第三章向量与向量空间s1n维向量在平面几何中，坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述，点的坐标是一个有序数对(x,y).一个n元方程ax+ax+.+a,x,=b可以用一个n一1元有序数组(a,a2,"",an,b)来表示.1xn矩阵和n×1矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组(a,α2，,α2）来表示.有序数组的应用非常广泛，有必要对它们进行深入的讨论定义1n个数组成的有序数组(3.1)(a,az,",a.)或Ca2(3.2)...Lan.称为一个n维向，简称向一般，我们用小写的粗黑体字母，如α,β,等来表示向量，（3.1)式称为一个行向量，（3.2)式称为一个烈向量数α,2，,a，称为这个向量的分量.a,称为这个向量的第i个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量，实际上，n维行向量可以看成1xn矩阵，n维列向量也常看成nx1矩阵.下面我们只讨论实向量.设k和1为两个任意的常数.α，β和为三个任意的n维向量，其中a=(a,a,"",an),β=(b,b2,,b.)定义2如果α和β对应的分量都相等，即1
1 第三章 向量与向量空间 §１ n 维向量 在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序 数对 ( , ) x y .一个 n 元方程 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + + = 可以用一个 n−1 元有序数组 1 2 ( , , , , ) n a a a b 来表示.1n 矩阵和 n1 矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从 1 月到 12 月每月的 产值也可用一个有序数组 1 2 12 ( , , , ) a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们 进行深入的讨论. 定义 1 n 个数组成的有序数组 1 2 ( , , , ) n a a a （３.１） 或 1 2 n a a a （３.２） 称为一个 n 维向量,简称向量. 一般,我们用小写的粗黑体字母,如 α, β,γ, 等来表示向量,(3.1)式称为一个行向 量,(3.2)式称为一个列向量.数 1 2 , , , n a a a 称为这个向量的分量. i a 称为这个向量的第 i 个 分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量. 实际上, n 维行向量可以看成 1n 矩阵, n 维列向量也常看成 n1 矩阵. 下面我们只讨论实向量.设 k 和 l 为两个任意的常数.α , β 和 γ 为三个任意的 n 维向量, 其中 1 2 ( , , , ) n α = a a a , 1 2 ( , , , ) n β = b b b . 定义 2 如果 α 和 β 对应的分量都相等,即
a,=b,i=1,2,",n就称这两个向量相等，记为a=β定义3向量(ai+br,aa+bz, *",an+bn)称为a与β的和，记为a+β.称向量(kai, kaz, ..,kan)为a与k的数量乘积，简称数乘，记为ka定义4分量全为零的向量(0,0,.,0)称为零向量，记为0.α与-1的数乘(-1)a=(-ai,-a2,"",-an)称为α的负向量，记为-α.向量的减法定义为a-β=a+（-β）.向量的加法与数乘具有下列性质：(1)a+β=β+a：（交换律）(2)（α+β）+=a+（β+)；（结合律）(3)a+0=a;(4)a+(-a)=0:(5)k(a+β)=ka+kβ:(6)(k+)) a=ka+la;(7)k(la)=(k))a;(8)1α=a;(9)0a=0:(10)k0=0.在数学中，满足（1）～（8）的运算称为线性运算.我们还可以证明：(11)如果k≠0且≠0，那么ka≠0.显然，n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义，与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地，我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算，这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的，并且同样具有性质(1)～(11).例 1 设a,=(1,1,0), a, =(0,1,1), α, =(3,4,0),求3α, +2α, -αg解3α, +2α, -α, =3(1,1,0)+2(0,1,1)-(3,4,0)=(3,3,0)+(0,2,2)-(3, 4,0)=(0,1,2)例 2 设 α, =(1,1,1,1), αz =(1,1,-1,-1),α3 =(1,-1,1,-1), α4 =(1,-1,-1,1) 且2(α, +β)-(α, +β)=2(α, +α +β),求β解由2(α+β)-(α+β)=2(α+α+β),得2
2 , 1,2, , i i a b i n = = 就称这两个向量相等,记为α＝β. 定义 3 向量 (a1+b1,a2+b2,.,an+bn) 称为α与β的和,记为α＋β.称向量 (ka1,ka2,.,kan) 为 α 与 k 的数量乘积,简称数乘,记为 kα. 定义 4 分量全为零的向量 (0, 0, ., 0) 称为零向量,记为 0.α 与-1 的数乘 (-1)α＝(-a1,-a2,.,-an) 称为 α 的负向量,记为-α.向量的减法定义为 α－β＝α＋（－β）. 向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α； （４） α＋（－α）＝0； （５） k(α+β)=kα+kβ； （６） （k+l)α=kα+lα； （７） k(lα)=(kl)α； （８） １α＝α； （９） 0α＝0； （１０） k0＝0. 在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明： （１１） 如果 k≠0 且 α≠0, 那么 kα≠0. 显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等 和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数 乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有 性质(１)～(１１). 例 1 设 α1 = (1,1,0) ,α2 = (0,1,1) ,3 = (3,4,0) ,求 1 2 3 3 2 + − . 解 3 2 3 1,1,0 2 0,1,1 3,4,0 1 2 3 + − = + − ( ) ( ) ( ) = + − = (3,3,0 0,2,2 3,4,0 0,1,2 ) ( ) ( ) ( ) 例 2 设 1 = (1,1,1,1) , 2 (1,1, 1, 1) = − − , 3 (1, 1,1, 1) = − − , 4 (1, 1, 1,1) = − − 且 2 2 ( 1 2 3 4 + − + = + + ) ( ) ( ) ,求 . 解 由 2 2 ( 1 2 3 4 + − + = + + ) ( ) ( ) ,得
β= 2α, -αz -2α, -2α =(-3,5,3,3)通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行量组a1,α2，",a.可以排列成一个sXn分块矩阵[aazA=a,其中ai为由A的第i行形成的子块,a1,a2，,a.称为A的行向量组.n维列向量组βi,β2，",β可以排成一个nXs矩阵B=（β1,β2，",β）,其中β为B的第j列形成的子块，β1,β2，，β,称为B的烈向量组.这样，矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究：反过来，矩阵的问题也可用向量组来研究S2线性相关与线性无关定义5向量组a1,a2，",a.称为线性相关的，如果有不全为零的数ki,k2，",ks，使 - (3.3)反之，如果只有在ki=kz==k=0时(3.3)才成立，就称ai,a2，,α线性无关换言之，当a1,a2，,a.是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1Xs矩阵(ki,kz,",ks)使[a]a2=0.(k,k,,...,k)..[as]当at,a2，",aa为列向量组时，它们线性相关就是指有非零的sx1矩阵（kik2，,k）使[k]kz=0(a,a,..,a,)：[k,]显然，单个零向量构成的向量组是线性相关的例3判断向量组8, = (1,0,, 0),8, =(0, 1,..,0),.+.+..6,=(0,0,..,1)的线性相关性解对任意的常数ki,kz，",kn都有3
3 2 2 2 3,5,3,3 1 2 3 4 ( ) = − − − = − 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组 α１,α２,.,αs 可以排列 成一个 s×n 分块矩阵 1 2 s = a a A a , 其中 αi 为由 A 的第 i 行形成的子块,α１,α２,.,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组 β１,β ２,.,βs 可以排成一个 n×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,.,βs）,其中 βj 为Ｂ的第 j 列形成的子块,β１,β ２,.,βs 称为 B 的列向量组.这样,矩阵 A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关 系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究. §2 线性相关与线性无关 定义 5 向量组 α１,α２,.,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数 k１,k２,.,ks, 使 1 s i i i k = a =k１α１+k２α２+.+ksαs＝0. （3.3） 反之,如果只有在 k１= k２ = . =ks =0 时(3.3)才成立,就称 α１,α２,.,αs 线性无关. 换言之,当 α１,α２,.,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的 1×s 矩阵 (k１,k２,.,ks)使 1 2 1 2 ( , , , ) s s k k k = 0 a a a . 当α１,α２,.,αs为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵(k１,k２,.,ks)′ 使 1 2 1 2 ( , , , ) s s k k k = a a a 0 . 显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例 3 判断向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), (0,0, ,1) n = = = 的线性相关性. 解 对任意的常数 k１,k２,.,kn 都有
k,e+k,e+..-+ke,=(k,k2,...,k,)所以ki81+k222+.**+knen=0当且仅当k=k2=**-=k=0因此&,&2，,n线性无关e,&2，,&n称为基本单位向量.例4判断向量组a=（1,1,1）,a=（0,2,5）,=（1,3,6)的线性相关性.解对任意的常数kl,kz，k都有k,a,+kzaz+ ksas=(k,+ka,ki+2k,+3ks,k,+5k,+6ks).所以kiai+k2a2+kas=0当且仅当k +k,=0,k+2k,+3k,=0k,+5k,+6k,=0由于k=1, k2=1,ks=-1满足上述的方程组，因此1α+1α+(-1)=αα2-α=0所以α1,α2,α线性相关，例5设向量组α1α2α线性无关，β=α+α2β2=α2+α，β=α+α1，试证向量组β1,β2，B也线性无关证对任意的常数都有kiβ+k2β2+ksβ=(ki+ks)αi+(ki+kz)α2+(k2+ks)αs设有ki,kz,ks使kiβ,+k2β2+ksβ=0由α1α2，α线性无关，故有[k +k, =0,k+k,=0,k +k,=0.由于满足此方程组的k,kz,ks的取值只有ki=k2=ks=0,所以β1，β2，β线性无关定义 6向量α称为向量组βi，β2，,β的一个线性组盒，或者说α可由向量组βiβ2，β线性表出（)，如果有常数k,kzk使α=kiβi+k2β2+..+kβr.此时，也记a=Ek,β.i=l4
4 k１ε1+k２ε2+.+knεn＝(k１,k２,.,kn). 所以 k１ε1+k２ε2+.+knεn =0 当且仅当 k1=k2=.=kn=0. 因此 ε1,ε2,.,εn 线性无关. ε1,ε2,.,εn 称为基本单位向量. 例 4 判断向量组 α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６） 的线性相关性. 解 对任意的常数 k１,k２, k3 都有 k１α１+k２α２+ k3α3=(k１+k3,k１+2k２+3k3,k１+5k２+6k3). 所以 k１α１+k２α２+ k3α3=0 当且仅当 1 3 1 2 3 1 2 3 0, 2 3 0, 5 6 0. k k k k k k k k + = + + = + + = 由于 k1=1,k2=1,k3=-1 满足上述的方程组,因此 １α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0. 所以 α１,α２,α3 线性相关. 例 5 设向量组 α１,α２,α3 线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组 β １,β２,β3 也线性无关. 证 对任意的常数都有 k１β１+k２β２+k3β3=(k１+k3)α１＋（k１+k２)α２+(k２+k3)α3 . 设有 k１,k２,k3 使 k１β１+k２β２+k3β3=0. 由 α１,α２,α3 线性无关, 故有 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. k k k k k k + = + = + = 由于满足此方程组的 k１,k２,k3 的取值只有 k１=k２=k3=0, 所以 β１,β２,β3 线性无关. 定义 6 向量α称为向量组 β１,β２,.,βt 的一个线性组合,或者说 α 可由向量组 β １,β２,.,βt 线性表出(示),如果有常数 k１,k２,.,kt 使 α＝k１β１＋k２β２+.＋ktβt. 此时,也记 1 t i i i k = a =
例 6设 α,=(1,1, 1,1),αz=(1,1,-1,-1),α=(1,-1,1,-1),α=(1,-1,-1,1),β=(1,2,1,1).试问β能否由α1，αz，g，α线性表出？若能，写出具体表达式解令β=iαi+kzα2+ksαs+kα于是得线性方程组(k +k, +k +k =1k+k-k-k =2k -k, +k,-k =1[k-k-k +k=1因为11111-1 -1D=-16±0,-11--1-111由克莱姆法则求出51k.=k444所以5111β=α+α-a4-α4444即β能由α1,α2sα线性表出例7设α=(2,-3,0)，β=(0,-1,2)，Y(0,-7,-4)，试问能否由α,β线性表出?解设y=kia+k2β于是得方程组2k, =0-3k, -k, =-72k, =-4由第一个方程得k;=0，代入第二个方程得kz=7,但k2不满足第三个方程，故方程组无解所以y不能由α,β线性表出.定理1向量组a1,α2，,α（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，证设a1,a2，,a.中有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设αi=k2α2+kgas+.**+k,α.那么-αi+k2α2+*+kα=0,所以a1,a2,"",a.线性相关.反过来，如果ai,a2"",a.线性相关，就有不全为零的数ki,k2,",ks,使αi+α2+...+kα=0不妨设k≠0，那么kzKkα=asα2akihk5
5 例 6 设 α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问 β 能否由 α１,α２,α3,α4 线性表出？若能,写出具体表达式. 解 令 β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4 于是得线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k + + + = + − − = − + − = − − + = 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 16 0 1 1 1 1 1 1 1 1 D − − = = − − − − − , 由克莱姆法则求出 1 2 3 4 5 1 1 , , 4 4 4 k k k k = = = = − 所以 1 2 3 4 5 1 1 1 , 4 4 4 4 = + − − 即 β 能由 α１,α２,α3,α4 线性表出. 例 7 设 α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问 γ 能否由 α,β 线性表出? 解 设 γ=k１α+k２β 于是得方程组 1 1 2 2 2 0 3 7 2 4 k k k k = − − = − = − 由第一个方程得 k１=0,代入第二个方程得 k２=7,但 k２不满足第三个方程,故方程组无解. 所以 γ 不能由 α,β 线性表出. 定理 1 向量组 α１,α２,.,αs (s≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能 由其余向量线性表出. 证 设 α１,α２,.,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设 α１=k２α２+k3α3+.+ksαs, 那么 -α１+k２α２+.+ksαs=0, 所以 α１,α２,.,αs 线性相关.反过来,如果 α１,α２,.,αs 线性相关,就有不全为零的数 k１,k ２,.,ks, 使 k１α１＋k２α２＋.＋ksαs=0. 不妨设 k１≠０, 那么 2 3 1 2 3 1 1 1 . s s k k k k k k = − − − −
即α能由αzα，…,α线性表出例如，向量组α=（2,-1,3,1),α2=（4,-2,5,4）,α=(2,-1,4,-1)是线性相关的，因为α=3α-α2显然，向量组α1，α线性相关的充分必要条件是存在常数k，使得两向量的对应分量成比例在三维的情形，这就表示向量α与共线三个向量82线性想关的几何意义就是它们共面定理2设向量组β1，β2，,βB线性无关,而向量组β1,β2，，βα线性相关,则α能由向量组β1，β2，，β线性表出，且表示式是惟一的证由于β1,β2，,βt,α线性相关，就有不全为零的数k1,k2，",k,k使kβ+kzβ,+..*+k,β,+ka=0由β，β2，，β线性无关可以知道k0.因此k....-k,Bα=kkT即α可由β，β2，""，β线性表出.设α=lβi+l2β2+...+l.β=h.β.+h2β2+..+hβ为两个表示式.由αα= (l,β.+β2.+l.β)-(h.β,+h2β2+...+h,β.)=(li-hi)βi+（l2-h2）β2+.+（l-h)βr=0和βi，β2，*"，β线性无关可以得到li=hi,l2=h2,",l=ht因此表示式是惟一的.定义7如果向量组α1,α2，α中每个向量都可由β1，β2，"β线性表出，就称向量组α1，α2，α可由β1，β2，β线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价.显然，每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时，如果向量组α1，α2，"，α可以由向量组β1,β2，β线性表出，向量组β1,β2，,β,可以由向量组.2,"，线性表出，那么向量组α1，α2，,α可以由向量组,2线性表出.事实上，如果α,=k,β,i=1,2,.,t,J=lB,=1mm.j=1,2,..,s,m=那么α,-mm-kmm-2kgmymLj=l_lilmm=l [ j=l 这就是说，向量组αi，α2，α中每一个向量都可以由向量组Y1,2，",，线性表出.因而，6
6 即 α１能由 α２,α3,.,αs 线性表出. 例如,向量组 α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１） 是线性相关的,因为 α3＝３α１-α２. 显然,向量组 α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数 k,使得两向量的对应分量成 比例.在三维的情形,这就表示向量 α１与 α２共线.三个向量 α１,α２,α3线性相关的几何意义就 是它们共面. 定理 2 设向量组 β１,β２,.,βt 线性无关,而向量组 β１,β２,.,βt,α 线性相关,则 α 能 由向量组 β１,β２,.,βt 线性表出,且表示式是惟一的. 证 由于 β１,β２,.,βt,α 线性相关,就有不全为零的数 k１,k２,.,kt,k 使 k１β１+k２β２+.+ktβt+kα=0. 由 β１,β２,.,βt 线性无关可以知道 k≠0. 因此 1 2 1 2 t t k k k k k k = − − − − , 即 α 可由 β１,β２,.,βt 线性表出.设 α＝l１β１+l２β２+.＋ltβt＝h１β１+h２β２＋.＋htβt 为两个表示式.由 α－α＝（l１β１+β２+.＋ltβt)-(h１β１+h２β２＋.＋htβt) =（l１-h１）β１＋（l２-h２）β２＋.＋（lt-ht）βt＝0 和 β１,β２,.,βt 线性无关可以得到 l１=h１, l２=h２, ., lt=ht. 因此表示式是惟一的. 定义 7 如果向量组 α１,α２,.,αs 中每个向量都可由 β１,β２,.,βt 线性表出,就称向量 组 α１,α２,.,αs 可由 β１,β２,.,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们 等价. 显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组 α１,α２,.,αt 可以由向 量组 β１,β２,.,βs线性表出,向量组 β１,β２,.,βs可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出,那么 向量组 α１,α２,.,αt 可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出. 事实上,如果 1 , 1,2, , , s i ij j j k i t = = = 1 , 1,2, , , p j jm m m l j s = = = 那么 1 1 1 1 1 1 s s s p p p i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l = = = = = = = = = . 这就是说,向量组 α１,α２,.,αt 中每一个向量都可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出.因而
向量组αα2，""α可以由向量组2",线性表出由上述结论，得到向量组的等价具有下述性质：(1）反身性：向量组α1，α2，"，α与它自己等价(2）对称性：如果向量组α1,α2，",α与β1，β2"β等价，那么β,β2，"，β也与α1，α2，，α等价(3）传递性：如果向量组α1,α2，,α与β1，β2，"，β等价，而向量组β1,β2，"β又与2等价，那么α1,α2，",α与2等价83线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂，我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性，通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关证设向量组α1，α2，,α有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α1，α2，，αr(r≤s).则有不全为零的数ki,kz，,k使Zka,=2kα +0α,=0,i=lJer+i=l因此αi，α2，,α也线性相关推论含有零向量的向量组必线性相关定理4设pi,p2,",pn为1,2，,n的一个排列,α1,α2,,α和β1,β2,",β.为两向量组，其中[aip[adipdi2,β,α, =二....Lαimaip即β1β2，"，β.是对α1，α2，，α各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。证对任意的常数ki,k2,,k.注意到列向量[ka+k,a,+.+k,aska12+k,a22+.+k,as2Zk,a,=:[kain+ka2n+..+kasm和7
7 向量组 α１,α２,.,αs 可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出. 由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组 α１,α２,.,αs 与它自己等价. (2) 对称性：如果向量组 α１,α２,.,αs 与 β１,β２,.,βt 等价,那么 β１,β２,.,βt 也与 α １,α２,.,αs 等价. (3) 传递性：如果向量组 α１,α２,.,αs 与 β１,β２,.,βt 等价,而向量组 β１,β２,.,βt又 与 1 2 , , , p 等价,那么 α１,α２,.,αs 与 1 2 , , , p 等价. § 3 线性相关性的判别定理 利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点 来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组. 定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关. 证 设向量组 α１,α２,.,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为 α１,α２,.,αr (r s ).则有不全为零的数 k１,k２,.,kr 使 1 1 1 0 , s r s i i i i j i i j r k k = = = + = + = 0 因此 α１,α２,.,αs 也线性相关. 推论 含有零向量的向量组必线性相关. 定理 4 设 p1,p2,.,pn 为 1, 2, .,n 的一个排列,α１,α２,.,αs 和 β１,β２,.,βs为两 向量组,其中 1 2 1 2 n ip i i ip i i in ip = = , 即 β１,β２,.,βs是对 α１,α２,.,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组 有相同的线性相关性. 证 对任意的常数 k１,k２,.,ks注意到列向量 1 11 2 21 1 1 12 2 22 2 1 1 1 2 2 s s s s s i i i n n s sn k k k k k k k k k k = + + + + + + = + + + 和
kap+kap++kapk,ap+kap.+.+k,apk,β,..i=lkap.+kap.+..+k.ap.只是各分量的排列顺序不同，因此ktβi+k2β2+*.+k.β.=0当且仅当kiα1+k2α2+..-+k.α.=0所以α1,α2，*"，α和β1，β2，""，β有相同的线性相关性.定理4是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形，今后不再说明定理5在r维向量组αt,α2，,α的各向量添上n7个分量变成n维向量组βi,β2,"",β1）如果β1,βz，",β线性相关那么α1,α2"",α也线性相关(2）如果α1,α2，，α线性无关，那么β,β2，，β.也线性无关证我们对列向量来证明定理，设(α1, α2, , α) =A1,A(β1β2,.,β)A如果βi，β2，，β,线性相关，就有一个非零的sX1矩阵X使AXAo(β1,β2,"",β)XA,X从而(αi,αz,",α)X=A1X=O因此α1,α2，α也线性相关，即(1)成立.利用(1)，用反证法容易证明(2)也成立定理6设A是一个n阶方阵,则A的行(列)向量组线性相关的充分必要条件是A|=0证设A=(ag)mm[a[a2[ana21a22aznaα, =..,α.："..:Lan][an2]Laan是矩阵A的列到向量组.令(3-4)xa,+x,+...+xa,=0则α,α2α,线性相关的充分必要条件是，存在一组不全为零的实数x,x2.…,x，使得(3-4)式成立，即齐次线性方程组8
8 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 n n n p p s sp s p p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k = + + + + + + = + + + 只是各分量的排列顺序不同,因此 k１β１+k２β２+.+ksβs=0 当且仅当 k１α１+k２α２+.+ksαs=0. 所以 α１,α２,.,αs 和 β１,β２,.,βs有相同的线性相关性. 定理 4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明. 定理 5 在 r 维向量组 α１,α２,.,αs 的各向量添上 n-r 个分量变成 n 维向量组 β１,β ２,.,βt . （1）如果 β１,β２,.,βst 线性相关,那么 α１,α２,.,αs 也线性相关. (2) 如果 α１,α２,.,αs 线性无关,那么 β１,β２,.,βs也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理,设 （α１,α２,.,αs）＝Ａ１, (β１,β２,.,βs）＝ 1 2 , 如果 β１,β２,.,βs线性相关,就有一个非零的 s×1 矩阵Ｘ使 （β１,β２,.,βs）Ｘ＝ 1 2 Ｘ＝ 1 2 X X ＝０. 从而 （α１,α２,.,αs）X＝Ａ１Ｘ＝０. 因此 α１,α２,.,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立. 定理 6 设 A 是一个n阶方阵,则 A 的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是 A = 0. 证 设 ( ij)nxn A a = , 11 21 1 n1 a a a = , 12 22 2 n2 a a a , , 1 2 n n n nn a a a = 是矩阵 A 的列到向量组.令 1 1 2 2 0 n n x x x + + + = . (3 4 − ) 则 1 2 , , , n 线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数 1 2 , ,., , n x x x 使得 (3 4 − ) 式成立,即齐次线性方程组
[X]X2(3-5)4:=0LXn有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知，（3-5)式存在非零解的充分必要条件是A=0.从而定理得证.推论n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行（列）向量组线性无关例8试证明n维列向量组a1,a2，,an线性无关的充分必要条件是行列式aaaa...aaa,a aa, .. a'anD=#0：a'a a'a, ... a'a.证令矩阵A=(ai,a2,..,an)则向量组a.1,α2，,an线性无关行列式A≠0.由于[α'][aa,ααa,ana2aada,..aanA'A-α,]=a,a,::::La]La,a a,a, .. a,an]在上式两端取行列式，得[A|′-|A' A|=D故A≠0一D+0,所以a1，a2，，an线性无关D+0定理7n+1个n维向量ai,a.2，,a.n+1必线性相关证对每个a.添加等于零的第n+1个分量，得到n+1维向量β1,β2，*,βm+易见，由β1,β2，"",βn+构成的方阵的行列式等于零，因而βi,β2，βn+线性相关，由定理5,易知a1，a2,，an+i也线性相关推论当m>n时，m个n维向量线性相关例9讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：[123][13-2B=221;C=02-13431-201解由于|B「=2≠0，因此B的行（列)向量组线性无关：由于|C【=0,所以C的行（列）向量组线性相关定理8如果向量组ai,a2,a.可由iβ2",β线性表出且s>,那么ai,a2，",a线性相关，证我们不妨假定讨论的是列向量，如果a1,2，,a.可由β,β2，"",β线性表出，那么9
9 1 2 0 n x x A x = = (3 5 − ) 有非零解存在.由第一章定理 5 的推论及其注解知, (3 5 − ) 式存在非零解的充分必要条件是 A = 0.从而定理得证. 推论 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的行（列）向量组线性无关. 例 8 试证明 n 维列向量组 α１,α２,.,αn 线性无关的充分必要条件是行列式 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 n n n n n n = D 证 令矩阵 A={α１,α２,.,αn} 则向量组 α１,α２,.,αn 线性无关 行列式|A|≠0.由于 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n = = A 在上式两端取行列式,得 |A| 2 =|A′||A|=D 故|A|≠0 D≠0,所以 α１,α２,.,αn 线性无关 D≠0. 定理 7 n+1 个 n 维向量 α１,α２,.,αn+1必线性相关. 证 对每个 αs添加等于零的第 n+1 个分量,得到 n+1 维向量 β１,β２,.,βn+1.易见,由 β １,β２,.,βn+1构成的方阵的行列式等于零,因而 β１,β２,.,βn+1线性相关,由定理 5,易知α１, α２,.,αn+1 也线性相关. 推论 当 m n 时,m 个 n 维向量线性相关. 例 9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性： 1 2 3 1 3 2 2 2 1 ; 0 2 1 . 3 4 3 2 0 1 − = = − − B C 解 由于｜Ｂ｜＝２≠０,因此Ｂ的行(列)向量组线性无关；由于｜Ｃ｜＝０,所以 C 的行(列)向量组线性相关. 定理 8 如果向量组α１,α２,.,αs可由β１,β２,.,βt线性表出且s＞t,那么α１,α２,.,αs 线性相关. 证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果 α１,α２,.,αs 可由 β１,β２,.,βt 线 性表出,那么
[piPi2β,)=(ββ,.β.)...α,=(ββ,...LPa[ pa]Pi2(i=1,2,,s)其中r=:Lpin]令A=(r1 2,", ),则(ai,az,"",a.)=(βi,β2,", β)A.由于1，2，，为由s个向量组成的1维向量组.且s>t，根据推论知，它们必线性相关.因此有非零sX1矩阵(ki, kz, ...,k.)"使[K]kk,k0(1,Y2,***,Y,.....[k,][k,]从而[k][k]Nk=0=(β,β2,,β,)A(α αa,.....Lk,k即有ai,a2,,a.线性相关推论1如果向量组ai,a2,",a可由向量组β,β2,"，β,线性表出，且ai,a2，，a线性无关，那么s≤t推论2两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量84向量组的秩定义8设存在向量组α，αz，"，α,的一个部分组α，α，…，α,，满足（1）部分组α，αg，，α,线性无关；(2）对任意的α,(1<i≤s)，都有α，αg，，α,线性相关.则称部分组α，α，…，α,是向量组α，α，，α的一个极大线性无关组10
10 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 i i i n n i it p p p = = . 其中 1 2 i i i it p p r p = , (i s =1,2, , ) . 令 Ａ＝（γ１,γ２,.,γs), 则 (α１,α２,.,αs)＝（β１,β２,.,βt）Ａ. 由于γ１,γ２,.,γs 为由 s 个向量组成的 t 维向量组.且 s t ,根据推论知,它们必线性 相关.因此有非零 s×1 矩阵 （k1,k2,.,ks）′ 使 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) s s s k k k k k k = = 0 . 从而 ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) s s s s k k k k k k = = 0 . 即有 α１,α２,.,αs 线性相关. 推论 1 如果向量组 α１,α２,.,αs 可由向量组β１,β２,.,βt 线性表出,且 α１,α ２,.,αs 线性无关,那么 s t . 推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量. §4 向量组的秩 定义 8 设存在向量组 1 2 , , , s 的一个部分组 1 2 , , , r i i i ,满足 （1）部分组 1 2 , , , r i i i 线性无关； （2）对任意的 i (1 i s) ,都有 1 2 , , , r i i i 线性相关. 则称部分组 1 2 , , , r i i i 是向量组 1 2 , , , s 的一个极大线性无关组