1991年9月 西安电子科技大学学报 Sep 1991 第l8卷第3期 JOURNAL OF XIDIAN UNIVERSITY VoL1& No 光学谐振腔中光束的完备态与自再现波型 高致慧安毓英 (技术物理系) 摘要本文用光学传翰矩阵理论給出了光学谐振腔中光束的本征态与宄备 态,分析给出了在菲涅耳数NF足够大时光腔光束的特征与完备描述,讨论了在 各种光学谐振腔中的自再现波型.从理论上给出了描述光腔基模特性的统一处理 方法 关键词:光学谐振腔;本征态,完备态;自再现波型 1引言 兆学谐振腔的光性是激光理论的重要内容之一,它的研究直接关系到激光技术与 激光器件的设计。在现有的光学诺振腔理论中,往往仅给出光腔在某一镜面上光束的某 本征态,没有给出光腔光束特性的统一完备的描述。本文尝试用光学传输矩阵理论导出光 腔的本征态与完备态,研究各种本征态下光束的传播特性,通过完备态的分析给出了光腔 的白两现模所州应的白再现波型。从而讨论了各种类型光腔的基本特征,通过对光腔本征 态与完备态的分析给出了描述光腔光東特性的统一的处理方法,在NP足够大,即忽略衍 射效应的条件下,该方法较好地描述了光腔的基模特性,且简洁明了,其研究结论与文 献,2的结论是一致的。在非稳腔中,本文提出光腔的自再现波型是完备态中的两个本 征态的光束的迭加.直接导出了非稳腔的光束特征,这与文献中仅以一个本征态对应 的光束作为非稳腔的白再现波型是不同的.在文献3中还须以几何光学的物象关系给出 附加解才能描述非稳腔的特征,这是出于略去了完备态中的一个本征态而造成的, 2光腔的本征态与完备态 在忽略衍射效应,或菲涅耳数NP足够大吋,由传输光学理论,光腔内任一横截面上 的任一光线可由一列矢。来描述,r表示光线与z轴(儿轴)的距离,0表示光线与z 轴的夹角。规定光线出射方向在z轴的上方时,0>0;光线出射方向在z轴的下方时, 本文于19898月8收到
l991年 9月 第 18卷 第 3期 西 安 电 子 科 技 大 学 学 报 JOU RN AL OF XIDIAN U NIVERSITY 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现 波型 高致 慧 安毓荚 (技术物理系) $cp_1991 VO1．1S N O 3 摘 要 本 文用 光 学传 输 矩阵理论 蛤 出了光 学谐 振腔 中光束 的本征 态 与完备 态，分析蛤 出了在 菲 涅耳敷 ^ 足 够 是时光腔 光束的特征 与完备描述 ．讨 论 了在 各种 光学谐振腔 中的 自再 现波型 ．从理论上给 出了描述 光腔基模 特性 的统一 处理 方 法 。 关键词 ：光学谐振腔 ；本征态 ；完 备态； 自再现波型 光兰堕堡竺 赫l丑逞邀堂墨笙 重要立曼 一，它的研究直接戈系到激光技术与 激光 器件的 设汁．存现有的光学谐振腔理论 中，往往仅给 j光腔 在某 一镜 面上光束舳柴 一 本征态，没有给 …光 腔光 特性 的统一 完备的描述 ．本文尝试用 光学 传输 矩阵理论导 fll光 腔的本征态 与完 箭态．研究各种本征态 下光求的传搔特性．通过 完备态的分析给 出了光腔 的 [I再现摸所 l牛闩应的 亡I再现波型 ．从而讨 论了各种类型光腔 的基 本特征。通过对光腔木征 态与完 备态的分析 给 {jj了描述光腔光束 特性 的统一 的处理 方法 ．存 ^ 足够大 。 即忽 略衍 射效应 的 条件 F，谈 方法 较好地 描述 了光腔 的基模 特性 ，且简 洁 明了 ．其 研究结 论与文 献 “ 的结论是 一致 的。在非 稳腔中，本文提 出光 腔 的 臼再 现波 是完备 态中 的两个本 征态的光束 的迭加 ．直 接导j；了非 稳腔的光束 特征。这与文献 “ 中仅 以一个 本征态 对应 的光束 作为非稳腔 的 [I再现波型是 不 d的．在文 献 。 中还须 以几何光学 的物象荚系给 !IJ 附加 解 ‘能描述 非稳腔的特征．这是 由于略去 了完备态 中的一个卒 征态而造成 的． 2 光腔的本 态与完备态 在忽略 衍射效应 ，或 菲涅耳数 ^r，足够大时 ， 由传输光学 理论，光腔 内任一横截 面上 的 轴 任 的 一 夹 光 角 线 ． 可 规 由 定 一 光 列 线 久 射 [ 方 ：] 『 来 在 描：述 轴 。 的 r 上 表 方 示 时 光线，与 D> z 0 轴：光 c光 线 轴…射 的 方 距 向 离 在-：。 轴 表 的 示 下 光 方 线 时 与，： 本 文 】1989年8月8【lI5(到 维普资讯 http://www.cqvip.com
西安电子科技大学学报 第3期 0<0.光线。在腔内往返一周相应的列矢量为 L0" T是光线在腔内往返一周相应的变换矩阵或称往返矩阵,A、B、C、D为二阶往返矩阵T 的矩阵元素。 如果腔内光束存在本征态,则矩阵T作用于该本征矢量应等于某一常数值乘以该本 征矢量即有本征值方程 0为光学的木方刚[门P满足木板力附的木征交成称本板态,为本征力程 的本征值 若(3)式成立,与(1)联立,表明光束在腔内往返一周而分布特性不发生变化,只是按 比例变化一常数因子k,由再现模式的定义(,本征 是光腔的一个再现本征 模式 求解矩阵方程(3)式,移项得 (4) 将(2代人得 A-k (5) CD-k儿0 要使(5)中的木征向级有非零解,则其对应的矩阵行列式必须为零,有 0」 展开求解得本征值为 k,=1(A+D)+zY(A+D)2-4 (7) k2=2(4+D) 1√(A+D) 求解屮运爪了光线矩阵的性质4D-BC=1.将本征值k:代入(S求得本征欠,有 0
· 70 · 西安电子科技大学学报 第 3期 ． 光 …一……阴 有 [ r[ lA l r=lcDI (2) r是光线 在腔 内往返一 周相应 的变换矩 阵或 称往返矩 阵，A、 C D 为二 阶往返 矩阵 r 的矩 阵元 素． 如果 腔 内光束 存在本 征态 。则 矩阵 r作用于 该本 征矢 量应等 于某一 常数 值乘 以该本 征矢 量 印有本 征值方程 ． r [ ：] c 的 ， 本 式 征 为 f 光 i_【．学谐振腔的本征方程．[：]为满足本征方程的术征矢或称本征态．为本征方程 若 (3)式 成立， 与(1)联立 ，表 明光束 在腔 内往返 一周 而分 布特性 不 发生变 化， 只是 按 模 比例 式 变． 化一常数困讹由蒋现模式的定 。本征矢[是光腔的一个口再现本征 求解矩 阵方张(3)式 ，移项 得 棚一 。+ ㈤ [ 。 ：]=0 ㈣ 要使cs，中的本征向量[非零解，则其对应的矩阵行列式必须为零，有 Jc。D：一l-刮0 ㈣ 展开求 解得本征位 为 ： (+D)+ ] ； 』 求解中运用了光线矩阵的性质一D_c=．将术征位。代人cs求得本征父[：]．。有 维普资讯 http://www.cqvip.com
1991 学谐振腔中光束的完备态与自再现波型 71 C k.一D 其中 B k,-D 所以本征态为满足0=r/q1的所有光线所组成的光束,本征态可描述为 对应于本征值k2,求得本征矢为 有 k一D 其中 q1、q2描述了由某一点源发出的光到达参考面上的波而的曲率半径.在近轴区域也就是点 源距参考面的距离,q>0表示发光点在参考面rP的左边;q0,凸面镜图1份轴光线在光腔中的传播 R<0,在z点处作一参考横截面rp,一份轴光线在P而上的列矢量刈p见图1 由r出发在腔内往返一周的往返矩阵为T 云→x,Tx,n t十 L 2 2
1991 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现波型 ·7t · = 竿 ，一南 ， = 其中 = 所 以本 征态 为满足 0=r／q。的所 有光 线所 组成 的光束 ．本 征态可描述为 啦 ～ … … 有 (8) (9) (】0) … 舯 南 = m 、 2 描述 了由某一点源发出的光到达参考丽上的波面的曲率半径．在近轴区域也就是点 源距参 考面的距离 ． >0表示发光 点在参考面 的左边 ： 0， 凸 丽 镜 — — 一 — — — 圈 I 仿轴光线伍光腔中的传播 。，在z点赴作一参考横截面 一傍轴光线在而上的列矢量为[：]见图． [：]由，一出发在腔内往返一周的往返矩阵为r _ m ． ¨ ● }： ， ： 一 v— 儿一 ， ： 一 r= ¨lI 一 维普资讯 http://www.cqvip.com
72 西安电了科技大学学报 第3期 式中T表示光束经曲*半径为R的反射镜的反射矩阵 T表示光束经长为L的均匀介质屮的传播矩阵 H(13)得知阵元素为 2 B-(-){[1-2(+)[1-2.l]-2(+) 1-2(左+2)+(+x (14) 2 2 H(14)式叮求得光腔的本征值与本征态住江一截面上的表达式,根据本征值k、k2的取值 不同,光腔叮以分为三种情况 1.k为两根k1=k2=2(4+D) 对应,A+D|=1 (15) 2k为两共轭复根k一k2(k2=k) 刈应」A+D|1 (17) (15)、(16}、(17)式分别对应」光学谐振腔的临界腔,稳定腔与非稳定腔,因此本征值 的三种取值情况对应了光腔的三大类型。出此叮以看到对于完备态屮本征态与本征值的分 析可以求得任一光腔中优一横截而上共振模的自再现波型 3光腔共振模的再现波型 按本征值的不同分三类进行讨论 31临界腔|A+D1
· 72 · 西安电于科技大学学搬 第 3斟 式 中 裘示光求 经曲率 、衽 为 R 的反射 镜的反射矩阵 表示光 经长 为 的均匀 介质 中的传播矩阵。 小(13)得知 阵元索 为 一 I1-寿(+=)lI一寿L]一寿[+：] (一z){[一云(+：)][一2]一寿(+z)) + I1- (+z)]+(L+=) c=一寿(一2)一2 = (拿一zIE-2(一2)一2]+(1-2) (14) 山(14)式 ·-』求得 光腔 的本 征f1．【与本征 态在 仟一 截而上的 达式 ．根据 本征伍 k、 的取fi：【 不同．光腔 ”f以分 为三种情 况 ' 1一 为 两露根 kf= k2一 +D) 1 对应 ，： =1lA+Dl= 1 (15) ‘ 2．女为两共轭 复根 k 一k 忙 kI) ' 对应 JA+Dl1 (17) 05)，(16)、(17)式分 别对应 J：光 学谐 振腔 的临 界腔，稳定腔 与非稳 定腔 ．冈此木征伍 的三种取价情况对应了光腔的三太类剐．山此可以看到对于完备态中本征卷与本征伍的分 析可 以求得 任一 光腔 中ft一横 截而上共振模的 白再现波 础． 3 匕腔共振模 的 白再现波型 按本 征缸的不 嗣分 三类 进行讨论 3．1临界腔 I 十Dl一 1 维普资讯 http://www.cqvip.com
1991 光学诺振腔中光束的完备态与自再现波型 73 k2=k=亏(A+D) +D)-D 41=qx=4=C (18) B 2B 或 本征态为 因为k为两重实根,完备态中的两个本征态是相同的.所以临界腔的自再现波型就是由 本征态(19)来描述,它表示任一截面上的自再现波型是由距z点q处作为点光源发出的球 面波型。 z点处波型的等相位面曲率半径为q,具体讨论如下: (1)平行平面腔R1=R2=∝ 将R代人(14)式得 c D 01 2B D一A 往返矩阵与z无关,q=∞与z无关。表明光腔内任一横截而上的等相位面柑同,均 为平面光波,曲*中心在无穷远处.即平行平而腔的自再现波型为平面光波。在忽略衍射 效应或菲涅耳数N足够大时,这一结论是正确的;与文献③是一致的 (2)共心腔R+R2=L 考虑一对称共心腔,R1=R2=R=L/2,代人(14)式得 (-)[-3+8( +z)+L (22) 8 (会--3 +3 由(18)式 = Z (23) 往返矩阵氵z有关,q与z有关,由图2可见 (1)z=0,q=0,笄相位而曲率半径为苓,曲率中心原心0处
1991 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现波型 ·73 · 七，= 七：一 七= ( + D) k-D +D)一D 一 D ql gz q — ～ ————云—一 一—互 一 或 一 一 (18) 因为 为两重实根，完备态 m 中的两 蜘 个本征 心 态是相同 阴 的．所以临界腔的 自再现波型就是由 本 征态(19)来描 述 ，它 表示任一 截面上 的 自再现波 型是 由距 z点 q处作 为点光源 发 出的球 z点处 波型的等相位而 曲率半 径为 ，具 体讨 论如下 ： (1)平行平 面腔 R1=R2=。。 将 R代人(14)式得 ： [ ： ] czo fld(18) ； = ∞ (20 往返矩阵与 z无关， =o。与 z无关．表咧光腔内任一横截面上的等相位面柑同，均 为平面光波 ，曲率 中心 在无 穷远 处．即平行平面腔的 臼再 现渡型为平面 光波．在忽略衍射 效应或菲涅耳数 Ⅳ，足 够大 时，这一结论是正 确的；与文献 。 是一致 的． (2)共 心腔 Rl+ 2；L 考虑一 对称共 心 腔，R。；R2；R=L／2 ，代人(14)式得 = 一 ，+8(+z) 由(18)式 g 一D 一3i8lLz)一(一z)+，一 往返矩 阵 。z有 ， 与 z有戈 ， 由圈 2可 见． (1)z=0， =0，等 椭位 而曲率 半径为零， 曲率中心 ：原心 0处 ． (22) (23) + 一2 3 一 、 L + L 一2 8 一L 3．一． 3 一 [、Z一， 8、 一Z，一L 一2 一2 ， l＼l 8 一IlL ，●Il 打 C D 维普资讯 http://www.cqvip.com
74· 西安电子科技大学学报 第3期 (2)z=L/2,q=L/2,等相位面的曲*半径为 L/2,曲率中心距z=L/2而的距离为L/2,在参考 而(z=L/2处)的左边,即原心0处 (3)z=-L/2,q=-L/2,等相位面的曲*半径 为L/2,曲率屮心在参考而(x=-L/2处)的右边,即 原心0处 表明共心腔有一会聚点以z2=0),腔内任一截而的 图2共心腔的球而波型 等相位而是由该点(即0点)为曲率中心的相应的球而波传播到z的球而波型,曲率半径 R=|z,对于非对称共心腔,会聚点P不会在原点0处 ≠0 L R或 R 任一点z处的等相位面的曲*半径为R=z-z,因此一般共心腔的口再现波型为出 共心腔的腔心p点处发的球面波型 与平行平面腔类似,在不考虑衍射效应下或NF足够大时,这一结论悬正确的.(21) 与(23)式较好的描述了腔的基模特性 32稳定腔引A+D|<1a k1k为一对共轭复根,k"=k2(k2=k) }(4+D)+1V(A+D)2-4=1 2(4+D)+24-(A+D) k2-(A+D)-1(4+D)2-4-1 2(4+D)-2Y4-(A+D h,=亏(A+D) (A+ (26 h. +ih (27) a h q1、q2对应着复数曲率半径,相应的本征矢 0 般近轴球而波的场分布为 式中P2=x2+y2,K为波矢,R为球面波的曲率半径或称等相位而的曲*半径.将复数曲 牛径与8日8定账中本14]所州这的场分为
·74 · 西安电子科技大学学报 第 3期 (2)： ／2， =L／2。 等 相 位 面 的 曲率 半 径 为 L／2· 曲率 中心距 ：=￡／2面的距 离 为 ／2．在参考 而 =L／2处 )的左 边 ． 即原 心 0处 ． (3)： 一L／2· 口=一L／2． 等 相 位 面 的 曲率半 衽 为 L／2，曲率中心在参考而0=一L／2处)的右边．即 原心 0处 ． 表 明共 心艘有 一会 聚点 =0)'腔 内任～截 面的 2 共心脏的球而泼 等相位 而是 由该 血 (即 0点 )为 曲率 中心的相 应的球 而波传播到 ：的球而波型 ． 曲率 径 对于非对称共 心腔，会 聚点 P不会在原点 0处 ． ， ， ≠ 0 ：， 一 等一 2或 ：，一 】一等 (24) 任一点 2处 的等相位面的曲率半径为 =Iz-zJ，因此一般共心腔的 [J再现波型为由 共心腔 的腔心 P点处发的球而 波型 ． ． 与_甲行 面腔类似·在不考虑衍射效应下或 NF足够太时．这一结沦是 n确的． (21) 与(23)式 较好 的描述 了腔 的基 模特性 ． 3·2 稳定腔 J +DI<l I 七】为一xt共现复根 ． = ( = ) j1(+。)+ √ _= r二 = (+。)+ √_=_ ] ：一(+。)一、『 == +。)一 二iI f 令 ( ^一 而 则 ：l 对应着复数曲率半径，相应的卒征矢为[]l、[：1． 嘶 ：鲁一J+妄) f25) r26) (27) (28) 一 般近轴球 而波的场分布为 式中，= +，， 为波矢． 为球面波的曲率半径或称等相位而的曲率 径． 率半径-与钆簧换，得稳定腔中本征态[]，与[l所末H应的场分机为 (29) 特 复数 曲 罕 ． 一 ．一 得 维普资讯 http://www.cqvip.com
199L 光学谐振腔屮光束的完备态与自再现波型 75 E,y)-2a[-k(x+2·)+k·2 z十 任一截面上的场分石为两个波场的迭加,得 E(x,, z)=a, E(x,, z)+a2E2 x,y,z) a、a2为比例系数,H边界条件 limF(x,y,x)=0解得a,=0 这说明只有k2=h-沥2才是物理解.令E=E2 则E(x,y,z)=E ∞-k(x+·'n")] iK[z K B 假定光腔为对称腔,R1=R2=R>5,代人(14)式,再代入(26)及(32)式,并令 o-(1+())2 2R (2R-L) 得E(x,y,z) iK(z+ 2R(z) 式中E为常数因子,指数项的第一部分長示自再现模场分布的振幅分布,(z)示z处的 光斑半径,即当径向距离r等于c(z)时,场的振幅值下降到r=0处(轴线处)的1/c 而折数项的第二部分長示自两现模场分布的相位特性,与(29)类比,得等相位面的曲率半 径为R(x),(34)式就是熟知的基模高斯光的一般形式 从(33)可以肴出稳定腔的等相位而的曲*屮心与曲*半径是随z不断交化的,不是固 定的,这与临界腔是不同的.后者的曲率屮心与z无关,是固定的,(3)、(34)式描述了 基糗高斯光束的特性,長明当Nr足够大或忽略衍射损耗吋,稳定腔屮共振模的自再现波 型是一高斯光東,这与文献是吻合的
199l 光学谐振腔中光荣的完备态与 自再现波 ·75 · “ z一 cx[一(z+孚·一hI-A)+ ·] 一 鲁唧[ (z+孚·一hI-A)一 ·] fE一截面上的场分和为f睁个波场的迭加，得 (30) E(x，，z)=alEl(x，，z)+a2E ， ) (31) a。、a：为 比例系数 ， |}{边 界条 件 lira R(x，y，z)=0 解 得口。= 0 z ． _ - 一 这说明H有 ：=ht-／h：才是物理解．令矗=即 ： 则 ：士cx[一，(：+孚．h1-A)]．ex[一 ．．] 一 ( 一 )．cx-iK(+ ． )]．cx[一 ．．] 假 定光 腔为x,t称腔 。 。= 2= > ，代 人(14)式 ，再 代人(26)及(32)式 ，并令 肫 (一+()) 一 。 (t+( ) )…ct() [￡一 ]：L(2R-L (33) 得瞰， 南 …p1_一 J…p【 (z+南 ) )J o) 式 中 E为常数 因子 ，指 数项的第一都分 示 亡I再 现模 场分 布的振幅分扣 ，to(z)表示 z处 的 光斑 半径 ， 即 当径 向距 离 ，等于 to(z)l~，场 的振 幅缸下 降到 r=0处 (轴线处 ) 的 1／P． 而指数 项 的第二 部分 示 自再现 摸场分布的 相位 特性 ．与(29)类 比。得等枷位 而 的曲率半 径为 月(z)，(34)式 就是熟 知的基模 高斯光求 的一般形 式 ． 从(33)可以再 Jj{稳定 腔的等相位 而 的曲率 中心 与 曲率 半径是 随 z不断 变化 的。不是 同 定的，这与临界腔是 的．后者的曲半中心与 z无哭，是同定的．(33)．(34)式描述了 基模 高斯光求的特性 ，丧叫当 ^r，足够大或忽略,liLq．J拟耗时。稳定腔中共振模的臼再现渡 型是一 高斯光束 ．这与文献 … 是吻合 的． 维普资讯 http://www.cqvip.com
·76 西安电子科技大学学报 第3期 33非稳腔A+D|>1 k2为两不等的实根,k≠k2在()中 令A,2 (4+D)h,=2Y(A+D) (35) 则 (36) k2 D D h-d h k、k2均为实数,因而q1、q2均为实数,相应的本征态为 [ 对应了两个球面波本征 描述的球面波的曲率中心距参考面rp为 1,在参考面上等相位面的曲率半径为q1.本征态。描述的球而波的曲率中心距参考 而r为 「2 在参考而rp上等相位面的曲径为 对应的曲率中心为 应的曲率中心为p2,即在非稳腔中存在着两 个点P1和p2,对应着完备态中的两个本征 M(R, 态,它在任一点z处横截面上的等相位面的曲 率半径由q1和q2确定。非稳腔的自再现波型 是由P1与P2点为曲率中心的相应的球面波在 任一截而上的达加(出于P和n2相对腔镜来 说互为源和象,许多文献称之为共轭象点) 这与文献〔3不同,文献(3略去一个本征 图3非稳腔的自再现波型 态,仅以一个本征态来描述光腔的自再现波型.由上面的分析表明k1和k2均为光腔的木 征值 均为光腔的木征态,腔内任一截而的自再现波型是这两个木征态的 波型的迭加 下而给出(37)的具体表述 设非稳腔为双凸腔,R1<0,R2<0,有
· 76 · 西安电子科技大学学报 第 3期 3·3非稳腔 IA +DI>l 为两不等的实根，ki~／=k2，在(7)中 令 ( +D) 则 ： ： 雨一 丁 = 丁 + 1l z— D ^ — D ^3 } (35) () ■ 、 均为实数，因而 均为实数，相应的本征态为[]=[]， [：]：=[]'对应了两个球面波本征态[：]i描述的球面波的曲率中心距参考面 在 参考面 上等 相位面 的 曲率半 径为 -．本 征态[：1描述的球面波的曲率中心距参考 面为在参考面上等相位面的曲径为[：]l对应的曲毕中心为[lt 个 点 P 和 ， 对 应 着 完 备 态 中 的 两个 本 征 态．它 在任一 点 ：处 横截面上 的等相位面 的 曲 率半 径 由 g，和 q2确定 ．非稳 腔的 臼再现 波型 是 由 P】与 p2点 为曲 率中心 的相应的球面 波在 任一截 面上 的迭加 (由于 P．和 P2相对腔镜来 说互 为 源和 象 ， i1：多 文 献 称之 为共 轭 象 点)． 这 与 文 献 0 不 同 ． 文献 0 略 去 一 个 本 征 态 ，仅 以一个本 征态来 描述光 腔的 自再现波型 ． r _ 1 ) ’ 村 、 。 ，^一一 — J 例 3 非稳 舵的 口 现波 型 由上 面的分 析表明 和 2均 为光 腔的本 征位．[：]和[：]】均为光腔的本征态．腔内任一截而的臼再现波是这两个本征态的 波型 的迭加 ． 下 面给 出(37)的具体 述 设非 稳腔 为双凸腔，R <0，Rz<0，有 维普资讯 http://www.cqvip.com
光学诺振腔中光束的完备态与自再现波型 (2-)[(1-2(+2)(1-2.)-2(+) (38) 2 -足2(1-2)-2.]+(1-2.) 把(38)代人(35),再代入(37,得 (R,-R L(L-R1)(L-R2)(L-R1-R 2L-R-R -R1-R (39) 2(R1-R2)√以(L-R,NL-R2XL-R,-R2) 2L-R-R 2L-R 设p1点与P2点的距离为H L(L-R1)L-R2)(L-R,-R2) (2L R P1点与腔镜M1的距离为l1 √L(L一R1)L-R2L-k1-R2)-L(L-R2 (2L (41) 2点与腔镜M2的距离为l1 VL(L-R(L-R,L-R,-R,)-L(L-R,) (2L-R 4(大于零,表示P点(2点)在腔镜M1(M2)的左边。1(2)小于零,表示D点(2 点)在腔镜M1(M2)的右边,从(40)~(42)可见,H、l1、l与z无关,当非稳腔的腔体参 数R1、R2及L确定后,则H、l、l就唯一的确定,表明非稳腔存在着一对点波源p1与 乃·点波源的位置是确定的,即两曲率中心的位置是确定的,与参考面z的选取无关,p1 与P2点之间的距离以及与腔镜的相对距离仅与腔体的结构参数R1、R2、L有关,与参考 面rp的选取无关。这与稳定腔中等相位面的曲率中心随z的变化而变化是不同的 (38)~(42)式适用于一般的非稳腔,具体讨论如下 (1)双称双凸腔R1=R2=R<0,有
199l 光学谐 振腔 中光束的完备态与 白再现波 ·77 · = [1_丢(导+z)][t一丢 = (鲁一z)[(t一2(鲁+z)) + (t一 (+z))十( c—一丢(-一2)一2 D=(鲁一z)[一丢(-一丢 )一 一 i(g。一g2) ～ 一 i(g一：)一 设 P 点与 P2点 的距离 为 H H — q 1一 q2= n点与 腔镜 M 的距离 为 ，l 2 L + z)] 丢]+(t—2) 兰兰二!!±二! 二!!二 1 2L — R 1一 R 2 兰兰二!!!!二!!!±二!!二!1 2L — R l— R 2 L(L —R1)( 一 R：)(￡一 R1一 R2) (2L— R1一 R2) ， =ql一(鲁+z)= Pz点与腔镜 M 2的距 离为 12 I2~q2+(鲁一z)一一 L(L— R 1)( — R：)( — Rl— R2)一 ( —R：) ． (2己一 R1一 R2) (38) (39) (40) (41) 二竺[ 二 二 (42) (2L一R ．一R ) 一 ^(D大于零，表示 P。点 ( 点)在腔镜 M。( 2)的左边．^()小于零，表示 点 ( 点)在 腔镜 M 似 2)的右边．从(40)-(42)可见 ， 、^、 与 z无戈 ， 当非稳腔 的腔体参 数 R．、R2及 ￡确 定后，则 fl’ 就 唯一的 确定 。表 明非稳腔存 在着 -x~点 波源 P。与 ． 点 波源 的位置是 确定 的 ，即两 曲率 中心 的位 置是 确定 的， 与参考 面 z的选取无 关．P． 与 P2点之 问的距离 以及与 腔镜 的相 对距离仅 与腔体 的结构参数 R．、R ．L有 关 ，与 参考 面 的选取 无关 ．这与稳定 腔中等相 位面的 曲率 中心 随 z的变化而变化是不同 的． (38)-(42)式适用 于一般的非稳腔 ，具 体讨 论如下． ． (1)双称双 凸腔 R．=R，=R<O，有 一 一 z 1 ● 』 ， ● 一 L 维普资讯 http://www.cqvip.com
西安电子科技大学学报 第3期 √L(L+2|R|) q,=z-1√L(L+2RD H=√L(L+2|RD L(L+2RD-L) P1点在M1的左边,P2点在M2的右边。团=间距相同,这与腔体结构的对称性是 致的 2)非对称双凸腔R10,R2>0,R1+R20 表明点波源p1与P2都在腔镜的内部 上面的讨论表明非稳腔中共振模的自再现波型是由两定点P1和n2为曲率中心的相应 的两球面波的迭加,该自再现波型给出了非稳腔的基模特性,这一结论与文献(2)是一致 的 在光学诺振腔中,由光的传输矩阵理论可以求得光腔的本征值与本征态,光腔中所有 本征态的集合构成了光腔的完备态。任一光腔共振模的自再现波型是完备态中本征态的迭 加。由此可以分析任一光学诸振腔中任一截面上光束的基模特性,在忽略衍射效应或菲涅 耳数M足够大时,其硏究结论是足够精确的 参考文慧 C1) JT Verdegen, Lascr Electronics. Englewood Cliffs, U.S.A.,1981 〔2)魏光辉等.激光束光学.北京工业学院出版社,1988 〔3)方洪烈著.光学谐扳腔.科学出版社,1981 〔4)周炳琨等.激光原理.国防工业出版社,1984
· 78 · 西安电子科技大学学报 第 3期 P1点在 1的左边 ， 一 致 的 ． (2)非对称双 凸腔 ==+ 可 = = 一 H = ．= ( 丽 一工) 2= 一 ，1 (43) 点在 M2的右边 ．I，lj： 问距相 同， 这与腔体结构 的对称性是 R10 ，20，R2>0，R1+R2 0 表 明点 波源 P 与 P2都在 腔镜 的 内部． 上 面的讨论表 明非稳 腔中共振模 的 自再现 波型是 由两定点 Pl和 P2为 曲率 中心的相应 的两球 面波 的迭加 ，该 自再现波型 给出 了非 稳腔的基模特性 ，这 一结 论与文献 ‘。 是一致 的 ． ． 在光学谐振 腔 中，由光 的传输 矩阵理论可 以求得光 腔的本 征值与本征 态．光腔 中所有 本征态 的集合构成 了光腔 的完 备态．任一光腔共振模 的 自再 现波型 是 完备 态 中本征态的迭 加．由此可以分析任一光学谐振腔中任一截面上光束的基模特性．在忽略衍射效应或菲涅 耳数 Ⅳ，足够 大时，其研究结论是 足够 精确 的． 参 考 文 献 (1) JT Verdegen．LaserElectronics．EnglcwoodClifs。U ．S．A ．，1981 (2)魏 光辉等．激光束光 学．jE京工业学 院出版社 ． 1988 (3) 方洪烈著．光学谐振 腔．科学 出版社 ，1981 [4) 周炳琨等．激光原理 ．国防工业 出版 社， 1984 维普资讯 http://www.cqvip.com
