如果存在n个元素αi,αz,αn,满足:(1) αi,αz,…α,线性无关。(2)V中任一元素α都可由 αi,αz,α,线性表示，那么，αj,αz,α,就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。返回贝R
6.2 维数、基与坐标 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 V就称为无限维的。 维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。 定义3 在线性空间V中，如果存在n个元素 满足： (2) V中任一元素 都可由 线性表示，那 么， 就称为线性空间V的一个基，n称为线 性空间V的维数。 (1) 线性无关。 返回 上一页 下一页
线性代数若知 α,αz,α,为V的一个基，则对任何αEV，都有一组有序数xj2.x,使：α = X,α, +X,α, +..+x,αn,并且这组数是唯一的(否则α,αz,α,线性相关)。反之，任给一组有序数xjix2.Xn，可唯一确定Vn中元素：a = x,ai +x,a, +...+x,an这样，V,的元素与有序数组(xj,Xxn)之间存在着一种一一对应。返回R贝
这样，Vn的元素与有序数组(x1 ,x2 ,.xn )之间存在着 一种一一对应。 若知 为V的一个基，则对任何 ， 都有一组有序数x1 ,x2 ,.xn使： 并且这组数是唯一的(否则 线性相关)。 反之，任给一组有序数x1 ,x2 ,.xn，可唯一确定Vn中 元素： 返回 上一页 下一页