第36卷第11期 数学的实践与认识 Vol 36 No. 11 200611 MATHEMATIS N PRACTICE AND THEORY Nove,2006 复振幅法在再生放大器增益研究中的应用 杜戈果 (深圳大学电子科学与技术学院,广东深圳518060) 摘要:在激光原理教学中,针对再生放大器的增益问题,应用复振幅法,并参考多光束干涉的处理方法,给 出了增益表达式的详细推导过程,可促进学生对该问题的理解和掌握,并可作为现有教材的一点补充 关键词:复振幅法多光束干涉再生放大器增益,激光原理 1引言和估计方法 在复数的学习中,我们知道复数可以用三角表示法=r(∞0s0+isin)表示利用 Euler公式,复数还可以用指数表示法:=re表示复数的这种表示可应用于物理光学对 于单色波频率ν是一个常量,光波在空间各处的情况完全由振幅a(x,y,)和相位中x,y )决定因此,描述某一频率的单色波场以及进行场的计算时,主要关心的是振幅a和相位中 这两个量而用复数函数描写光波则有简化运算和突出a、两个量的优点 单色波的表达式为 ∫(x,y,,n)=a(x,y,=)cos[2m+中x,y,=)] 利用cs=Re(e),可将单色波写成 这一表示式把由空间坐标x、y、决定的相位部分中和由时间决定的相位部分2mr分开了 这有利于光场的计算复数量 u(x,y, :)=a(,y, 2) 包括了我们所关心的a和中u(x、y、=)称为单色光波在光场中任一点的复数振幅,简称复 振幅复振幅法可用来处理许多光学问题,比如激光原理中再生放大器的增益问题 在激光原理教学中,教材2对再生放大器的增益,只讲可利用物理光学中的多光束干涉 的方法来求其增益并给出了增益的表达式但限于篇幅,并未给出推导过程有不少同学对 此存有疑惑,笔者在此利用复振幅法给出增益表达式的详细推导过程,以解答学生的疑惑 促进他们对该问题的理解和掌握,同时作为现有教材的一点补充 2基本问题 图1表示再生放大器的示意图为放大器的长度,R1和R2分别为两个端面的功率反射 系数,用T1和T2代表它们的功率透射系数设腔镜无其它损耗,则R1+T1=R2+T2=1 Po(o)是入射放大器的信号光功率(光强),P(D[1(D]是经过放大器后被放大的信号光功 率(光强),则放大器的增益可定义为 收稿日期2005-07-01 201994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/nnecnkiner
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第36 卷第11 期 2006 年11 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EOR Y Vo l136 No111 Nove. , 2006 复振幅法在再生放大器增益研究中的应用 杜戈果 (深圳大学电子科学与技术学院, 广东 深圳 518060) 摘要: 在激光原理教学中, 针对再生放大器的增益问题, 应用复振幅法, 并参考多光束干涉的处理方法, 给 出了增益表达式的详细推导过程, 可促进学生对该问题的理解和掌握, 并可作为现有教材的一点补充. 关键词: 复振幅法; 多光束干涉; 再生放大器; 增益; 激光原理 1 引言和估计方法 收稿日期: 2005207201 在复数的学习中, 我们知道复数可以用三角表示法 z = r(co s Η+ isin Η) 表示; 利用 Eu ler 公式, 复数还可以用指数表示法 z = re iΗ表示. 复数的这种表示可应用于物理光学. 对 于单色波, 频率 Μ是一个常量, 光波在空间各处的情况完全由振幅 a (x , y , z) 和相位 <(x , y , z) 决定. 因此, 描述某一频率的单色波场以及进行场的计算时, 主要关心的是振幅a 和相位< 这两个量. 而用复数函数描写光波则有简化运算和突出 a、<两个量的优点. 单色波的表达式为[1 ] f (x , y , z, t) = a (x , y , z) co s[ 2ΠΜt + <(x , y , z) ] (1) 利用 co s Α= Re (e - iΑ ) , 可将单色波写成 f (x , y , z, t) = Re{a (x , y , z) e - i[2ΠΜt+ <(x , y , z) ] } = Re{a (x , y , z) e - i<(x , y , z) e - i2ΠΜt } (2) 这一表示式把由空间坐标 x、y、z 决定的相位部分 <和由时间决定的相位部分 2ΠΜt 分开了. 这有利于光场的计算. 复数量 u (x , y , z) = a (x , y , z) e - i<(x , y , z) (3) 包括了我们所关心的 a 和 <. u (x、y、z) 称为单色光波在光场中任一点的复数振幅, 简称复 振幅. 复振幅法可用来处理许多光学问题, 比如激光原理中再生放大器的增益问题. 在激光原理教学中, 教材[2 ]对再生放大器的增益, 只讲可利用物理光学中的多光束干涉 的方法来求其增益并给出了增益的表达式. 但限于篇幅, 并未给出推导过程. 有不少同学对 此存有疑惑, 笔者在此利用复振幅法给出增益表达式的详细推导过程, 以解答学生的疑惑, 促进他们对该问题的理解和掌握, 同时作为现有教材的一点补充. 2 基本问题 图1 表示再生放大器的示意图. l为放大器的长度, R 1 和R 2 分别为两个端面的功率反射 系数, 用 T 1 和 T 2 代表它们的功率透射系数. 设腔镜无其它损耗, 则R 1 + T 1 = R 2 + T 2 = 1. P 0 (I 0) 是入射放大器的信号光功率(光强) , P (l) [ I (l) ] 是经过放大器后被放大的信号光功 率(光强) , 则放大器的增益可定义为
期 杜戈果 在再生放大器增益研究中的应用 图1再生放大器示意图 G L(n P(n (4) 考虑信号光在增益介质中传输一次所获得的光强增益,由图示可得 _丘 现在就是要求放大器的增益G 3求解方法 设Eo为入射信号光电矢量的复振幅,并假定入射光是线偏振的,入射信号光频率为v 每相邻两次从端面2透射出去的透射光之间由光程差引起的位相差为端面1的反射振幅 比为r1,透射振幅比为t;端面2的反射振幅比为n,透射振幅比为t有了这几个参数,可以 写出信号光在腔内每完成一次往返经端面2透射的各透射光的复振幅,具体表达式为 Ei= Eot N gst E= Eot,1 Gn N Gni G. he Eot, N G, hrurGe 8 E3= Eon,i G,r2v G,ni GnN G,n Ghe 26= Eon, G,h(rinG,2e 2 E4= Eon,4 G,l2(rinG,)'e Gs为光强增益,故信号光每经过一次工作物质所获得的振幅增益为G 透射光束各复振幅之和为 E,=En1G,n[+mGe6+(nG)eab+(mnG)'e“6+… 括号内是一个无穷几何级数(等比级数),其首项为1,公比为nnGe因此有 透射光强度 I(=E(E, °1-r1r2Ge e 1- rr Gs(e+e) 振幅反射系数与功率(光强)反射系数的关系为R1=n,R2=n(振幅透射系数与功率 (光强)透射系数的关系为T1=i,T2=h)利用R1+T1=1、R2+T2=1以及数学公式 e+e=20s1cs=2sn2(6/2),将式(9)简化为 201994-2009cHinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp:/hnnw.cnki.ner
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图1 再生放大器示意图 G = I (l) I 0 = P (l) P 0 (4) 考虑信号光在增益介质中传输一次所获得的光强增益, 由图示可得 Gs = I + 2 I + 1 = I - 1 I - 2 (5) 现在就是要求放大器的增益G. 3 求解方法 设 E 0 为入射信号光电矢量的复振幅, 并假定入射光是线偏振的, 入射信号光频率为 Μ, 每相邻两次从端面 2 透射出去的透射光之间由光程差引起的位相差为 ∆, 端面 1 的反射振幅 比为 r1, 透射振幅比为 t1; 端面 2 的反射振幅比为 r2, 透射振幅比为 t2. 有了这几个参数, 可以 写出信号光在腔内每完成一次往返经端面 2 透射的各透射光的复振幅, 具体表达式为: E t 1 = E 0 t1 Gs t2 E t 2 = E 0 t1 Gs r2 Gs r1 Gs t2e - i∆ = E 0 t1 Gs t2 r1 r2Gse - i∆ E t 3 = E 0 t1 Gs r2 Gs r1 Gs r2 Gs r1 Gs t2e - i2∆ = E 0 t1 Gs t2 (r1 r2Gs) 2 e - i2∆ E t 4 = E 0 t1 Gs t2 (r1 r2Gs) 3 e - i3∆ …… (6) Gs 为光强增益, 故信号光每经过一次工作物质所获得的振幅增益为 Gs. 透射光束各复振幅之和为 E t = E 0 t1 Gs t2 [ 1 + r1 r2Gse - i∆ + (r1 r2Gs) 2 e - i2∆ + (r1 r2Gs) 3 e - i3∆ + …] (7) 括号内是一个无穷几何级数(等比级数) , 其首项为1, 公比为 r1 r2Gse - i∆ . 因此有 E t = E 0 t1 Gs t2 1 - r1 r2Gse - i∆ (8) 透射光强度 I (l) = E t (E t) 3 = E 0 t1 Gs t2 1- r1 r2Gse - i∆· E 0 t1 Gs t2 1- r1 r2Gse i∆= E 2 0 t 2 1 t 2 2Gs 1- r1 r2Gs (e - i∆ + e i∆ ) + (r1 r2Gs) 2 (9) 振幅反射系数与功率(光强) 反射系数的关系为R 1 = r 2 1, R 2 = r 2 2. (振幅透射系数与功率 (光强) 透射系数的关系为 T 1 = t 2 1, T 2 = t 2 2. ) 利用R 1 + T 1 = 1、R 2 + T 2 = 1 以及数学公式 e i∆ + e - i∆ = 2co s ∆、1 - co s ∆= 2sin 2 (∆ö2) , 将式(9) 简化为 11 期 杜戈果: 复振幅法在再生放大器增益研究中的应用 261
数学的实践与认识 ( (- Rn(L- RG.o (10) RIR 2G3)-+ 4 RiR2GsSin 其中,l0=E3 般情况下,信号光垂直入射、出射放大器端面,故不存在由角度引起的位相差另一方 面,由激光原理中无源谐振腔的理论得知,能在腔内往返振荡的光必然满足腔的谐振条件, 设v为由两反射面组成的谐振腔的谐振频率,则由于信号光频率ν偏离谐振频率所引起的 往返一次的位相差为 6=2m=2my)b=纽(-) 其中U表示信号光在放大器中的传播速度将式(11)代入式(10),由放大器增益的定义可得 (1-R1)(1-R2)G (12) (1-YRRG)+ 4NRR2G,sin 2m (v. wI 此即再生放大器增益的表达式与教材中式(613)-致只是教材中用rn来表示端面的反射率 小结 用复振幅法并参考物理光学中多光束干涉的处理方法推导了再生放大器增益的表达 式,旨在让学生对该问题有深入的了解一般来说,安排学习“激光原理”的学生是大学三年 级的学生严格来讲,已具备高等数学知识的他们应该能够自行推导出该公式故在教学中, 我们先安排学生自己推导,然后教师再讲解,得到了好的学习效果 参考文献 [1]廖延彪股惠琦物理光学M↓清华大学无线电系(现电子工程系)自编教材,1991 [2]周炳琨,高以智,陈倜嵘等编著激光原理M国防工业出版社,2004年8月第5版 D iscuss ion of Ga inin Regenera tion Am plif ier with Com plex Am plitude method DU Ge-guo ( Co llege of E lectron ics Science and Techno bgy, Shenzhen U niversity, Shenzhen 518060,China Abstract This is an examp le which uses m athem atical method, say, the comp lex to so lve a problem in the course-Princp le of laser.A detailed deduction about gain in a regeneratin am p lif er was presented using the comp lex am p litude method and the multibeam nterference ethod This is helpful to college students comprehension and also as a helpful supp lem entary for the teach ng m aterial Keywords the comp lex amp litude, multibeam interference, regeneration amplifier, gain, prep le of laser 201994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/nncnkiner
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net I (l) = (1 - R 1) (1 - R 2)GsI 0 (1 - R 1R 2Gs) 2 + 4 R 1R 2Gssin 2 ∆ 2 (10) 其中, I 0 = E 2 0. 一般情况下, 信号光垂直入射、出射放大器端面, 故不存在由角度引起的位相差. 另一方 面, 由激光原理中无源谐振腔的理论得知, 能在腔内往返振荡的光必然满足腔的谐振条件, 设 Μc 为由两反射面组成的谐振腔的谐振频率, 则由于信号光频率 Μ偏离谐振频率所引起的 往返一次的位相差为 ∆= 2Π∃Μt = 2Π(Μ- Μc) 2l Τ = 4Πl Τ (Μ- Μc) (11) 其中 Τ表示信号光在放大器中的传播速度. 将式(11) 代入式(10) , 由放大器增益的定义可得 G = I (l) I 0 = (1 - R 1) (1 - R 2)Gs (1 - R 1R 2Gs) 2 + 4 R 1R 2Gssin 2 2Πl Τ (Μ- Μc) (12) 此即再生放大器增益的表达式, 与教材中式(6. 1. 3) 一致, 只是教材中用 r 1、r2 来表示端面的反射率. 4 小 结 用复振幅法并参考物理光学中多光束干涉的处理方法推导了再生放大器增益的表达 式, 旨在让学生对该问题有深入的了解. 一般来说, 安排学习“激光原理”的学生是大学三年 级的学生. 严格来讲, 已具备高等数学知识的他们应该能够自行推导出该公式. 故在教学中, 我们先安排学生自己推导, 然后教师再讲解, 得到了好的学习效果. 参考文献: [ 1 ] 廖延彪, 殷惠琦. 物理光学[M ]. 清华大学无线电系(现电子工程系) 自编教材, 1991. [ 2 ] 周炳琨, 高以智, 陈倜嵘等编著. 激光原理[M ]. 国防工业出版社, 2004 年8 月第5 版. D iscussion of Ga in in Regeneration Amplif ier with Complex Amplitude M ethod DU Ge2guo (Co llege of Electronics Science and Techno logy, Shenzhen U niversity, Shenzhen 518060, Ch ina) Abstract: Th is is an examp le w h ich uses m athem atical m ethod, say, the comp lex to so lve a p roblem in the course2″P rincip le of laser″. A detailed deduction about gain in a regeneration amp lifier w as p resented using the comp lex amp litude m ethod and the m ulti2beam interference m ethod. Th is is helpful to co llege students′comp rehension and also as a helpful supp lem entary fo r the teach ing m aterial. Keywords: the comp lex amp litude; m ulti2beam interference; regeneration amp lifier; gain; p rincip le of laser 262 数 学 的 实 践 与 认 识 36 卷