第29卷第8期 Vol 29 No 8 200年8月 ACTA PHOTO、 ICA SINICA August 2000 激光谐振腔自再现模的波型特征 高致慧 ~28 (深圳大学科技研究院光电子工程系518060) TN>Y/ 摘要本文用光传輸矩阵理论给岀分析激光光腔模式波型特性統一处理方法、导出激光谐 振腔自再现模的波型函数,讨论了在各类激光谐振腔中激光束的波型特征 关键词激光谐振胞;自再现提:波型特征 0引言 先系 激光谐振腔光束特性是激光理论的重要内容 之一,其特征直接关系到激光技术与激光器件的 周相应的列矢量为小有 设计和应用.在现有光腔理论中,仅给出光腔镜 面上光束的某一本征态,没有给出激光谐振腔光 束特性的统一描述1.本文用光传输矩阵理论2建 立激光谐振腔的本征方程,导出光腔本征态与完 备态·通过完备态的分析给出了激光谐振腔的自7是光线在腔内往返一周相应的变换矩阵或称往 再现模所相应的自再现波型.从面讨论了各种类返矩阵,A、BC、D为二阶往返矩阵T的矩阵元 型光腔的波型特征·在忽略術射效应或光腔费涅素 耳数N足够大时,其研究结论是足够精确的 如果腔内光束存在本征态,则矩阵T作用于 该方法较好地描述了激光谐振腔的基模特性,且该本征矢量应等于某一常数值乘以该本征矢量即 简洁明了,在非稳腔中,本文提出光腔的自再现有本征值方程 波型是完备态中的两个本征态的光束的迭加,直 (3) 接导出非稳腔的光束特征,这与文献中仅以 个本征态对应的光束作为非稳腔的自再现波型是式(3)为激光谐振腔的本征方程.为满足本征 不同的·在文献中还须以几何光学的物象关系方程的本征矢或本征态k为本征值·求解矩阵 给出附加解才能描述非稳腔的特征 方程(3),移项得 1激光谐振腔本征方程 0 (4) 由光传输理论,光腔内任一横截面上任一光将(2)代人得 线可由一列矢量「来描述,表示光线与z轴 「A-kB (5) (光轴)的距离表示光线与Z轴的夹角·枧定要使(5)中的本征向量有非零解,则其对应的矩阵 光线出射方向在Z轴的上方时,0>0;光线出射行列式必须为零有 方向在Z轴的下方时,0<0.光线。在腔内往返 收稿日期:2000-01-24
⑦ 第 29卷 第 8斯 一、／27 2000年 8 月 t 8-7 职 ACTA PHOTONICA SINICA V。】．09No．8 激 光谐 振 腔 自再 现模 的波 型特 征 ．巡 (深圳 大 学 科 技 研 究院 光 电子 工程 系 518060) 丁 T 摘 要 本文 用光传输 矩 阵理论 给 出分析 激光光 腔模 式波 型特性 统一 处理方 法 导 出激光 谐 振腔 自再现模 的波型 函数 ．讨论 了在各 类激光谐振 腔 中激光 束的波 型特征 关键词 - 激_ - 光_ ● —谐— —振— — 壁一 ；_ 自_ _ 再_ - 现— 一模 ；_波- ● 型● - 特_ ● 征● 一 0 引言 激 光谐 振腔光束 特性 是激 光理论 的重要 内容 之一 ，其 特征 直接 关 系 到激 光技 术 与激 光器 件 的 设计 和应用 ．在 现有 光 腔 理论 中 ，仅 给 出光腔 镜 面上 光束 的某 一本 征 态 ，没有 给出 激 光谐 振腔 光 束 特性 的统 一描述 ．本文用 光传 输矩 阵 理论 建 立激 光谐 振 腔 的本 征 方程 ，导 出光 腔 本征 态 与完 备态 ．通过 完备态 的分析 给 出 了激光谐 振腔 的 自 再现模 所 相应的 自再现 渡型 ．从而讨论 了各 种类 型光 腔 的波型特 征 ．在 忽略衍 射效应 或光腔 费涅 耳 数 N 足够 大 时，其 研 究结 论 是 足 够精 确 的 ． 该 方法 较好 地描 述 了激光 谐 振腔 的基 模 特性 ，且 简洁明了．在非稳腔中，本文提出光腔的自再现 波 型是完 备态 中的两个 本征态 的光束 的迭 加 ．直 接 导 出 非 稳腔 的光 束 特 征 ，这 与 文献 中仅 以一 个本 征态 对应的 光束 作 为非稳 腔的 自再现波 型是 不 同 的 ．在文献 中还须 以几 何光 学 的物象 关 系 给出 附加解 才能描述 非稳腔 的特 征 1 激光谐振 腔本征方程 由光传 输 理论 ，光 腔 内任 一横 截 面上 任 一 光 r一 线可由一列矢量1J1来描述 ．r表示光线与Z轴 (光轴 )的距离 ， 表 示 光线 与 Z轴 的 夹 角 ．规 定 光 线 出射 方 向在 Z 轴 的 上 方时 ，口> 0；光 线 出 射 rr_ 方向在z轴的下方时，8<0．光线f l在腔内往返 收稿 日期 20O0— 0l一 24 ； 之餐 一一周相应的刊矢量为[l]J，有 一 r， 匕] ㈩ ， 一 『L!CDB]J 【2) 了1是光线在 腔内往返 一周 相应 的变抉矩 阵 或称往 返 矩 阵 ，A、B、C、D 为二 阶往返 矩 阵 r，的 矩 阵元 素 如果 腔 内光束 存 在本征 态 ，则 矩 阵 r，作 用于 该 本征矢 量应等 于某 一常数值 乘 以该本征矢 量 即 有 本征值 方程 r， [ [ (3) 式(。)为激光谐振腔的本征方程’lrJl为满足本征 方程 的本 征 矢或 本征 态 方程 (3)，移项 得 r， 。 将 (2)代 人得 ^为本 征值 ．求 解矩 阵 (4) FA—k B ]r门 L c D k J一。 ‘ 要使 (5)中的本征 向量有 非零解 ，则其 对应 的矩阵 行 列式必须 为零 ，有 维普资讯 http://www.cqvip.com
高致慧等.激光谐振腔自再现模的波型特征 A—kB 展开求解得本征值为 MKRD k1=2-1(A+D)+2-1√(A+D)2-4 (7) √(A+D)2-4 求解中运用了光线矩阵的性质AD-BC=1.将 L/2 L/2 本征值k1代入(5)求得本征矢。,有 6=(k;-A)r/B=(7/(k1-D)=r/q1(8) 图1傍轴光线传输分析 式中 Fig. 1 Beam transmission in optical cavity q1=B/(h1-A)=(k1-D)/ (9) T=Tux+ TRTITK, T\L/222 所以本征态为满足=r/q:的所有光线所组成的 1(L/2)+z 0T「1 光束,本征态可描述为 (2/R1)1L01 0T「1(L/2)-z1「AB 10) (13) r/g 'R 2 式中,Tk表示光束经曲率半径为R的反射镜的 对应于本征值k2求得本征矢为。|,有 反射矩阵 T表示光束经长为L的均匀介质中的传播 11 式中 由(13)得矩阵元素为 q=B/(k2-A)=(k:-D)C 12)A-1-(t+1-]是[数+] q1、q2描述了由某一点源发出的光到达参考面上 波面的曲率半径,在近轴区域也就是点源距参考 2-1{1-是(号+1-] 面的距离.q>0表示发光点在参考面rp的左边; 是(+1+41(+1]+1-44 q0,凸面镜R1 (17) 作一参考横截面r户,一傍轴光线在面上的列式(15)、(16)、(17)分别对应于光学谐振腔的临界 腔,稳定腔与非稳腔3,因此本征值三种取值情况 矢量为·|由出发在腔内往返一周的往对应了光腔的三大类型.通过对完备态与本征值 返矩阵为T 的分析可以求得任一光腔的自再现波型
8期 高 致 慧 等 ．激 光谐 振 腔 白再 现模 的 波 型 特 征 727 A k B l c D l啊。 伯 展开求解 得本征 值为 -一 ‘一D’+ ! 二 (7) k2— 2-。( — D ) 2 ( + D )。 4 求解 中运 用 了光 线矩 阵 的 性质 AD—BC一1．将 rr] 本征值kl代人(5)求得本征矢lJ，有 一 幢】一 )，／B—Cr／幢】 D)=r／ql (8) 式 中 ql—B／(l—A)一(l—D)／C (9) 所以本 征 态为满 足 一r／q 的所有 光线 所组 成 的 光束 ．本征态 可描述 为 (10) 对应于本征值k2,求得本征矢为l口J，有 [；]一[ … 式中 q2=B／(2一 A)一 (^z—D)／C (12) q-、q 描述 了 由某一 点源 发 出 的光 到达 参 考 面 上 波面 的曲率半 径 ．在 近轴 区域也就 是点源距 参考 面的距 离 ．q>0表 示 发光点 在参考 面 的左边 ； qO，凸面镜 R 1 (17) 式 (15)、(16)、(17)分别 对应 于光学 谐振腔 的临界 腔 ，稳定 腔与 非 稳腔。，因此本 征 值 三种 取 值情 况 对应 了光 腔的 三大类型 ．通 过对 完备态 与本征值 的分 析可 以求得任 一光 腔的 自再 现渡型 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com
728 2激光谐振腔自再现模的波型分析相应的场分布为 Ea 按本征值的不同分三类进行讨论 2.1临界腔 ex-(x+2g)+x方] 2-1A+D|=1 k=k=k=2-(A+D) E2(x,y,z)= E q1=9:=q=(k-D)C=(A-D)/2C(18) q=q=B/(-A)=2B/(D-A) 本征态为 任一截面上的场分布为两个人波场的叠加,得 19) E(t,y,z)=a1E,(r,y, 2)+?(ry,z) 为比例系数,由边界条件lim 为两重实根,完备态中的两个本征态是相同的,E(x,y,z)=0,解得a1=0.这说明只有k2=h1 q是实数因此临界腔的自再现波型是由本征态 (19)来描述,表示任一截面上的自再现波型是由ih2才是物理解·令E。=a3E 距z点q处作为点光源发出的球面波型,例如将 光腔结构参量代人(14),(18)可得出平行平面镜 E(x,y,z)=2° 腔的自再现波型是平面光波,共心腔的自再现波 rh,-A exp-iK(z+ 型是由腔心(原心)发出的球面波型.在忽略術射 ]x-2x訇] 效应或光腔菲涅耳数NF足够大时,这一结论是 h-a h E 正确的 九1-A 2.2稳定腔 e exp 2-4A+D|L/2,代人式 k1、k2为一对共轭复根k=k2(k2=k1) (14),再代人(26)及(32),并令 k1=2-(A+D)+2-√(A+D)2-4 R(z)=x(1+(f/x)2) 2-1(A+D)+2-√4-(A+D)2 a(x)=a2((1+(x/f)2)12 Pz)=arctan(=/f) k2=2(A+D)-2-1√(A+D)2-4 √a/r 2-1(A+D)-2-i√4-(A+D) 令 h1=2-1(A+D)h:=2-1√4-(A+D)2 则 k1=h+ih, (21) k 2=hih expl-ⅸK(x+2R(z) )+ipz) (27) 式中E为常数因子,指数项的第一部分表示自再 现模场分布的振幅分布,(x)表示z处的光斑半 qr=(k-A)B=(h-A)/B+ih:/B (22)径,而指数项的第二部分表示自再现模场分布的 q2=(k:-A)/B=(h1-A)/B-ih2/B qq2对应着复数曲率半径,相应的本征矢为相位特性·与(23)类比,得等相位面的曲率半径 为R(z),式(27)是基模高斯光束的一般形式·稳 0Le」:一般近轴球面波的场分布为 定腔的等相位面曲率中心与曲率半径是随z不断 E(r,, z)=(Eo/R)e"+/2R) 变化的,不是固定的,当N足够大或忽略衍射 式中r2=x2+y2,k为波矢,R为球面波的曲率半 损耗时,稳定腔中自再现波型是一高斯光束,这 与文献是吻合的 径或称等相位面的曲率半径,将复数曲率半径 2.3非稳腔 q1、q2置换R得稳定腔中本征态。与。所 2-1A+D|>1
728 止 — 职 29卷 2 激光谐振腔 自再现模的波型分析 按 本征值 的不 同分三类 进行讨 论 2．1 临界腔 2 lA+D I—l k】=k 一 一2 (A+D) ] =g2=g一(k-D)／C=(A-D)／2C (18) = -q=B／(k—A)一2B／(D A)J 本征态 为 [ [ [ ] (19) k为 两重 实根 ，完 备态 中的两 个本 征态 是 相同 的． q是实 数 ，因此 临界 腔 的 自再 现 波 型 是 由本 征 态 (19)来描 述 ，表示 任 一截 面 上 的 自再 现 波 型是 由 距 点 q处 作 为点光 源发 出的球面 波型 ．例如 将 光 腔结 构参 量代 人 (14)，(18)可得 出平 行 平面 镜 腔 的 自再 现 波 型是 平面 光 波 ，共心 腔 的 自再现 波 型是 由腔心 (原心 )发 出的球面 波型 ．在忽略衍 射 效应 或 光 腔 菲涅 耳 数 Ⅳ 足够 大 时 ，这 一结 论 是 正确 的 ． 2．2 稳定腔 2 lA+Dl L／2，代 人 式 (14)，再代 人 (26)及 (32)，并 令 R )一 (1+ (f／z)) ()一‰((1+ (／，)) )=arctan ／／) ( 一2一R[，J—L ／2R]一4一，J(2R ，J) (26) 得 E(x,y,z=志ex[一南 ] r 2 1 ‘expl-iK + 两)+i J (27) 式 中 E为 常数 因子 ，指数项 的第 一部 分表 示 自再 现模 场分 布 的振 幅分 布 ， “ )表示 处 的 光斑 半 径 ，而指 数项 的第二 部 分表示 自再 现模 场 分 布 的 相 位特性 ．与 (23)类 比 ，得 等 相位 面 的 曲率 半径 为 R(z)，式 (27)是基模 高斯 光束 的一般 形 式 ．稳 定 腔的等相 位面 曲率 中心与 曲率半 径是 随 不 断 变 化 的 ，不是 固定 的 ．当 Ⅳ 足 够 大或 忽 略 衍 射 损 耗 时 ，稳 定 腔 中 自再 现 波 型是 一高 斯 光 束 ．这 与文献。是 吻合 的 ． 2．3 非 稳腔 2 【A+D l> 1 维普资讯 http://www.cqvip.com
高致獻等.激光谐振腔自再现模的波型特征 k1、k2为两不等的实根k≠k2,在(7)中 亦为q2 对应的曲率中心为PL 对应的 令h1=1(A+D),h3=2-√(A+Dy-4 曲率中心为p2即在非稳腔中存在着两个点p 则 和p2,对应着完备态中的两个本征态,它在任 k=h,ths 点z处横截面上等相位面的曲率半径由q:和 k=h,-h 确定·非稳腔的自再现波型是由p和P2点为曲 有 率中心相应的球面波在任一截面上的叠加(由于 q2=(k2-D)C=(h1-D)C+h3/(29)P和p相对于腔镜互为源和象,许多文献称之 为共轭象点).由上面的分析表明k1和k2均为光 k1、k2均为实数,因而q1、q?均为实数,相应的本征 腔的本征值,。和。为光腔的本征态腔内 态为 01Lr/qJLB,g3小,对应了两个球 任一截面的自再现波型是这两个本征态波型的叠 面渡,本征态描述的球面波的曲率中心距加,该自再瑰波型给出了非稳腔的基模特性.这 与文献中仅以一个本征态对应的光束作为非稳 参考面r为q,在参考面上等相位面的曲率半径腔的自再现波型是不同的·在文献中还须以几 亦为q1,本征态描述的球面波的曲率中心距何光学的物象关系给出附加解才能描述非稳腔的 待征 参考面P为q2,在参考面上等相位面的曲率半径 参考文献 1吕百达,激光光学,成都:四川大学出版杜,1992:44~53 2 Gerrard A. Burch J M. Intruduction to Matrix Methods in Optics. New York: Jone Wiley Sons, 1975 3周炳琨.激光原理,北京:国防工业出版社,2000:88~5 WAVE PATTERN PROPERTY OF SELF-REPRODUCTIVE MODE IN LASER RESONATOR Gao Zhihui College of Science and Technology, Shenzhen Universify, Shenzhen 518060 Received date 2000-01-2 Abstract The general method of laser wave analysis by optical transmission matrix theory is given. The eigen function of self-reproductive mode in laser resonator is derived. The wave pattern properties of laser beam in various optical resonators are discussed. Keywords Laser resonator; Self-reproductive mode; Wave pattern Gao Zhihui was born in 1957 in Zhe jiang Province. She received B S degree from Southeast University, Nanjing, China in 1982 and M. S. degree from Xidian University, Xi'an, China in 1986. Now she is a vice professor in Shenzhen University and her interests of research include laser theory and laser technology
8期 高致慧 等 ．激光谐振腔 自再现模 的披 型特征 729 则 k、k。为两不等 的实根 kt≠ ：，在 (7)中 令 ht= (A+D)，h3-2 _n 二 k1=^1+^31 k2=h】 h3J (28) 璃 ；啦~一=(kl2一-。D)／C=(^hl1-。D)／Cc+h。a3／cC}J(29) k、k 均 为 实数 ，因而 q、qz均为实 数 ，相应的本 ti／i 态为[]一[：]，[]一[：]，对应了两个球 面波-本征态lJ描述的球面波的It$e心距 参 考 面 rp为 q，在参 考 面上等 相位面 的曲率 半径 亦为q，本征态 J。描述的球面波的曲率中心距 参 考面 rp为 g，在参 考面上 等相位 面 的曲率半径 亦为 J对应的曲率中心为P，lJ对应的 曲率 中心 为 P。．即 在 非 稳腔 中存 在 着 两 个 点 P 和 P ，对 应着 完 备 态 中的 两 个 本征 态 ，它 在 任 一 点 处 横 截 面上 等相 位 面的 曲率 半径 由 q 和 q 确定 ．非稳 腔 的 自再 现渡 型是 由 P 和 P 点 为 曲 率 中心 相应 的球 面 波在 任 一截 面上 的叠 加 (由于 P 和 P 相 对 于腔 镜 互 为 源 和 象 ，许 多文 献 称 之 为共 轭象点 )．由上 面 的分析表 明 k 和 均 为光 广r] r ] 腔的本征值，J．和 J为光腔的本征态，腔内 任一 截面 的 自再 现 波型是 这两个 本 征态波 型的叠 加 ．该 自再 现渡 型给 出了非稳 腔的 基模 特性 ．这 与文 献。中仅 以一 个本 征态 对 应 的光束 作 为非 稳 腔 的 自再 现 波型 是不 同 的 ．在文 献。中还 须 以几 何光学 的物象 关 系给 出附 加解才 能描 述非稳腔 的 特征 ． 参考 文献 1 吕 百 达 ．激 光 光 学 ．成 都 ：四川 大 学 出 版 社 ，1992 44~ 53 2 GerrardA，BorchJM．1ntruduetiontoMatrixMethodsinOptics．New York~JoneWileySons．1975 3 周炳 琨 ．激光原理 ．北京：国防工业 出版 社。2000：88~95 W AVE PATTERN PRoPERTY oF SELF—REPRoDUCTIVE M oDE IN LASER RESoNAToR Gao Zhihui CollegeofScienceandTechnology，ShenzhenUniversity。Shenzhen518060 Receiveddate：2000 01— 24 Abstract Thegeneralm ethod oflaserwaveanalysis by opticaltransm ission matrix theory isgiven． Theeigenfunctionofself—reproductivemodeinlaserresonatorisderived．Thewayepatternproperties oflaserbeam invariousopticalresonatorsarediscussed． Keywords Laserresonator；Self-reproductivem odecW avepattern lGdplaresogrfeZsthfiroumiynaXSnwhidaeusltzhnbseoaUrsntiUvcehnri1vso9etl5ry7sg，ityXn．iZa，nhNde，ajCinhjeirgaiPn，trCeohv1in9sa8ce6i．oSNfh1or9we8sr2achecinvhdinMaBl．vuiSdc．e 维普资讯 http://www.cqvip.com