第31卷第2期 电气电子教学学报 VoL 31 No. 2 09年4月 JOURNAL OF EEE Apr.2009 “激光原理”中的约化厚度与光程 杜戈果 (深圳大学电子科学与技术学院,广东深圳518060) 搞要:笔者在激光原理教学中针对一道涉及谐振腔等效腔长的习题中存在的问题应用光线传输矩阵先计算了光线从一端腔镜行进到另 一端腔镜时的系统的变换矩阵给出了等效腔长的表达式;然后从矩阵光学的最基本概念出发分析了约化厚度概念的来源给出了合理的解 释;最后分析了其与光程概念的不同并指出了二者不同的应用场合 关输词:约化厚度;光程;激光原理谐振腔 中图分类号:TN241 文献标识码:A 章编号:10080686(2009)02004002 Reduced Thickness and Optical Path in the Curriculum Principle of Lasers (College of Electronic Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China) Abstract: In the course of teaching of the curriculum oblem about the effective length of the resonant cavity in which there is a laser medium caught the writers attention because students are subject to make an error on solving it. After analysis, the author noticed the concept of reduced thick- ness and of optical path are always confused by students. In this paper, the transform matrix of the light rom one cavity mirror to the other mirror is calculated first with the expression of the effective length being presented. Then the concept of the reduced thickness is introduced and explained. At last these two concepts of reduced thickness and of optical path are distinguished clearly and their different applied occa- pr Keywords: reduced thickness, optical path, principle of lasers, resonant cavity 1一道习题引出的问题 腔长;但当腔内存在折射率不为1的介质时,等效腔 长就不等于实际腔长了。也即用等效腔长处理问题 “激光原理”课程教材1中,第二章有一道习题时,就不需要再考虑腔内物质的折射率了。假设工作 为:“激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面物质长度用l表示,折射率用表示,则不少学生认为 镜和曲率半径为2m的凹面镜组成,工作物质长度等效腔长L=L-+n。这实际上就是光线在腔内 为0.5m,其折射率为1.52,求腔长L在什么范围内行进时所对应的光程。表面上看来光从一个腔镜进 是稳定腔。” 入另一个腔镜所走的距离不就是光程吗? 学生在求解这道题时,最易出错的地方就是对 等效腔长L的计算。 2分析 实际腔长L(腔的几何长度)等效于自由空间的 如果应用矩阵光学的方法来处理这个问题,结 腔长度。如果是自由空间的情况,等效腔长等于实际果是不同的。对近轴光线从左至右进行追踪。假设 收稿日期:200809-06;修回日期:2008-1203 金项目:2008年深圳大学项目“建立与完善电子科学与技术学院本科教育质量保障体系的研究与实践”资助 作者简介:杜戈果(1971-),女,博士,教授,主要从事激光技术的教学和科研工作, E-mail: dugeguo@ szu, edu cn
第 31卷 第 2期 2009年 4月 电气电子教学学报 JOURNAL 0F EEE VDL31 No．2 ApL2009 ‘‘激光原理"中的约化厚度与光程 杜 戈 果 (深圳大学 电子科学与技术学院 ，广东 深圳 518060) 摘 要：笔者在激光原理教学 中，针对一道涉及谐 振腔等效腔长的习题中存 在的问题 ，应用光线传输矩阵 ，先计 算了光线从一端腔镜行进 到另 一 端腔镜时的系统的变换矩阵 ，给出 了等效腔长的表达式 ；然后从矩阵光学 的最基本概念 出发 ，分析 了约化厚 度概念的来源 ，给 出了合理 的解 释 I最后分析 了其与光程概念 的不 同，并指出了二者不 同的应用场合 。 关奠词：约化厚度 }光程 ；激光原理 ；谐振腔 中盈分类号 ：TN241 文献标识码 ：A 文章 编号 ：1008—0686(2009)02—0040-02 ReducedThicknessand OpticalPath in theCurriculum PrincipleofLasers DU Ge-guo (CollegeofElectronicScienceandTechnology，ShenzhenUniversity，Shenzhen518060，China) Abstract：Inthecourseofteaching ofthecurriculum PrincipleofLaser，theproblem abouttheeffective lengthoftheresonantcavityinwhichthereisalasermedium caughtthewriter'sattentionbecausestudents aresubjecttomakeanerroronsolvingit．Afteranalysis，theauthornoticedtheconceptofreducedthick— nessandofopticalpath arealwaysconfusedbystudents．In thispaper，thetransform matrixofthelight from onecavitymirrorto theothermirroriScalculated firstwith the expression oftheeffectivelength beingpresented．Thentheconceptofthereducedthicknessisintroducedandexplained．Atlastthesetwo conceptsofreducedthicknessandofopticalpatharedistinguishedclearlyandtheirdifferentappliedocca— sionsarealsopresented． Keywords：reducedthickness，opticalpath，principleoflasers，resonantcavity 1 一道 习题引 出的问题 “激光原理”课程教材[1]中，第二章有一道 习题 为：“激光器的谐振腔由一面曲率半径为 lm的凸面 镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成 ，工作物质长度 为 0．5m，其折射率为 1．52，求腔长 L在什么范围内 是稳定腔 。” 学生在求懈这道题时 ，最易出错的地方就是对 等效腔长 L的计算 。 实际腔长 L(腔的几何长度)等效于 自由空 间的 腔长度。如果是 自由空间的情况 ，等效腔长等于实际 腔长；但当腔内存在折射率不为 1的介质时，等效腔 长就不等于实际腔长了。也即用等效腔长处理问题 时，就不需要再考虑腔内物质的折射率了。假设工作 物质长度用 z表示 ，折射率用 呀表示，则不少学生认为 等效腔长 L 一L一￡+刁z。这实际上就是光线在腔内 行进时所对应的光程。表面上看来，光从一个腔镜进 入另一个腔镜所走的距离不就是光程吗? 2 分析 如果应用矩 阵光学 的方法来处理这个问题 ，结 果是不同的。对近轴光线从左至右进行追踪 。假设 收穑 日期 ：2008—09—06；修 回日期 ：2008—12—03 基金项目：2008年深圳大学项目“建立与完善电子科学与技术学院本科教育质量保障体系的研究与实践”资助。 作者简介 ：杜戈果 (1971一)，女 ，博士 ，教授 ，主要从事激光技术的教学和科研工 作，E-mail：dugeguo@szu．edu．cn
第2期 杜戈果“激光原理”中的约化厚度与光程 41 工作物质离左腔镜的距离为l1,离右腔镜的距离为 l2,则l1+l+l2=L。光线从左腔镜行进至右腔镜时 系统的变换矩阵为 那么光线通过折射率为n厚度为d的平行平面介质 1l2--10--1/-1011l 后所引起的坐标变换为 d/n 对于上式已事先证明:光线从折射率为n1的介 质进入折射率为n2的介质时光线变换矩阵为 光在媒质中通过的几何路程与该媒质的折射率 的乘积称为光程,其物理意义说明光程实际上就是 光在媒质中通过的几何路程按波数相等的要求折合 经过简单的计算变换可得 到真空中的路程,因此光程又叫等效真空程。在 12+1/ l1-2+l 这里,约化厚度可以理解为光线在媒质中平移按所 引起的光线到轴线的距离相等的要求折合到真空中 这里我们发现等效腔长为L=L-1+l/n或者的厚度 光线通过折射率为厚度为d的平行平面介质 掌握了这些概念之后,针对习题中引出的问题 的变换矩阵为 d/ 而不是厂7 就可以进行解答了。当腔内存在激光工作物质时 (无论其位置),等效腔长L=L-+l/n然后利用 为什么会出现这样的结果呢?我们该如何理解共轴球面腔的稳定性条件去确定L的取值范围。同 这种情况? 时可以看到,约化厚度与等效腔长是不同的概念,但 从矩阵光学的最基本概念出发来考虑这个问题。二者又有联系的,在这个问题中工作物质对应的等 任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由两个效长度就是其约化厚度 参数来表征:一个是光线离轴线的距离r,另一个是光 对前文提到的腔,假如要分析其纵模间隔,根据 线与轴线的夹角当光线通过折射率为n和厚度为d激光原理可知有 的平行平面介质后虽然光线在介质内由于折射发生4v=v+1-th=c/2L 了偏折,但两次折射的结果,出射后的光线与入射的 这里的L不是上文中的等效腔长,而是腔的光 光线传播的夹角保持不变;此时B=B,如图1所示。学长度即L=L-1+n实际上就是从一个腔镜 但光线到光轴的距离则发生了变化,而且由于折射的到另一个腔镜的光程 原因,与在真空中传播相比,光线离轴线的距离缩短3结语 轴线的距离为r2=n+d·8;而通过折射率为厚 如果笼统地把两种情况(腔的稳定性和纵模间 度为d的平行平面介质后出射光线离轴线的距离变隔)下的L叫做有效腔长的话,通过以上分析可以看 为n2=n+d·B=n+(d/y)·,相当于光线在真到,在腔内存在折射率大于1的介质时,当分析相位 空中平移距离d/n后离轴线的距离 差、光程及纵模间隔等问题时,有效腔长是大于实际 腔长的;而当分析腔的稳定性、光线变换矩阵以及光 学系统设计等问题时,有效腔长是小于实际腔长的。 究其原因都是因为腔内存在折射率大于1的介质。 参考文献 [1]周炳琨高以智,陈倜嵘等.激光原理(第5版)[M].北京:国防 图1光线通过厚度为d的平板介质 工业出版社,2004:98,32,27 些教材称d/n为两个参考平面之间间隔的2]竺庆春陈时胜矩阵光学导论[M上海:上海科学技术文献 出版社,1991:30 “约化厚度”2。如果光线在自由空间中行进距离d[3]张三慧工科大学物理学(第四册)光学、近代物理M]北京 所引起的坐标变换为 北京科学技术出版社,1987:118-120
第 2期 杜戈果 ：“激光原理”中的约化厚度与光程 4l 工作物质离左腔镜的距离为 ，离右腔镜的距离为 z，则 z+ + 一L。光线从左腔镜行进至右腔镜时 系统的变换矩阵为 ] 对于上式已事先证 明：光线从折射率为 ，I1的介 质进入折射率为 ” 的介质时光线变换矩阵为 广1 0 ] ILo 1 J ／”2-J 经过简单的计算变换可得 广1 L’] 厂1 Z2+ ／，7+ Z1] r1 L— Z+l／V1 lo 1J—lo 1 J—lo 1 j 这里，我们发现等效腔长为 L ===L～ + I／9。或者 说 ，光线通过折射率为 玑厚度为 d的平行平面介质 的变换矩阵为[ l／7]，而不是[7。 为什么会出现这样 的结果呢?我们该如何理解 这种情况? 从矩阵光学的最基本概念出发来考虑这个问题。 任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由两个 参数来表征：一个是光线离轴线的距离 r，另一个是光 线与轴线的夹角 。当光线通过折射率为 77和厚度为 d 的平行平面介质后 ，虽然光线在介质内由于折射发生 了偏折，但两次折射的结果，出射后的光线与入射的 光线传播的夹角保持不变；此时 一01，如图 1所示 。 但光线到光轴的距离则发生了变化，而且由于折射的 原因，与在真空中传播相比，光线离轴线的距离缩短 了。在真空中，当光线通过一段距离 d后，出射光线离 轴线的距离为 rz—T1+ · ；而通过折射率为 77,厚 度为d的平行平面介质后，出射光线离轴线的距离变 为 r2一 I"1+d· 一rt+(d／v)· ，相当于光线在真 空中平移距离 ／77后离轴线的距离。 ． ． ． 。 ●}———-一 d ·--+ 图 1 光线通过厚度为 d的平板介质 一 些教材称 d／,1为两个参考平面之间间隔的 “约化厚度”嘲。如果光线在 自由空间 中行进距离 d 所引起的坐标变换为 广1 d] 10 1l’ 那么光线通过折射率为 玑厚度为d的平行平面介质 后所 引起 的坐标 变换 为 广1 ／叩] Lo 1J。 光在媒质中通过的几何路程与该媒质的折射率 的乘积称为光程，其物理意义说明光程实际上就是 光在媒质 中通过的几何路程按波数相等的要求折合 到真空中的路程 ，因此光程又叫等效真空程_3]。在 这里 ，约化厚 度可 以理 解 为光 线在 媒 质 中平 移按 所 引起的光线到轴线的距离相等的要求折合到真空中 的厚度 。 掌握了这些概念之后 ，针对习题中引出的问题 就可以进行解答 了。当腔内存在激 光工作物质时 (无论其位置)，等效腔长 L ==L—Z+t／,7。然后利用 共轴球面腔的稳定性条件去确定 L的取值范围。同 时可以看到，约化厚度与等效腔长是不同的概念，但 二者又有联系的，在这个 问题 中工作物质对应的等 效长度就是其约化厚度 。 对前文提到的腔 ，假如要分析其纵模间隔，根据 激 光原理 可知有 Avq— Vq+l— q— c／2L 这里的 L 不是上文中的等效腔长 ，而是腔的光 学长度 ，即 L 一L—z+77，。实际上就是从一个腔镜 到另一个腔镜的光程。 3 结语 如果笼统地把两种情况 (腔的稳定性和纵模间 隔)下的 I叫做有效腔长的话 ，通过以上分析可以看 到，在腔内存在折射率大于 l的介质时，当分析相位 差、光程及纵模间隔等问题时，有效腔长是大于实际 腔长的；而当分析腔的稳定性、光线变换矩阵以及光 学系统设计等问题时，有效腔长是小于实际腔长的。 究其原因，都是因为腔内存在折射率大于 1的介质。 参考文 献 ： [1] 周炳琨 ，高以智 ，陈倜嵘等．激光原理 (第 5版)[M ．北京 ：国防 工业 出版社 ，2004：98，32，27 [2] 竺庆春 ，陈时胜．矩阵光学导论 EM]．上海 ：上海 科学技术文献 出版社 ，1991：3O [3] 张三慧．工科大学物理学 (第四册)：光学 、近代物理[M]．北京 ： 北京科学技术 出版社 ，1987：118—120
